【文章內(nèi)容簡介】 (5x+2)12|e ,所以lim(5x+2)=12. x174。215x24=4lim (3)。 x174。2x+2分析 因為x24(4)=x2+4x+4=|x+2|=|x(2)| , x+2x+2x24(4)e所以要使, 只須|x(2)|e. x+2證明 因為e 0, $d=e, 當0|x(2)|d時, 有x24(4)e , x+22x4=4所以lim. x174。2x+2 314x (4)lim=2. 2x+1x174。2分析 因為314x2=|12x2|=2|x(1|, 2x+1214x32e所以要使, 只須|x(1)|1e. 2x+122證明 因為e 0, $d=1e, 當0|x(1)|d時, 有 2214x32e , 2x+112 314x所以lim=2. 2x+1x174。 2. 根據(jù)函數(shù)極限的定義證明:31+x=1。 (1)lim3x174。165。2x2分析 因為3331+x11+xx ==13, 3322x2x2|x|所以要使1+x31e1e, 即|x|1. , 只須2x22|x|e1, 當|x|X時, 有 證明 因為e 0, $X=1+x31e , 2x3231+x=1. 所以lim3x174。165。2x2sinx=0 (2)lim. x174。+165。x分析 因為x|x0=|sin163。 sinx所以要使sinx0e, 只須x證明 因為e0, $X=11. 1e, 即x1. exe2, 當xX時, 有sinx0e, xsinx=0所以lim. x174。+165。 3. 當x174。2時, y=x2174。4. 問d等于多少, 使當|x2|amp。lt。d時, |y4|amp。lt。？ 解 由于當x174。2時, |x2|174。0, 故可設(shè)|x2|1, 即1x3.要使|x24|=|x+2||x2|5|x2|, 只要|x2|=. 513 取d=, 則當0|x2|d時, 就有|x24|0. 001.2 4. 當x174。165。時, y=x21174。1, 問X等于多少, 使當|x|X時, |y1|? x+3x211=4 解 要使2, 只要|x|43=, 故X=. +3x+35. 證明函數(shù)f(x)=|x|當x174。0時極限為零.證明 因為|f(x)0|=||x|0|=|x|=|x0|,所以要使|f(x)0|e, 只須|x|e.因為對e0, $d=e, 使當0|x0|d, 時有|f(x)0|=||x|0|e,所以lim|x|=0. x174。0|x| 6. 求f(x)=x, j(x)=當x174。0時的左﹑右極限, 并說明它們在x174。0時的極xx限是否存在.證明 因為limf(x)=limx=lim1=1, x174。0x174。0xx174。0lim+f(x)=lim+x=lim+1=1, x174。0x174。0xx174。0limf(x)=lim+f(x), x174。0x174。0所以極限limf(x)存在. x174。0因為|x|=limx=1, x174。0x174。0xx174。0x|x|x=1, limj(x)=lim=limx174。0+x174。0+xx174。0+x limj(x)=limlimj(x)185。lim+j(x), x174。0x174。0所以極限limj(x)不存在. x174。07. 證明: 若x174。+165。及x174。165。時, 函數(shù)f(x)的極限都存在且都等于A, 則x174。165。limf(x)=A.14 證明 因為limf(x)=A, limf(x)=A, 所以eamp。gt。0, x174。165。x174。+165。$X10, 使當xX1時, 有|f(x)A|e 。$X20, 使當xX2時, 有|f(x)A|e .取X=max{X1, X2}, 則當|x|X時, 有|f(x)A|e , 即limf(x)=A. x174。165。8. 根據(jù)極限的定義證明: 函數(shù)f(x)當x174。x0 時極限存在的充分必要條件是左極限、右極限各自存在并且相等.證明 先證明必要性. 設(shè)f(x)174。A(x174。x0), 則eamp。gt。0, $d0, 使當0amp。lt。|xx0|amp。lt。d 時, 有|f(x)A|amp。lt。e .因此當x0damp。lt。xamp。lt。x0和x0amp。lt。xamp。lt。x0+d 時都有|f(x)A|amp。lt。e .這說明f(x)當x174。x0時左右極限都存在并且都等于A .再證明充分性. 設(shè)f(x00)=f(x0+0)=A, 則eamp。gt。0,$d1amp。gt。0, 使當x0d1amp。lt。xamp。lt。x0時, 有| f(x)Aamp。lt。e 。$d2amp。gt。0, 使當x0amp。lt。xamp。lt。x0+d2時, 有| f(x)A|amp。lt。e .取d=min{d1, d2}, 則當0amp。lt。|xx0|amp。lt。d 時, 有x0d1amp。lt。xamp。lt。x0及x0amp。lt。xamp。lt。x0+d2 , 從而有 | f(x)A|amp。lt。e ,即f(x)174。A(x174。x0).9. 試給出x174。165。時函數(shù)極限的局部有界性的定理, 并加以證明.解 x174。165。時函數(shù)極限的局部有界性的定理: 如果f(x)當x174。165。時的極限存在, 則存在X0及M0, 使當|x|X時, |f(x)|M.證明 設(shè)f(x)174。A(x174。165。), 則對于e =1, $X0, 當|x|X時, 有|f(x)A|e =1. 所以 |f(x)|=|f(x)A+A|163。|f(x)A|+|A|1+|A|.這就是說存在X0及M0, 使當|x|X時, |f(x)|M, 其中M=1+|A|.習(xí)題141. 兩個無窮小的商是否一定是無窮??？舉例說明之.解 不一定.例如, 當x174。0時, a(x)=2x, b(x)=3x都是無窮小, 但lim窮小.2. 根據(jù)定義證明:x29 (1)y=當x174。3時為無窮小。 x+3(2)y=xsin1當x174。0時為無窮小. x15a(x)2a(x)=, 不是無x174。0(x)3b(x)2 證明 (1)當x185。3時|y|=x9=|x3|. 因為e0, $d=e , 當0|x3|d時, 有 x+32x9=|x3|d=e|y|=, x+32x所以當x174。3時y=9為無窮小. x+3(2)當x185。0時|y|=|x||sin1|163。|x0|. 因為e0, $d=e , 當0|x0|d時, 有 x|y|=|x||sin1|163。|x0|d=e, x所以當x174。0時y=xsin1為無窮小. x 3. 根據(jù)定義證明: 函數(shù)y=1+2x為當x174。0時的無窮大. 問x應(yīng)滿足什么條件, x能使|y|104？11+2x=2+1179。12 證明 分析|y|=, 要使|y|M, 只須2M, 即xx|x||x||x|1. M+21, 使當0|x0|d時, 有1+2xM, xM+2所以當x174。0時, 函數(shù)y=1+2x是無窮大. x1. 當0|x0|1時, |y|104. 取M=104, 則d=410+2104+24. 求下列極限并說明理由:(1)lim2x+1。 x174。165。x21x (2)lim. x174。01x解 (1)因為2x+1=2+1, 而當x174。165。 時1是無窮小, 所以lim2x+1=2. x174。165。xxxx1x2=1+x1x2=1lim (2)因為(x185。1), 而當x174。0時x為無窮小, 所以.x174。01x1x證明 因為M0, $d=166. 函數(shù)y=xcos x在(165。, +165。)內(nèi)是否有界？這個函數(shù)是否為當x174。+165。 時的無窮大？為什么？解 函數(shù)y=xcos x在(165。, +165。)內(nèi)無界.這是因為M0, 在(165。, +165。)內(nèi)總能找到這樣的x, 使得|y(x)|M. 例如y(2kp)=2kp cos2kp=2kp (k=0, 1, 2, ),當k充分大時, 就有| y(2kp)|M.當x174。+165。 時, 函數(shù)y=xcos x不是無窮大.這是因為M0, 找不到這樣一個時刻N, 使對一切大于N的x, 都有|y(x)|M. 例如17 y(2kp+p)=(2kp+p)cos(2kp+p=0(k=0, 1, 2, ), 222對任何大的N, 當k充分大時, 總有x=2kp+pN, 但|y(x)|=0M. 2 7. 證明: 函數(shù)y=1sin1在區(qū)間(0, 1]上無界, 但這函數(shù)不是當x174。0+時的無窮xx大.證明 函數(shù)y=1sin1在區(qū)間(0, 1]上無界. 這是因為 xxM0, 在(0, 1]中總可以找到點xk, 使y(xk)M. 例如當x=1(k=0, 1, 2, ) k2kp+2時, 有y(xk)=2kp+p, 2當k充分大時, y(xk)M.當x174。0+ 時, 函數(shù)y=1sin1不是無窮大. 這是因為 xxM0, 對所有的d0, 總可以找到這樣的點xk, 使0xkd, 但y(xk)M. 例如可取xk=1(k=0, 1, 2, ), 2k當k充分大時, xkd, 但y(xk)=2kpsin2kp=0M.習(xí)題151. 計算下列極限:x2+5 (1)lim。 x174。2x322x+52=+5=9. 解 limx174。2x323x23 (2)。 x174。x2+12()23x3 解 2==0. x174。x+1()2+118(3)limx22x+1。 2x174。1x12(x1)2x2x+1x1=0=0. =li