【正文】 0), +sinx+1。0), 2222x1x2(x174。0cosxsin2xx174。0x174。165。0xm239。0 nm. x174。239。02xx174。0sin3x(4)limsinxtanx. x174。0(sinx)msinx。02xsin(xn) (2)lim(n, m為正整數(shù))。0時, sexc1~. 24. 利用等價無窮小的性質(zhì), 求下列極限:(1)limtan3x。0x174。02x174。0),所以當(dāng)x174。0y174。2x (2)secx1~. 2y 證明 (1)因為limarctanx=lim=1(提示: 令y=arctan x, 則當(dāng)x174。1時, 1x和1(1x2)是同階的無窮小, 而且是等價無窮小. 23. 證明: 當(dāng)x174。11x2x174。11x3所以當(dāng)x174。11xx174。0時, x2x3是高階無窮小, 即x2x3=o(2xx2). 2. 當(dāng)x174。02xxx174。0x習(xí)題 171. 當(dāng)x174。0x174。1, 所以1xx[1]163。0(5)lim+x[1=1. x174。0x174。+x163。1|x|179。1+|x|163。0證明 當(dāng)|x|163。 證明 x1=, xn+1=+xn(n=1, 2, 3, ). 先證明數(shù)列{xn}有界.當(dāng)n=1時x1=2, 假定n=k時xk2, 則當(dāng)n=k+1時,xk+1=+xk2+2=2,所以xn2(n=1, 2, 3, ), 即數(shù)列{xn}有界.再證明數(shù)列單調(diào)增. 因為22+xnxn(xn2)(xn+1)= xn+1xn=+xnxn=, +xn+xn+xn+xn而xn20, xn+10, 所以xn+1xn0, 即數(shù)列{xn}單調(diào)增. 因為數(shù)列{xn}單調(diào)增加有上界, 所以此數(shù)列是有極限的.(4)lim+x=1。165。165。165。165。n(2)limn1+1+ +1)=1。n由極限存在準(zhǔn)則I, lim+1=1. n174。n174。n證明 因為1+11+1, nn1=1且lim(1+1=1, 而 limn174。 n174。h(x),所以 Aef(x)A+e,即 |f(x)A|e,因此limf(x)=A. x174。x0所以對任一給定的e0, 存在d0, 使得當(dāng)0|xx0|d時, 恒有 |g(x)A|e及|h(x)A|e,即 Aeg(x)A+e及Aeh(x)A+e.又因為 g(x)163。x0的情形加以證明.因為limg(x)=A, limh(x)=A, x174。h(x),所以 Aef(x)A+e,即 |f(x)A|e,因此limf(x)=A. x174。x0有|h(x)A|e, 即Aeh(x)A+e.取d=min{d1, d2}, 則當(dāng)0|xx0|d時,Aeg(x)A+e與Aeh(x)A+e同時成立, 又因為g(x)163。x0的情形加以證明.設(shè)e為任一給定的正數(shù), 由于limg(x)=A, 故由定義知, 對e0, 存在d10, x174。xx3. 根據(jù)函數(shù)極限的定義, 證明極限存在的準(zhǔn)則I162。x174。x解 lim(11kx=lim(1+1)(x)(k)=ek. x174。x(4)lim(11kx(k為正整數(shù)). x174。xx174。x解 lim(1+x2x=[lim(1+1)x]2=e2. x174。 x174。0x174。01121解 lim(1+2x)x=lim(1+2x)2x=[lim(1+2x)2x]2=e2. x174。0 1(2)lim(1+2x)x。01(={lim[1+(x)]x)}1=e1. x174。0。165。165。165。0xsinxx174。0xxx21cos2x2sinx=2limsinx=2. 或 lim=limx174。0x174。0xsinx21cos2x1cos2x2sinx=2lim(sinx)2=2. 解 lim=lim=limx174。0(5)lim1cos2x。0sinxx174。0解 limxcotx=limxcosx=limxlimcosx=1. x174。02xsin5x55(4)limxcotx。0sin5x解 limsin2x=limsin2x5x2=2. x174。03xxcos3x(3)limsin2x。0x解 limtan3x=3limsin3x1=3. x174。0wxx(2)limtan3x。0x解 limsinwx=wlimsinwx=w. x174。xxx而arctan x是有界變量).4. 證明本節(jié)定理3中的(2). 習(xí)題161. 計算下列極限:(1)limsinwx。x174。時, 1是無窮小, x174。x解 limarctanx=lim1arctanx=0(當(dāng)x174。0xx(2)limarctanx. x174。0x解 limx2sin1=0(當(dāng)x174。3. 計算下列極限:(1)limx2sin1。(因為分子次數(shù)高于分母次數(shù)). x174。165。165。2x+12x 解 lim=165。 x174。2(x2)2x174。2(x2)32(x2)20x+2x=165。11+x+x2. 計算下列極限:32 (1)limx+2x。1(1x)(1+x+x)x174。11x1x2(1x)(x+2) 解 lim133=lim1+x+x32=lim x174。nnn55n3(14)lim13)。5n174。55n3最高次項系數(shù)之比).(n+1)(n+2)(n+3)111+21+3=1. 或 lim=lim(1+n174。5n(n+1)(n+2)(n+3)1= (分子與分母的次數(shù)相同, 極限為 解 limn174。 3n174。165。165。165。165。124212(12)lim1+2+3+ +(n1)。n174。242n1(1n+1=2. 解 lim(1+1+1+ +1n)=limn174。 n174。165。165。165。xx1lim(21)=1180。 2x174。4(x1)(x4)x174。4x5x+42(x2)(x4)x=limx2=42=2. 解 lim26x+8=limx174。124xx2 (9)limx26x+8。x3x1x174。x3x11+12x=lim23=0或 lim4x+2. x174。x3x12xx=0(分子次數(shù)低于分母次數(shù), 極限為零). 解 lim4+2x174。 (8)lim+x174。165。165。165。x2xx22x (7)lim21。xx174。x174。xx21+lim1=2. 解 lim(21+1)=2limx174。 x174。0h174。0h222(x+h)2x2x+2hx+hx 解 lim=lim=lim(2x+h)=2x. h174。03x+22(x+h)2x2 (5)lim。03x2+2x32x2+x=lim4x22x+1=1. 解 lim4xx174。1x+12x1324x2x+x。1x174。 x174。x+12()23x3=0. 解 2=2x174。2x3232x (2)23。 x174。0+時的無xx窮大.證明 函數(shù)y=1sin1在區(qū)間(0, 1]上無界. 這是因為xxM0, 在(0, 1]中總可以找到點xk, 使y(xk)M. 例如當(dāng)xk=1(k=0, 1, 2, )2kp+2時, 有y(xk)=2kp+p,2當(dāng)k充分大時, y(xk)M.當(dāng)x174。+165。, +165。, +165。+165。, +165。0時x為無窮小, 所以lim1x=1.x174。xxxx22(2)因為1x=1+x(x185。 時1是無窮小, 所以lim2x+1=2.x174。01x解 (1)因為2x+1=2+1, 而當(dāng)x174。165。0時, 函數(shù)y=1+2x是無窮大.x1. 當(dāng)0|x0|1時, |y|104. 取M=104, 則d=10+2104+24. 求下列極限并說明理由: (1)lim2x+1。0時的無窮大. 問x應(yīng)滿足什么條件,x能使|y|104？證明 分析|y|=1+2x=2+1179。0b(x)3b(x)所以當(dāng)x174。|x0|. 因為e0, $d=e , 當(dāng)0|x0|d時, 有 x|y|=|x||s