【正文】 0時, 有:(1) arctan x~x。1所以當x174。1時, 1x和1x3是同階的無窮小, 但不是等價無窮小.1(1x2) (2)因為lim=1lim(1+x)=1, x174。1x174。1時, 無窮小1x和(1)1x3, (2)1(1x2)是否同階？是否等價？ 23(1x)(1+x+x2)1x 解 (1)因為lim=lim=lim(1+x+x2)=3, x174。02x所以當x174。0時, 2xx2 與x2x3相比, 哪一個是高階無窮?。?32 解 因為limxx2=limxx=0, x174。165。165。165。165。0時, x2是無窮小, 而sin1是有界變量). x174。 x174。165。解 lim(2x3x+1)=165。2x+1(3)lim(2x3x+1). x174。 (因為分子次數(shù)高于分母次數(shù)). x174。165。2x+2x2162x (2)lim。. ==0, 所以limx174。 x174。1(1x)(1+x+x)=lix+22=1. x174。11x1xx174。 x174。165。165。165。165。n2n2n2(n+1)(n+2)(n+3) (13)lim。2n174。n174。n(n1)n1+2+3+ +(n1)=1limn1=1. 解 lim=limn174。 2n174。165。165。165。x2(11)lim(1+1+1+ +1)。xx174。xx2x174。2=2. 解 lim(1+1)(21)=lim(1+x174。165。4x1413(10)lim(1+121)。4x5x+4x174。 x174。165。165。165。165。22xx2xx。2x2x1x174。2xx111221=lim1= 解 limx. x174。 x174。165。165。165。165。0hh(6)lim(21+1。0h174。 h174。03x+2xx174。 (4)limx174。1x174。1x12(x1)2x2x+1x1=0=0=lim=lim 解 lim. x174。x+1()2+12x (3)lim22x+1。 x174。2x322x+52 解 lim=+5=9. x174。xxx而arctan x是有界變量).4. 證明本節(jié)定理3中的(2). 習題151. 計算下列極限:2x (1)lim+5。x174。時, 1是無窮小, x174。x解 limarctanx=lim1arctanx=0(當x174。0xx(2)limarctanx. x174。0x解 limx2sin1=0(當x174。3. 計算下列極限:(1)limx2sin1。(因為分子次數(shù)高于分母次數(shù)). x174。165。165。2x+12 解 limx=165。 x174。2(x2)x174。2(x2)32(x2)20x+2x=165。11+x+x2. 計算下列極限:32x+2x (1)lim。1(1x)(1+x+x2)x174。11x1x2131+x+x3=lim(1x)(x+2) 解 lim=limx174。nnn55n3(14)lim133)。5n174。55n3最高次項系數(shù)之比).(n+1)(n+2)(n+3)111+21+3=1. 或 lim=lim(1+n174。5n3(n+1)(n+2)(n+3)1 解 lim= (分子與分母的次數(shù)相同, 極限為 n174。 n174。165。165。165。165。124212(12)lim1+2+3+ +(n1)。n174。2421(1n+1=2. 解 lim(1+1+1+ +1n=limn174。 n174。165。165。165。xx1)lim(21=1180。 x174。4(x1)(x4)x174。4x5x+42(x2)(x4)x=limx2=42=2. 解 lim26x+8=limx174。1xx2x (9)lim26x+8。x3x21x174。x3x11+12x+x=lim23=0或 lim4. x174。x3x12xx=0(分子次數(shù)低于分母次數(shù), 極限為零). 解 lim+x174。 (8)lim4+2x174。165。165。165。x2xx22x (7)lim21。xx174。x174。xx1+lim1=2. 解 lim(21+1)=2limx174。 2x174。0h174。0h222(x+h)2x2x+2hx+hx 解 lim=lim=lim(2x+h)=2x. h174。03x+22(x+h)2x2 (5)lim。03x2+2x3224x2x+x4x2x+1=1. 解 lim=lim2x174。1x+12x21324x2x+x。1x174。 x174。x+12()23x3=0. 解 2=x174。2x3232x (2)23。 x174。0+時的無窮xx大.證明 函數(shù)y=1sin1在區(qū)間(0, 1]上無界. 這是因為 xxM0, 在(0, 1]中總可以找到點xk, 使y(xk)M. 例如當(k=0, 1, 2, ) x=1k2kp+2時, 有y(xk)=2kp+p, 2當k充分大時, y(xk)M.當x174。+165。, +165。, +165。+165。, +165。0時x為無窮小, 所以lim=1.x174。xxxx221x1x (2)因為=1+x(x185。 時1是無窮小, 所以lim2x+1=2. x174。01x解 (1)因為2x+1=2+1, 而當x174。165。0時, 函數(shù)y=1+2x是無窮大. x1. 當0|x0|1時, |y|104. 取M=104, 則d=410+2104+24. 求下列極限并說明理由:(1)lim2x+1。0時的無窮大. 問x應(yīng)滿足什么條件, x能使|y|104？證明 分析|y|=1+2x=2+1179。|x0|d=e, x所以當x174。0時|y|=|x||sin1|163。0(x)3(x)2|y|=x9=|x3|d=e, x+32x所以當x174。0時為無窮小. x2x9=|x3|. 因為e0, $d=e , 當0|x3|d時, 有 證明 (1)當x185。3時為無窮小。|f(x)A|+|A|1+|A|.這就是說存在X0及M0, 使當|x|X時, |f(x)|M, 其中M=1+|A|.習題141. 兩個無窮小的商是否一定是無窮小？舉例說明之.解 不一定.例如, 當x174。165。時的極限存在, 則存在X0及M0, 使當|x|X時, |f(x)|M.證明 設(shè)f(x)174。時函數(shù)極限的局部有界性的定理: 如果f(x)當x174。時函數(shù)極限的局部有界性的定理, 并加以證明.解 x174。x0).9. 試給出x174。e ,即f(x)174。x0+d2 , 從而有 | f(x)A|amp。xamp。x0及x0amp。xamp。d 時, 有x0d1amp。|xx0|amp。e .取d=min{d1, d2}, 則當0amp。x0+d2時, 有| f(x)A|amp。xamp。0, 使當x0amp。$d2amp。lt。lt。lt。gt。gt。e .這說明f(x)當x174。x0+d 時都有|f(x)A|amp。xamp。x0和x0amp。xamp。e .因此當x0damp。d 時, 有|f(x)A|amp。|xx0|amp。0, $d0, 使當0amp。x0), 則eamp。x0 時極限存在的充分必要條件是左極限、右極限各自存在并且相等.證明 先證明必要性. 設(shè)f(x)174。165。0,$X10, 使當xX1時, 有|f(x)A|e 。 證明 因為limf(x)=A, limf(x)=A, 所以eamp。x174。limf(x)=A.x174。時, 函數(shù)f(x)的極限都存在且