【文章內(nèi)容簡介】 xdvdvdududydxdyxfy???? 的導(dǎo)數(shù)為則復(fù)合函數(shù) ??例 3 .s i nln 的導(dǎo)數(shù)求函數(shù) xy ?解 .s i n,ln xuuy ???dxdududydxdy ??? xu co s1 ??xxsincos? xcot?例 4 .)1( 102 的導(dǎo)數(shù)求函數(shù) ?? xy解 )1()1(10 292 ????? xxdxdyxx 2)1(10 92 ??? .)1(20 92 ?? xx例 5 .a r c s i n22222 的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)axaxaxy ???解 )a r cs i n2()2( 222 ?????? axaxaxy2222222222121xaaxaxxa??????.22 xa ??)0( ?a例 6 .)2(2 1ln 32的導(dǎo)數(shù)求函數(shù) ???? xxxy解 ),2l n (31)1l n (21 2 ???? xxy?)2(31211212 ???????? xxxy )2(3112 ???? xxx例 7 .1s i n 的導(dǎo)數(shù)求函數(shù) xey ?解 )1( s i n1s in??? xey x )1(1cos1s i n???? xxe x.1c o s11s i n2 xexx ???三、小結(jié) 反函數(shù)的求導(dǎo)法則 （注意成立條件） 。 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 （注意函數(shù)的復(fù)合過程 ,合理分解正確使用鏈導(dǎo)法） 。 已能求導(dǎo)的函數(shù) :可分解成基本初等函數(shù) ,或常數(shù)與基本初等函數(shù)的和、差、積、商 . 思考題 若 )( uf 在0u 不可導(dǎo)， )( xgu ? 在 0x 可導(dǎo)，且)( 00 xgu ? ，則 )]([ xgf 在 0x 處 （ ）．（ 1 ）必可導(dǎo)； （ 2 ）必不可導(dǎo)； （ 3 ）不一定可導(dǎo)；思考題解答 正確地選擇是 （ 3） 例 ||)( uuf ?在 處不可導(dǎo)， 0?u取 xxgu s i n)( ?? 在 處可導(dǎo)， 0?x|s i n|)]([ xxgf ?在 處不可導(dǎo)， 0?x ?)1(取 4)( xxgu ?? 在 處可導(dǎo)， 0?x44 ||)]([ xxxgf ??在 處可導(dǎo)， 0?x ?)2(一、 填空題： 1 、 設(shè) 4)52( ?? xy, 則 y ?= _ _______ ___. 2 、 設(shè)xy2s i n?, 則 y ?= _ _______ ____ . 3 、 設(shè))a r c t a n (2xy ?, 則 y ?= _ _______ ____ . 4 、 設(shè)xy c o sln?, 則 y ?= _ _______ __ __ . 5 、 設(shè) xxy2ta n10?，則 y ?= _ _______ ____. 6 、 設(shè))( xf可導(dǎo)，且)(2xfy ?， 則 dxdy= _ _______ ___. 7 、 設(shè) xkexft a n)( ? , 則 )( xf ? = _ _______ __ ， 若 ef ????????4?，則 ?k_ _______ ___. 練 習(xí) 題 二、 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：1 、 xy1a r c c o s? ； 2 、xxy2si n? ；3 、 )l n (22xaxy ??? ； 4 、 )c o tl n ( c s c xxy ?? ；5 、2)2( a r c si nxy ? ； 6 、xeya r c t a n? ；7 、xxya r c c o sa r c si n? ； 8 、xxy???11a r c si n .三、 設(shè) )( xf ， )( xg 可導(dǎo)，且 0)()(22?? xgxf , 求函數(shù))()(22xgxfy ?? 的導(dǎo)數(shù) .四、設(shè) )( xf 在 0?x 處可導(dǎo)，且 0)0( ?f ， 0)0( ??f ,又 )( xF 在 0?x 處可導(dǎo)，證明 ? ?)( xfF 在 0?x 處也可導(dǎo) .一、 1 、3)52(8 ?x ； 2 、 x2s i n ； 3 、412xx?； 4 、 xta n? ； 5 、 )2se c22( t a n10ln1022ta nxxxxx? ； 6 、 )(22xfx ? ； 7 、 xxkekxk21t a ns e ct a n ???,21.二、 1 、122?xxx； 2 、22si n2c o s2xxxx ?；3 、221xa ?； 4 、 xc s c ； 5 、242a r c si n2xx?； 6 、)1(2ar ctanxxex?；練習(xí)題答案 7 、22)( a r c c o s12 xx??； 8 、)1(2)1(1xxx ??.三、)()()()()()(22xgxfxgxgxfxf????.初等函數(shù)的求導(dǎo)問題 xxxxxxxCta nse c)(se cse c)(t a nc o s)(si n0)(2???????? xxxxxxxxxc o tc sc)( c scc sc)( c o tsi n)( c o s)(21???????????????axxaaaaxxln1)( l o gln)(????xxee xx1)(ln)(????2211)( a r c t a n11)( a r c si nxxxx??????2211)co t(11)( a rc co sxxxx????????arc、差、積、商的求導(dǎo)法則 設(shè) ) ( ), ( x v v x u u ? ? 可導(dǎo)，則 （ 1 ） v u v u ? ? ? ? ) ( , （ 2 ） u c cu ? ? ? ) ( （ 3 ） v u v u uv ? ? ? ? ? ) ( , （ 4 ） ) 0 ( ) ( 2 ? ? ? ? ? ? v v v u v u v u . ( 是常數(shù) ) C? ? ).()()()]([)(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy?????????????或?qū)?shù)為的則復(fù)合函數(shù)而設(shè)利用上述公式及法則初等函數(shù)求導(dǎo)問題可完全解決 . 注意 :初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù) . 例 1 .的導(dǎo)數(shù)求函數(shù) xxxy ???解 )(2 1 ??????? xxxxxxy))(2 11(2 1 ??????? xxxxxxx))2 11(2 11(21xxxxxx ??????.812422xxxxxxxxxx????????例 2 .)]( s i n[ 的導(dǎo)數(shù)求函數(shù) nnn xfy ??解 )]( s i n[)]( s i n[1 nnnnn xfxnfy ?????? ?)( s i n)( s i n1 nnn xxn ? ???? ? 1c o s ??? n nxx).( s i n)]( s i n[)( s i n)]( s i n[c o s1113nnnnnnnnnnxxfxxfxxn? ??????????????小 結(jié) 任何初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都可以按常數(shù)和基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和上述求導(dǎo)法則求出 . 關(guān)鍵 : 正確分解初等函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu) . 思考題 冪函數(shù)在其定義域內(nèi)（ ） . （ 1 ） 必可導(dǎo)； （ 2 ）必不可導(dǎo)；（ 3 ）不一定可導(dǎo)；思考題解答 正確地選擇是 （ 3） 例 32)( xxf ? ),( ?????x在 處不可導(dǎo)， 0?x ?)1(2)( xxf ? ),( ?????在定義域內(nèi)處處可導(dǎo)， ?)2(一、 填空題： 1 、 設(shè)nxxyln? ，則 y ? = _ _______ __. 2 、 設(shè)xy1co sln? ，則 y ? = _ _______ __. 3 、 設(shè) xxy ?? ，則 y ? = _ _______ __. 4 、 設(shè)tttteeeey????? ，則 y ? = _ _______ _. 5 、 設(shè) )999()2)(1()( ???? xxxxxf ??則 )0(f ? = __ _______ _. 二、 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 1 、 )1t a n ( 2xy ?? ； 2 、 ?y s incar )1( 2 ?x ； 練 習(xí) 題 一、 1 、1ln1??nxxn； 2 、xx1t a n12； 3 、xxxx??412； 4 、t2c o sh1； 5 、 999!. 練習(xí)題答案 一、高階導(dǎo)數(shù)的定義 問題 :變速直線運動的加速度 . ),( tfs ?設(shè) )()( tftv ??則瞬時速度為的變化率對時間是速度加速度 tva?.])([)()( ?????? tftvta定義 .)())((,)()(lim))((,)()(0處的二階導(dǎo)數(shù)在點為函數(shù)則稱存在即處可導(dǎo)在點的導(dǎo)數(shù)如果函數(shù)xxfxfxxfxxfxfxxfxfx??????????????記作 .)(,),( 2222dxxfddxydyxf 或????記作階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為的函數(shù)一般地,)(1)(,nxfnxf ?.)(,),( )()( nnnnnndxxfddxydyxf 或三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為四階導(dǎo)數(shù) , 二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為 高階導(dǎo)數(shù) . .)(。)(, 稱為一階導(dǎo)數(shù)稱為零階導(dǎo)數(shù)相應(yīng)地 xfxf ?.,),( 33dxydyxf ??????二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù) , .,),( 44)4()4(dxydyxf二、 高階導(dǎo)數(shù)求法舉例 例 1 ).0(),0(,a r c t a n ffxy ?????? 求設(shè)解 21 1 xy ??? )1 1( 2 ????? xy 22 )1( 2x x???))1( 2( 22 ??????? x xy 322)1()13(2xx???022 )1(2)0(???????xxxf0322)1()13(2)0(???????xxxf。0? .2?? : 由高階導(dǎo)數(shù)的定義逐步求高階導(dǎo)數(shù) . 例 2 .),( )( nyRxy 求設(shè) ??? ?解 1????? xy)( 1 ????? ??xy 2)1( ????? x??3)2)(1( ???????? x))1(( 2 ??????? ??xy)1()1()1()( ???????? ?? nxny nn ?則為自然數(shù)若 ,n?)()( )( nnn xy ? ,!n? )!()1( ??? ny n .0?例 3 .),1l n ( )( nyxy 求設(shè) ??解 注意 : xy ??? 112)1(1xy ?????3)1(!2xy ????? 4)4()1(!3xy ?????)1!0,1()1( )!1()1( 1)( ?????? ? nxny nnn 求 n階導(dǎo)數(shù)時 ,求出 13或 4階后 ,不要急于合并 ,分析結(jié)果的規(guī)律性 ,寫出 n階導(dǎo)數(shù) .(數(shù)學(xué)歸納法證明 ) 例 4 .,s i n )( nyxy 求設(shè) ?解 xy c o s?? )2s in ( ??? x)