【正文】 的點(diǎn). 而P(a, b)與Q(b, a)是關(guān)于直線y=x對(duì)稱的. 復(fù)合函數(shù): 復(fù)合函數(shù)是復(fù)合映射的一種特例, 按照通常函數(shù)的記號(hào), 復(fù)合函數(shù)的概念可如下表述. 設(shè)函數(shù)y=f(u)的定義域?yàn)镈 1, 函數(shù)u=g(x)在D上有定義且g(D)204。D, 使得f(x)=y, 于是有 f 1(y)=x. 這就是說(shuō), 反函數(shù)f 1的對(duì)應(yīng)法則是完全由函數(shù)f的對(duì)應(yīng)法則所確定的. 一般地, y=f(x), x206。D, 且 f(x+l) = f(x)則稱f(x)為周期函數(shù), l 稱為f(x)的周期. 周期函數(shù)的圖形特點(diǎn): 在函數(shù)的定義域內(nèi), 每個(gè)長(zhǎng)度為l 的區(qū)間上, 函數(shù)的圖形有相同的形狀. 3．反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)反函數(shù): 設(shè)函數(shù)f : D174。D, 有f(x) = f(x), 則稱f(x)為偶函數(shù). 如果對(duì)于任一x206。, +165。1. (2)函數(shù)在開區(qū)間(0, 1)內(nèi)是無(wú)上界的. 或者說(shuō)它在(0, 1)內(nèi)有下界, 無(wú)上界. 這是因?yàn)? 對(duì)于任一M1, 總有x1: , 使 , 所以函數(shù)無(wú)上界. 函數(shù)在(1, 2)內(nèi)是有界的. (2)函數(shù)的單調(diào)性 設(shè)函數(shù)y = f(x)的定義域?yàn)镈, 區(qū)間I 204。 如果這樣的M不存在, 則稱函數(shù)f(x)在X上無(wú)界. 圖形特點(diǎn)是, 函數(shù)y=f(x)的圖形在直線y= M和y = M的之間. 函數(shù)f(x)無(wú)界, 就是說(shuō)對(duì)任何M, 總存在x1206。X, 有f(x)179。 f(3)=1+3=4. 2. 函數(shù)的幾種特性 (1)函數(shù)的有界性 設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈, 數(shù)集X204。x163。 函數(shù). 這是一個(gè)分段函數(shù), 其定義域?yàn)镈=[0, 1]200。, +165。D的圖形. 圖中的R f 表示函數(shù)y=f(x)的值域. 函數(shù)的例子: 例. 函數(shù). 稱為絕對(duì)值函數(shù). 其定義域?yàn)镈=(165。 附加“y163。[r, r]，由方程x2+y2=r2,可確定出對(duì)應(yīng)的y值, 當(dāng)x=r或x=r時(shí), 對(duì)應(yīng)y=0一個(gè)值。[2, +165。0. 解不等式得| x |179。D, 其中x稱為自變量, y稱為因變量, D稱為定義域, 記作D f, 即D f=D. 應(yīng)注意的問(wèn)題: 記號(hào)f和f(x)的含義是有區(qū)別的, 前者表示自變量x和因變量y之間的對(duì)應(yīng)法則, 而后者表示與自變量x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值. 但為了敘述方便, 習(xí)慣上常用記號(hào)“f(x), x206。[0, 1], 對(duì)每個(gè)x206。[1, 1], 對(duì)每個(gè)x206。Z . 顯然, 這個(gè)對(duì)應(yīng)法則確定了一個(gè)從X到Z的映射, 這個(gè)映射稱為映射g和f構(gòu)成的復(fù)合映射, 記作f o g, 即 f o g: X 174。Y 1, f : Y 2174。R f , 有唯一的x206。 若對(duì)X中任意兩個(gè)不同元素x 1185。X, 有唯一確定的(x, 0)206。R, f(x)=x2. 顯然, f是一個(gè)映射, f的定義域D f=R, 值域R f ={y|y179。R f, 元素y的原像不一定是唯一的。 對(duì)應(yīng)法則f, 使對(duì)每個(gè)x206。 X中所有元素的像所組成的集合稱為映射f的值域, 記為R f, 或f(X), 即 R f=f(X)={f(x)|x206。)={x | | x | +165。) = {x | a163。x163。R={(x, y)| x206。B, 即 A180。AC 199。x206。B219。(A200。B)C=AC 200。C)。B)200。C=(A199。(B199。(B200。A。B}. 如果我們研究某個(gè)問(wèn)題限定在一個(gè)大的集合I中進(jìn)行, 所研究的其他集合A都是I的子集. 此時(shí), 我們稱集合I為全集或基本集. 稱I\A為A的余集或補(bǔ)集, 記作AC. 集合運(yùn)算的法則: 設(shè)A、B、C為任意三個(gè)集合, 則 (1)交換律A200。B={x|x206。B={x|x206。B且A185。B(讀作A包含于B)或B201。1. 1 映射與函數(shù) 一、集合 1. 集合概念 集合(簡(jiǎn)稱集): 集合是指具有某種特定性質(zhì)的事物的總體. 用A, B, C….等表示. 元素: 組成集合的事物稱為集合的元素. a是集合M的元素表示為a206。了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì)。 掌握極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算法則。 了解函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性和有界性。 理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念。 了解極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則，并會(huì)利用它們求極限，掌握利用兩個(gè)重要極限求極限的方法。教學(xué)重點(diǎn)： 復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念； 基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形； 極限的概念極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算法則； 兩個(gè)重要極限； 無(wú)窮小及無(wú)窮小的比較； 函數(shù)連續(xù)性及初等函數(shù)的連續(xù)性； 區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。M. 集合的表示: 列舉法: 把集合的全體元素一一列舉出來(lái). 例如A={a, b, c, d, e, f, g}. 描述法: 若集合M是由元素具有某種性質(zhì)P的元素x的全體所組成, 則M可表示為 A={a1, a2, , an}, M={x | x具有性質(zhì)P }. 例如M={(x, y)| x, y為實(shí)數(shù), x2+y2=1}. 幾個(gè)數(shù)集: N表示所有自然數(shù)構(gòu)成的集合, 稱為自然數(shù)集. N={0, 1, 2, , n, }. N+={1, 2, , n, }. R表示所有實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合, 稱為實(shí)數(shù)集. Z表示所有整數(shù)構(gòu)成的集合, 稱為整數(shù)集. Z={ , n, , 2, 1, 0, 1, 2, , n, }. Q表示所有有理數(shù)構(gòu)成的集合, 稱為有理數(shù)集. 子集: 若x206。A . 如果集合A與集合B互為子集, A204。B, 則稱A是B的真子集, 記作AB . 例如, NZQR . 不含任何元素的集合稱為空集, 記作198。A或x206。A且x206。B=B200。 (2)結(jié)合律 (A200。C), (A199。C)。C)200。C=(A200。 (4)對(duì)偶律 (A200。BC. (A200。B)C219。x207。A C且x206。BC, 所以(A200。B={(x, y)|x206。R且y206。b }稱為閉區(qū)間, [a, b) = {x | a163。x }, (165。}. 區(qū)間在數(shù)軸上的表示: 鄰域: 以點(diǎn)a為中心的任何開區(qū)間稱為點(diǎn)a的鄰域, 記作U(a). 設(shè)d是一正數(shù), 則稱開區(qū)間(ad, a+d)為點(diǎn)a的d鄰域, 記作U(a, d), 即 U(a, d)={x | ad x a+d} ={x | | xa|d}. 其中點(diǎn)a稱為鄰域的中心, d 稱為鄰域的半徑. 去心鄰域(a, d): (a, d)={x |0| xa |d} 二、映射 1. 映射的概念 定義 設(shè)X、Y是兩個(gè)非空集合, 如果存在一個(gè)法則f, 使得對(duì)X中每個(gè)元素x, 按法則f, 在Y中有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng), 則稱f為從X到Y(jié)的映射, 記作 f : X174。X}. 需要注意的問(wèn)題: (1)構(gòu)成一個(gè)映射必須具備以下三個(gè)要素: 集合X, 即定義域D f=X。X, 有唯一確定的y=f(x)與之對(duì)應(yīng). (2)對(duì)每個(gè)x206。 映射f的值域R f是Y的一個(gè)子集, 即R f 204。0}, 它是R的一個(gè)真子集. 對(duì)于R f 中的元素y, 除y=0外, 它的原像不是唯一的. 如y=4的原像就有x=2和x=2兩個(gè). 例2設(shè)X={(x, y)|x2+y2=1}, Y={(x, 0)||x|163。Y與之對(duì)應(yīng). 顯然f是一個(gè)映射, f的定義域D f=X, 值域R f =Y. 在幾何上, 這個(gè)映射表示將平面上一個(gè)圓心在原點(diǎn)的單位圓周上的點(diǎn)投影到x軸的區(qū)間[1, 1]上. (3) f :174。x 2, 它們的像f(x 1)185。X, 適合f(x)=y, 于是, 我們可定義一個(gè)從R f 到X的新映射g, 即 g : R f 174。Z, 其中Y 1204。Z, (f o g)(x)=f[g(x)], x206。R, g(x)=sin x, 映射f : [1, 1]174。R, 有 . 三、函數(shù) 1. 函數(shù)概念 定義 設(shè)數(shù)集D204。D”或“y=f(x), x206。2. 所以函數(shù)的定義域?yàn)镈={x | | x |179。]). 單值函數(shù)與多值函數(shù): 在函數(shù)的定義中，對(duì)每個(gè)x206。 當(dāng)x取(r, r)內(nèi)任一個(gè)值時(shí), 對(duì)應(yīng)的y有兩個(gè)值. 所以這方程確定了一個(gè)多值函數(shù). 對(duì)于多值函數(shù), 往往只要附加一些條件, 就可以將它化為單值函數(shù), 這樣得到的單值函數(shù)稱為多值函數(shù)的單值分支. 例如, 在由方程x2+y2=r2給出的對(duì)應(yīng)法則中, 附加“y179。0”的條件, 即以“x2+y2=r2且y163。, +165。), 值域?yàn)镽 f ={1, 0, 1}. 例 設(shè)x為任上實(shí)數(shù). 不超過(guò)x的最大整數(shù)稱為x的整數(shù)部分, 記作[ x ]. 函數(shù) y = [ x ]稱為取整函數(shù). 其定義域?yàn)镈=(165。(0, +165。1時(shí), 。D. 如果存在數(shù)K1, 使對(duì)任一x206。 K2, 則稱函數(shù)f(x)在X上有下界, 而稱K2為函數(shù)f(x)在X上的一個(gè)下界. 圖形特點(diǎn)是, 函數(shù)y=f(x)的圖形在直線y=K2的上方. 如果存在正數(shù)M, 使對(duì)任一x206。X, 使| f(x) | M. 例如 (1)f(x)=sin x在(165。D. 如果對(duì)于區(qū)間I上任意兩點(diǎn)x1及x2, 當(dāng)x1x2時(shí), 恒有 f(x1) f(x2), 則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)增加的. 如果對(duì)于區(qū)間I上任意兩點(diǎn)x1及x2, 當(dāng)x1x2時(shí), 恒有 f(x1) f(x2), 則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)減少的. 單調(diào)增加和單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù). 函數(shù)單調(diào)性舉例: 函數(shù)y = x2在區(qū)間(165。）上不是單調(diào)的. (3)函數(shù)的奇偶性 設(shè)函數(shù)f(x)的定義域D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(即若x206。D, 有f(x) = f(x), 則稱f(x)為奇函數(shù). 偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對(duì)稱, 奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱, 奇偶函數(shù)舉例: y=x2, y=cos x 都是偶函數(shù). y=x3, y=sin x都是奇函數(shù), y=sin x+cos x是非奇非偶函數(shù). (4)函數(shù)的周期性 設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈. 如果存在一個(gè)正數(shù)l , 使得對(duì)于任一x206。f(D)是單射, 則它存在逆映射f 1: f(D)174。D的反函數(shù)記成y=f 1(x), x206。 D 1, 則由下式確定的函數(shù) y=f[g(x)], x206。D。198。g(x), x206。 商: , x206。1)。 反三角函數(shù): y=arcsin x, y=arccos x, y=arctan x, y=arccot x . 初等函數(shù): 由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù), 稱為初等函數(shù). 例如 , y=sin2x, 等都是初等函數(shù). 雙曲函數(shù): 雙曲正弦: 。 ch(x177。 ch2x=ch2x+sh2x . 下面證明 sh(x+y)=sh xch y+ch xsh y: . 反雙曲函數(shù): 雙曲函數(shù)y=sh x, y=ch x(x179。, +165。1. 2 數(shù)列的極限 一個(gè)實(shí)際問(wèn)題: 如可用漸近的方程法求圓的面積？ 設(shè)有一圓, 首先作內(nèi)接正四邊形, 它的面積記為A1；再作內(nèi)接正八邊形, 它的面積記為A2；再作內(nèi)接正十六邊形, 它的面積記為A3；如此下去, 每次邊數(shù)加倍, 一般把內(nèi)接正82n1邊形的面積記為An . 這樣就得到一系列內(nèi)接正多邊形的面積: A1, A2, A3, , An, 設(shè)想n 無(wú)限增大（記為n174。時(shí)的極限. 數(shù)列的概念:如果按照某一法則, 使得對(duì)任何一個(gè)正整數(shù)n 有一個(gè)確定的數(shù)xn , 則得到一列有次序的數(shù) x1, x2, x3, , xn , 這一列有次序的數(shù)就叫做數(shù)列, 記為{xn}, 其中第n 項(xiàng)xn 叫做數(shù)列的一般項(xiàng). 數(shù)列的例子: {}: , , , , 。 {}: 2, , , , , . 它們的一般項(xiàng)依次為 , 2n, , (1)n+1, . 數(shù)列的幾何意義:數(shù)列{xn}可以看作數(shù)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn), 它依次取數(shù)軸上的點(diǎn)x1, x2, x3, , xn , . 數(shù)列與函數(shù):數(shù)列{xn}可以看作自變量為正整數(shù)n 的函數(shù): xn=f (n), 它的定義域是全體正整數(shù). 數(shù)列的極限: 數(shù)列的