【正文】 以及 n階偏導(dǎo)數(shù) .二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為 高階偏導(dǎo)數(shù) . 定理 如果函數(shù) z=f(x,y)的兩個(gè)二階混合偏 導(dǎo)數(shù) 及 在 D內(nèi)連續(xù)，那么在該區(qū)域內(nèi) 這兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等 . 222(,),(,) xxxy zzzz fxyfxy xxxyxxy ???????? ?????? ????? ????　　222( , ) , ( , )y x y yz z z zf x y f x yx y y x y y y????? ? ? ? ? ?? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ?????　　2zyx???2zxy??? 例題 例題 返 回 上一頁 第三節(jié) 全微分及其應(yīng)用 習(xí)題 下一頁 返 回 第三節(jié) 全微分及其應(yīng)用 二元函數(shù)對(duì)某個(gè)自變量的偏導(dǎo)數(shù)表示當(dāng)另一個(gè)自變量固定時(shí)，因變量相對(duì)于該自變量的變化率 . 上面兩式的左端分別叫做二元函數(shù)對(duì) x和對(duì) y的偏增量，而右端分別叫做二元函數(shù)對(duì) x和對(duì) y的偏微分 . 設(shè)函數(shù) z=f(x,y)在點(diǎn) P(x,y)的某鄰域內(nèi)有定義，并設(shè) 為這鄰域內(nèi)的任意一 ( , ) ( , ) ( , )xf x x y f x y f x y x? ? ? ? ?( , ) ( , ) ( , )yf x y y f x y f x y y? ? ? ? ?( , )P x x y y? ? ? ? ?下一頁 上一頁 返 回 點(diǎn)，則稱這兩點(diǎn)的函數(shù)值之差 為函數(shù)在點(diǎn) P對(duì)應(yīng)于自變量增量 Δx 、 Δy 的 全增量 ，記作 Δz ，即 定義 如果函數(shù) z=f(x,y)在點(diǎn) (x,y)的全增量 (1) 可表示為 ( , ) ( , )f x x y y f x y? ? ? ? ?( , ) ( , )z f x x y y f x y? ? ? ? ? ? ?( , ) ( , )z f x x y y f x y? ? ? ? ? ? ?()z A x B y o ?? ? ? ? ? ?下一頁 上一頁 返 回 其中 A、 B不依賴于 Δx 、 Δy 而僅與 x,y有關(guān)， ，則稱函數(shù) z=f(x,y)在點(diǎn) (x,y)可微分，而 稱為函數(shù) z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)全微分，記作 dz,即 (2) 如果函數(shù)在區(qū)域 D內(nèi)各點(diǎn)處都可微分，那么稱這函數(shù) 在 D內(nèi)可微分 . 下面討論函數(shù) z=f(x,y)在點(diǎn) (x,y)可微分的條件 . 定理 1(必要條件 ) 如果函數(shù) z=f(x,y)在點(diǎn) 22( ) ( )xy? ? ? ? ?A x B y? ? ?d z A x B y? ? ? ?下一頁 上一頁 返 回 (x,y)可微分，則該函數(shù)在點(diǎn) (x,y)的偏導(dǎo)數(shù) 必定存在，且函數(shù) z=f(x,y)在點(diǎn) (x,y)的全微 分為 (3) 證 設(shè)函數(shù) z=f(x,y)在點(diǎn) P(x,y)可微分 .于是對(duì)于點(diǎn) P的某個(gè)鄰域內(nèi)的任意點(diǎn) ， (2)式總成立 .特別當(dāng) 時(shí) (2)式也應(yīng)成立，這時(shí) ，所以 (2)式成為 zx??zy??zzdz x yxy??? ? ? ???( , )P x x y y? ? ? ? ?x? ??0y??下一頁 上一頁 返 回 上式兩邊各除以 ，再令 而極限，就得 從而，偏導(dǎo)數(shù) 存在，而且等于 = .證畢 . ( , ) ( , ) ( )f x x y f x y A x x?? ? ? ? ? ? ?x? 0x??0( , ) ( , )l i mxf x x y f x y Ax??? ? ? ??zx??zy??下一頁 上一頁 返 回 定理 2(充分條件 ) 如果 z=f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù) 在 (x,y)連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)可微分 . 證 因?yàn)槲覀冎幌抻谟懻撛谀骋粎^(qū)域內(nèi)有定義的函數(shù) (對(duì)于偏導(dǎo)數(shù)也如此 )，所以假定偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn) P(x,y)連續(xù)，就含有偏導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)必然存在的意思 .設(shè)點(diǎn) 為這鄰域內(nèi)任意一點(diǎn)，考察函數(shù)的全增量 zzxy????、( , )x x y y? ? ? ?( , ) ( , )z f x x y y f x y? ? ? ? ? ? ?? ?( , ) ( , )f x x y y f x y y? ? ? ? ? ? ? ?下一頁 上一頁 返 回 在第一個(gè)方括號(hào)內(nèi)的表達(dá)式，由于 y+Δy 不變，因而可以看作是 x的一元函數(shù) 的增量 .于是應(yīng)用拉格郎日中值定理，得到 又依假設(shè)， 在點(diǎn) 連續(xù)，所以上式可寫為 ? ?( , ) ( , )f x x y y f x y y? ? ? ? ? ? ? ?? ?( , ) ( , )f x y y f x y? ? ? ?( , )f x y y??( , ) ( , )f x x y y f x y y? ? ? ? ? ? ?11( , ) 0 1xf x x y y x??? ? ? ? ? ? ? ?　( )( , )xf x y ( , )xy下一頁 上一頁 返 回 (4) 其中 為 Δx 、 Δy 的函數(shù)，且當(dāng) 時(shí)， . 同理可證第二個(gè)方括號(hào)內(nèi)的表達(dá)式可寫為 (5) 其中 為 Δy 的函數(shù)，且當(dāng) 時(shí)， . 由 (4)、 (5)兩式可見，在偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的假定下，全增量 Δz 可以表示為 ( , ) ( , )f x x y y f x y y? ? ? ? ? ? ?1( , )xf x y x x?? ? ? ?1? 0 , 0xy? ? ? ?1 0? ?2( , ) ( , ) ( , )yf x y y f x y f x y y y?? ? ? ? ? ? ?2? 0y?? 2 0? ?下一頁 上一頁 返 回 容易看出 它就是隨著 即 而趨于零的 . 這就證明了 z=f(x,y)在點(diǎn) P(x,y)是可微分的 . 12( , ) ( , )xyz f x y x f x y y x y??? ? ? ? ? ? ? ? ?1212xy?? ???? ? ? ??0 , 0xy? ? ? ? 0? ?例題 上一頁 返 回 第四節(jié) 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 返 回 下一頁 習(xí)題 第四節(jié) 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 定理 如果函數(shù) 及 都在點(diǎn) t可導(dǎo)，函數(shù) z=f(u,v)在對(duì)應(yīng)點(diǎn) (u,v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則符合函數(shù) 在 t可導(dǎo)，切其導(dǎo)數(shù)可用下列公式計(jì)算： (1) 證 設(shè) t獲得增量 Δt ，這時(shí) 、 的對(duì)應(yīng)增量為 Δu 、 Δv, 由此，函數(shù) z=f(u,v) ()ut?? ()vt??? ?( ) , ( )z f t t???d z z d u z d ud t u d t v d t??????()ut?? ()vt??下一頁 上一頁 返 回 相應(yīng)的獲得增量 Δz. 根據(jù)規(guī)定，函數(shù) z=f(u,v) 在點(diǎn) (u,v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，于是由第三節(jié)公式(6)有 這里，當(dāng) 時(shí)， . 將上式兩邊各除以 Δt ，得 因?yàn)楫?dāng) ，時(shí) ， ， 12zzz u v u vuv ????? ? ? ? ? ? ? ? ???0 , 0uv? ? ? ? 120 , 0??? ? ? ?12z z u z v u vt u t v t t t??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?0t?? 0 , 0uv? ? ? ? u dut dt? ??下一頁 上一頁 返 回 ，所以 這就證明符合函數(shù) 在點(diǎn) t可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)可用公式 (1)計(jì)算 .證畢 . 全微分形式不變 設(shè)函數(shù) z=f()具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有全微分 v dvt dt? ??0l imxz z d u z d vt u d t v d t? ?? ? ???? ? ?? ?( ) , ( )z f t t???下一頁 上一頁 返 回 如果 u、 v又是 x、 y的函數(shù) 、 且這兩個(gè)函數(shù)也具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù) 的全微分為 zzd z d u d vuv??????( , )u x y?? ( , )v x y??? ?( , ) , ( , )z f x y x y???zzd z d x d yxy??????下一頁 上一頁 返 回 其中 及 發(fā)分別由公式 (4)及 (5)給出 .把公 式 (4)及 (5)中的 及 帶如上式，得 zx??zy??zx??zy??z u z v z u z vdz dx dyu x v x u y v y??? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ?????z u u z v vdx dy dx dyu x y v x y? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?zzd u d vuv??????下一頁 上一頁 返 回 由此可見，無論 z是自變量 u、 v的函數(shù)或中間變量 u、 v的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的 .這個(gè)性質(zhì)叫做全微分形式不變性 . 上一頁 返 回 一 .一個(gè)方程的情形 二 .方程組的情形 第五節(jié) 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式 返 回 習(xí)題 一、一個(gè)方程的情況 隱函數(shù)存在定理 1 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且 ， ，則方程 在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)單質(zhì)來年許具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù) ,它滿足條件 ，并有 （ 1） ( , )F x y00( , )P x y00( , ) 0F x y ?00( , ) 0yF x y ? 00( , ) 0F x y ? 00( , )xy()y f x?00()y f x?xyFdydx F??返 回 下一頁 公式推導(dǎo)： 將方程 所確定的函數(shù) 代入，得恒等式 其左端可以看作是 x的一個(gè)復(fù)合函數(shù)，求這個(gè)函數(shù)的全導(dǎo)數(shù)，由于恒等式兩端求導(dǎo)后仍然恒等，即得 由于 ，且 ，所以存在 的 00( , ) 0F x y ? ()y f x?( , ( ) ) 0F x f x ?0F F d yx y d x??????yF 00( , ) 0yF x y ? 00( , )xy返 回 下一頁 上一頁 一個(gè)鄰域，在這個(gè)鄰域內(nèi) ，于是得 如果 的二階偏導(dǎo)數(shù)也都連續(xù)，我們可以把等式 (1)的兩端看作 x的復(fù)合偏導(dǎo)數(shù)而再求一次導(dǎo)，即得 0yF ?