【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 數(shù)的全導(dǎo)數(shù)，由于恒等式兩端求導(dǎo)后仍然恒等，即得 由于 ，且 ，所以存在 的 00( , ) 0F x y ? ()y f x?( , ( ) ) 0F x f x ?0F F d yx y d x??????yF 00( , ) 0yF x y ? 00( , )xy返 回 下一頁(yè) 上一頁(yè) 一個(gè)鄰域，在這個(gè)鄰域內(nèi) ，于是得 如果 的二階偏導(dǎo)數(shù)也都連續(xù)，我們可以把等式 (1)的兩端看作 x的復(fù)合偏導(dǎo)數(shù)而再求一次導(dǎo)，即得 0yF ?xyFdydx F??( , )F x y22xxyyFFd y dydx x F y F dx? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?返 回 下一頁(yè) 上一頁(yè) 隱函數(shù)存在定理可以判定由方程 所確定的二元函數(shù) 的存在，以及這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)。 隱函數(shù)存在定理 2 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)， 22x x y y x x x y y y y x xy y yF F F F F F F F FF F F????? ? ? ?????2232x x y x y x y y y xyF F F F F F FF????( , , ) 0F x y z ?( , )z f x y?( , , ) 0F x y z ?0 0 0( , , )P x y z返 回 下一頁(yè) 上一頁(yè) 且 ，則方程 在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)恒能 唯一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函 數(shù) ，它滿足條件 ，并 有 (2) 將公式 (2)做如下的推導(dǎo)，由于 將上式兩端分別對(duì) x和 y求導(dǎo)，應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo) 0 0 0 0 0 0( , , ) 0 , ( , , ) 0xF x y z F x y z??( , , ) 0F x y z ? 0 0 0( , , )x y z( , )z f x y? 0 0 0( , )z f x y?, yxzzFFzzx F y F??? ? ? ???( , , ( , ) ) 0F x y f x y ?返 回 下一頁(yè) 上一頁(yè) 法則得 因?yàn)? 連續(xù)，且 ，所以存在點(diǎn) 的一個(gè)鄰域，在這個(gè)鄰域內(nèi) ， 于是得 0 , 0x z y zzzF F F Fxy??? ? ? ?zF 0 0 0( , , ) 0zF x y z ?0 0 0( , , )x y z 0zF ?, yxzzFFzzx F y F??? ? ? ???返 回 下一頁(yè) 上一頁(yè) 二、方程組的情況 考慮方程組 (5) 在四個(gè)變量中，一般只能有兩個(gè)變量獨(dú)立化， 因此方程組 (5)就有可能確定兩個(gè)二元函數(shù) .這 種情形下我們可以由函數(shù) F、 G的性質(zhì)來(lái)斷定方 程組 (5)所確定的兩個(gè)二元函數(shù)的存在，以及它 們的性質(zhì) . ( , , , ) 0( , , , ) 0F x y u vG x y u v??? ??返 回 下一頁(yè) 上一頁(yè) 隱函數(shù)存在定理 3 設(shè) 以及 在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi) 具有對(duì)各個(gè)變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又 、 ，且 偏導(dǎo)數(shù)所組成的函數(shù)行列式 (或稱雅可比 (Jacobi)行列式 )： ( , , , )F x y u v( , , , )G x y u v 0 0 0 0( , , , )P x y u v0 0 0 0( , , , ) 0F x y u v ? 0 0 0 0( , , , ) 0G x y u v ?( , )( , )FFFG uvJGGuvuv??? ?????????　　　　返 回 下一頁(yè) 上一頁(yè) 在點(diǎn) 不等于零，則方程組 、 在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一組 單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù) ， ，它們滿足條件 ， ，并有 0 0 0 0( , , , )P x y u v0 0 0 0( , , , ) 0F x y u v ? 0 0 0 0( , , , ) 0G x y u v ?0 0 0 0( , , , )x y u v( , )u u x y?( , )v v x y? 0 0 0( , )u u x y?0 0 0( , )v v x y?1 ( , )( , )xvxvuvuvFFGGu F GFFx J x uGG??? ? ? ???　　　　返 回 下一頁(yè) 上一頁(yè) (6) 1 ( , )( , )uxuxuvuvFFGGu F GFFx J u xGG??? ? ? ???　　　　1 ( , )( , )yvyvuvuvFFGGu F GFFy J y vGG??? ? ? ???　　　　返 回 下一頁(yè) 上一頁(yè) 下面僅就公式 (6)做如下推導(dǎo) . 由于 1 ( , )( , )uyuyuvuvFFGGu F GFFy J u yGG??? ? ? ???　　　　? ?, , ( , ) , ( , ) 0F x y u x y v x y ?? ?, , ( , ) , ( , ) 0G x y u x y v x y ?返 回 下一頁(yè) 上一頁(yè) 將恒等式兩邊分別對(duì) x求導(dǎo)，應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得 這是關(guān)于 的線性方程組，由假設(shè)可知在 點(diǎn) 的一個(gè)鄰域，系數(shù)行列式 00x u vx u vuvF F FxxuvG G Gxx???? ? ??? ??????? ? ?? ???,uvxx????0 0 0 0( , , , )P x y u v0uvuvFFJGG??　　返 回 下一頁(yè) 上一頁(yè) 從而可解出 ，得 同理，可得 ,uvxx????1 ( , ) 1 ( , ),( , ) ( , )u F G v F Gx J x v x J u x? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?　　1 ( , ) 1 ( , ),( , ) ( , )u F G v F Gy J y v y J u y? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?　　返 回 上一頁(yè) 一 .空間曲線的切線與法平面 二 .曲面的切平面與法線 第六節(jié) 微分法在幾何上的應(yīng)用 返 回 習(xí)題 一、空間曲線的切線與法平面 設(shè)空間曲線 Γ 的參數(shù)方程 (1) 這里假定 (1)式的三個(gè)函數(shù)都可導(dǎo) . 在曲線 Γ 上取對(duì)應(yīng)與 的一點(diǎn) 及對(duì)應(yīng)于 的鄰近一點(diǎn) .根據(jù)解析幾何， 曲線的割線 的方程是 ( ) , ( ) , ( )x t y t z t? ? ?? ? ? 　0tt? 0 0 0( , , )M x y z0t t t? ? ?0 0 0( , , )M x x y y z z? ? ? ? ? ? ?MM?0 0 0x x y y z zxyz? ? ??????返 回 下一頁(yè) 當(dāng) 沿著 Γ 趨于 ，時(shí)割線 的極限位 置 就是曲線 Γ 在點(diǎn) 處的 切線 (圖 87). 用 Δt 除上式的各分母，得 令 (這 Δt→0) ， 通過(guò)對(duì)上式取極限，即得 圖 87 曲線在點(diǎn) 處的切線方程 M MM?MT MzMM ??MM?0 0 0x x y y z zxyzt t t? ? ??????? ? ?zxyMTM??O返 回 下一頁(yè) 上一頁(yè) 這里當(dāng)要假定 都不能為 零 . 切線的方向向量稱為 曲線的切向量 .向量 就是曲線通過(guò) Γ 在點(diǎn) 處的一個(gè)切向量 . 點(diǎn)通過(guò) 而與切線垂直的平面稱為曲線 Γ 在 0 0 00 0 0( ) ( ) ( )x x y y z zt t t? ? ?? ? ???? ? ?z0 0 0( ) ( ) ( )t t t? ? ?? ? ?、? ?000( ) , ( ) , ( )T t t t? ? ?????MM返 回 下一頁(yè) 上一頁(yè) 點(diǎn) 處的法平面，它是通過(guò)點(diǎn) 而 以 T為法向量的平面，因此這 法平面的方程 為 zM 0 0 0( , , )M x y z0 0 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0t x x t y y t z z? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?返 回 下一頁(yè) 上一頁(yè) 二、曲面的切平面與法線 我們先討論由隱式給出曲面方程 的情形，然后把顯式給出的曲面方程 z=f(x,y) 作為它的特殊情形 . 設(shè)曲面 Σ 由方程 (9)給出， 是曲 面 Σ 上的一點(diǎn)，并設(shè)函數(shù) 的偏導(dǎo)數(shù) 在該點(diǎn)連續(xù)且不同時(shí)為零 .在曲線 Σ 上，通過(guò)點(diǎn) M引一條曲線 Γ( 圖 88)，假定曲線 Γ 的參數(shù)方 程為 z( , , ) 0F x y z ?0 0 0( , , )M x y z( , , )F x y z返 回 下一頁(yè) 上一頁(yè) 程為 (10) 對(duì)應(yīng)于點(diǎn) 且 ， ， 不全為 零，則由 (2)式可得這 曲線的切線方程為 圖 88 ( ) , ( ) , ( )x t y t z t? ? ?? ? ?zzxyOMT??n0tt?0 0 0( , , )M x y z 0()t??0()t?? 0()t??0 0 00 0 0( ) ( ) ( )x x y y z zt t t? ? ?? ? ???? ? ?返 回 下一頁(yè) 上一頁(yè) 引入向量 則 表示 (10)在點(diǎn) M處的切向量 z? ?0 0 0 0 0 0 0 0 0( , , ) , ( , , ) , ( , , )x