【文章內(nèi)容簡介】 xn}的極限, 或者稱數(shù)列{xn}收斂于a , 記為 或xn174。a (n174。165。).如果數(shù)列沒有極限, 就說數(shù)列是發(fā)散的. 219。e 0, $N206。N+, 當nN時, 有|xna|e . 數(shù)列極限的幾何解釋: 例題: 例1. 證明. 分析: |xn1|=.對于e 0, 要使|xn1|e , 只要, 即. 證明: 因為e 0, $206。N+, 當nN時, 有 |xn1|=, 所以. 例2. 證明. 分析: |xn0|. 對于e 0, 要使|xn0|e , 只要, 即. 證明: 因為e 0, $206。N+, 當nN時, 有|xn0|=,所以. 例3. 設(shè)|q |1, 證明等比數(shù)列 1, q , q2, , qn1, 的極限是0. 分析: 對于任意給定的e 0, 要使 |x n0|=| qn10|=|q| n1e ,只要nlog|q|e +1就可以了, 故可取N=[log|q|e +1]。證明: 因為對于任意給定的e 0, 存在N=[ log|q|e +1], 當nN時, 有 | qn10|=|q| n1e ,所以. 收斂數(shù)列的性質(zhì): 定理1(極限的唯一性) 數(shù)列{xn}不能收斂于兩個不同的極限. 證明: 假設(shè)同時有及, 且ab. 按極限的定義, 對于0, 存在充分大的正整數(shù)N, 使當nN時, 同時有|xna| 及|xnb|, 因此同時有 及,這是不可能的. 所以只能有a=b. 數(shù)列的有界性: 對于數(shù)列{xn}，如果存在著正數(shù)M，使得對一切xn都滿足不等式 |xn|163。M,則稱數(shù)列{xn}是有界的。 如果這樣的正數(shù)M不存在，就說數(shù)列{xn}是無界的 定理2(收斂數(shù)列的有界性) 如果數(shù)列{xn}收斂, 那么數(shù)列{xn}一定有界. 證明: 設(shè)數(shù)列{xn}收斂, 且收斂于a, 根據(jù)數(shù)列極限的定義, 對于e =1, 存在正整數(shù)N, 使對于nN 時的一切xn , 不等式|xna|e =1都成立. 于是當nN時, |xn|=|(xn a)+a| 163。| xna|+|a|1+|a|.取M=max{|x 1|, |x 2|, , |x N |, 1+| a |}, 那么數(shù)列{xn}中的一切xn都滿足不等式|xn|163。 M.這就證明了數(shù)列{xn}是有界的. 定理3收斂數(shù)列的保號性) 如果數(shù)列{xn}收斂于a, 且a0(或a0), 那么存在正整數(shù)N, 當nN時, 有xn0(或xn0). 證 就a0的情形證明. 由數(shù)列極限的定義, 對, $N206。N+, 當nN時, 有,從而. 推論 如果數(shù)列{xn}從某項起有xn179。0(或xn163。0), 且數(shù)列{xn}收斂于a, 那么a179。0(或a163。0). 證明 就xn179。0情形證明. 設(shè)數(shù)列{xn}從N1項起, 即當nN 1時有xn179。0. 現(xiàn)在用反證法證明, 或a0, 則由定理3知, $N 2206。N+, 當n N 2時, 有xn0. 取N=max{ N 1, N 2 }, 當nN時, 按假定有x n 179。0, 按定理3有x n0, 這引起矛盾. 所以必有a 179。0. 子數(shù)列: 在數(shù)列{xn}中任意抽取無限多項并保持這些項在原數(shù)列中的先后次序, 這樣得到的一個數(shù)列稱為原數(shù)列{xn}的子數(shù)列. 例如, 數(shù)列{xn}: 1, 1, 1, 1, , (1)n+1 的一子數(shù)列為{x2n}: 1, 1, 1, , (1)2n+1 定理3(收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系) 如果數(shù)列{xn}收斂于a, 那么它的任一子數(shù)列也收斂, 且極限也是a . 證明: 設(shè)數(shù)列是數(shù)列{xn}的任一子數(shù)列. 因為數(shù)列{xn}收斂于a, 所以e 0, $N206。N+, 當nN時, 有|xna|e .取K=N, 則當kK時, nk179。kK=N. 于是|a|e . 這就證明了.討論: 1. 對于某一正數(shù)e 0, 如果存在正整數(shù)N, 使得當nN時, 有|xna|e 0. 是否有xn 174。a (n 174。165。). 2. 如果數(shù)列{xn}收斂, 那么數(shù)列{xn}一定有界. 發(fā)散的數(shù)列是否一定無界? 有界的數(shù)列是否收斂? 3. 數(shù)列的子數(shù)列如果發(fā)散, 原數(shù)列是否發(fā)散? 數(shù)列的兩個子數(shù)列收斂, 但其極限不同, 原數(shù)列的收斂性如何?發(fā)散的數(shù)列的子數(shù)列都發(fā)散嗎？4．如何判斷數(shù)列 1, 1, 1, 1, , (1)N+1, 是發(fā)散的？ 167。1. 3 函數(shù)的極限 一、函數(shù)極限的定義 函數(shù)的自變量有幾種不同的變化趨勢: x無限接近x0 : x174。x0, x從x0的左側(cè)(即小于x0)無限接近x0 : x174。x0, x從x0的右側(cè)(即大于x0)無限接近x0 : x174。x0+, x的絕對值|x|無限增大: x174。165。, x小于零且絕對值|x|無限增大: x174。165。, x大于零且絕對值|x|無限增大: x174。+165。. 1．自變量趨于有限值時函數(shù)的極限通俗定義: 如果當x無限接近于x0 , 函數(shù)f(x)的值無限接近于常數(shù)A, 則稱當x趨于x0 時, f(x)以A為極限. 記作f(x)=A或f(x)174。A(當x174。). 分析: 在x174。x0的過程中, f(x)無限接近于A就是|f(x)A|能任意小, 或者說, 在x與x0接近到一定程度(比如|xx0|d, d為某一正數(shù))時, |f(x)A|可以小于任意給定的(小的)正數(shù)e , 即|f(x)A|e . 反之, 對于任意給定的正數(shù)e , 如果x與x0接近到一定程度(比如|xx0|d, d為某一正數(shù))就有|f(x)A|e , 則能保證當x 174。x0時, f(x)無限接近于A. 定義1 設(shè)函數(shù)f(x)在點x0的某一去心鄰域內(nèi)有定義. 如果存在常數(shù)A, 對于任意給定的正數(shù)e (不論它多么小), 總存在正數(shù)d, 使得當x滿足不等式0|xx0|d 時, 對應的函數(shù)值f(x)都滿足不等式 |f(x)A|e , 那么常數(shù)A就叫做函數(shù)f(x)當x 174。x0時的極限, 記為或f(x)174。A(當x174。x0). 定義的簡單表述: 219。e0, $d0, 當0|xx0|d時, |f(x)A|e . 函數(shù)極限的幾何意義: 例1. 證明. 證明: 這里|f(x)A|=|cc|=0, 因為e0, 可任取d0 , 當0|xx0|d 時, 有|f(x)A|=|cc|=0e ,所以. 例2. 證明. 分析: |f(x)A|=|xx0|. 因此e 0, 要使|f(x)A|e , 只要|xx0|e . 證明: 因為e 0, $d =e , 當0|xx0|d 時, 有|f(x)A|=|xx0|e , 所以. 例3. 證明. 分析: |f(x)A|=|(2x1)1|=2|x1|. e 0, 要使|f(x)A|e , 只要. 證明: 因為e 0, $d=e /2, 當0|x1|d 時, 有|f(x)A|=|(2x1)1|=2|x1|e , 所以. 例4. 證明. 分析: 注意函數(shù)在x=1是沒有定義的, 但這與函數(shù)在該點是否有極限并無關(guān)系. 當x185。1時, |f(x)A|=|x1|. e 0, 要使|f(x)A|e , 只要|x1|e . 證明: 因為e 0, $d=e , 當0|x1|d 時, 有| f(x)A|=|x1|e ,所以. 單側(cè)極限: 若當x174。x0 時, f(x)無限接近于某常數(shù)A, 則常數(shù)A叫做函數(shù)f(x)當x174。x0時的左極限, 記為或f()=A 。yy=x111y=x+1xO 若當x174。x0+ 時, f(x)無限接近于某常數(shù)A, 則常數(shù)A叫做函數(shù)f(x)當x174。x0時的右極限, 記為或f(+)=A . 討論: d定義如何敘述? 2. 當x174。x0時函數(shù)f(x)的左右極限與當x174。x0時函數(shù)f(x)的極限之間的關(guān)系怎樣? 提示: 左極限的e d 定義： 219。e 0, $d 0, x: x0dxx0, 有|f(x)A|e . 219。e 0, $d 0, x: x0xx0+d , 有|f(x)A|e . 219。且. 例5 函數(shù)當x174。0時的極限不存在. 這是因為, , , . 2．自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限 設(shè)f(x)當|x|大于某一正數(shù)時有定義. 如果存在常數(shù)A, 對于任意給定的正數(shù)e , 總存在著正數(shù)X, 使得當x滿足不等式|x|X時, 對應的函數(shù)數(shù)值f(x)都滿足不等式|f(x)A|e,則常數(shù)A叫做函數(shù)f(x)當x174。165。時的極限, 記為或f(x)174。A(x174。165。). 219。e 0, $X0, 當|x|X時, 有|f(x)A|e . 類似地可定義和. 結(jié)論: 219。且.極限的定義的幾何意義y=f (x)AAeXO XxyA+e 例6. 證明. 分析: . e 0, 要使|f(x)A|e , 只要. 證明: 因為e 0, $, 當|x|X時, 有, 所以. 直線y=0 是函數(shù)的水平漸近線. 一般地, 如果, 則直線y=c稱為函數(shù)y=f(x)的圖形的水平漸近線. 二、函數(shù)極限的性質(zhì) 定理1(函數(shù)極限的唯一性) 如果極限存在, 那么這極限唯一. 定理2(函數(shù)極限的局部有界性) 如果f(x)174。A(x174。x0), 那么存在常數(shù)M0和d, 使得當0|xx0|d時, 有|f(x)|163。M. 證明 因為f(x)174。A(x174。x0), 所以對于e =1, $d0, 當0|xx0|d時, 有|f(x)A|e =1, 于是 |f(x)|=|f(x)A+A|163。|f(x)A|+|A|1+|A|. 這就證明了在x0的去心鄰域{x| 0|xx0|d }內(nèi), f(x)是有界的. 定理3(函數(shù)極限的局部保號性) 如果f(x)174。A(x174。x0), 而且A0(或A0), 那么存在常數(shù)d0, 使當0|xx0|d時, 有f(x)0(或f(x)0). 證明: 就A0的情形證明. 因為, 所以對于, $d 0, 當0|xx0|d 時, 有222。222。0. 定理3162。 如果f(x)174。A(x174。x0)(A185。0), 那么存在點x0的某一去心鄰域, 在該鄰域內(nèi), 有. 推論 如果在x0的某一去心鄰域內(nèi)f(x)179。0(或f(x)163。0), 而且f(x)174。A(x174。x0), 那么A179。0(或A163。0). 證明: 設(shè)f(x)179。0. 假設(shè)上述論斷不成立, 即設(shè)A0, 那么由定理1就有x0的某一去心鄰域, 在該鄰域內(nèi) f(x)0, 這與f(x)179。0的假定矛盾. 所以A179。0. 定理4(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系) 如果當x174。x0時f(x)的極限存在, {xn}為f(x)的定義域內(nèi)任一收斂于x0的數(shù)列, 且滿足xn 185。x0(n206。N+), 那么相應的函數(shù)值數(shù)列{f(x n)}必收斂, 且 . 證明 設(shè)f(x)174。A(x174。x0), 則e 0, $d 0, 當0|xx0|d 時, 有|f(x)A|e . 又因為xn174。x0(n174。165。), 故對d 0, $N206。N+, 當nN時, 有|xnx0|d . 由假設(shè), xn 185。x0(n206。N+). 故當nN時, 0|x nx 0|d , 從而|f(x n)A|e . 即 167。1. 4 無窮小與無窮大 一、無窮小 如果函數(shù)f(x)當x174。x0(或x174。165。)時的極限為零, 那么稱函數(shù)f(x)為當x174。x0(或x174。165。)時的無窮小. 特別地, 以零為極限的數(shù)列{xn}稱為n174。165。時的無窮小. 例如, 因為, 所以函數(shù)為當x174。165。時的無窮小. 因為, 所以函數(shù)為x1當x174。1時的無窮小. 因為, 所以數(shù)列{}為當n174。165。時的無窮小. 討論: 很小很小的數(shù)是否是無窮小？0是否為無窮??？ 提示: 無窮小是這樣的函數(shù), 在x174。x0(或x174。165。)的過程中, 極限為零. 很小很小的數(shù)只要它不是零, 作為常數(shù)函數(shù)在自變量的任何變化過程中, 其極限就是這個常數(shù)本身, 不會為零.