【正文】 具有極值的 必要條件為 定理 2(充分條件 ) 設(shè)函數(shù) 在 00( , ) 0yf x y ?( , , )u f x y z? 0 0 0( , , )x y z0 0 0( , , )x y z0 0 0 0 0 0 0 0 0( , , ) 0 , ( , , ) 0 , ( , , ) 0x y zf x y z f x y z f x y z? ? ?　　( , )z f x y?返 回 下一頁(yè) 上一頁(yè) 點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)連續(xù)且具有 一階及二階 連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又 ， ，令 則 在 處是否取得極值的條件如 下： (1) 時(shí)具有極值，且當(dāng) 時(shí)有極大值，當(dāng) 時(shí)有極小值； (2) 時(shí)沒(méi)有極值； (3) 時(shí)可能有極值，也可能沒(méi) 00( , )xy00( , ) 0xf x y ? 00( , ) 0yf x y ?0 0 0 0 0 0( , ) , ( , ) , ( , )x x x y y yf x y A f x y B f x y C? ? ?　　( , )f x y00( , )xy2 0A C B?? 0A?0A ?2 0A C B??2 0A C B??返 回 下一頁(yè) 上一頁(yè) 有極值，還需另作討論 . 二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù) 的極值 的求法敘述如下： 第一步 解方程組 求得一切實(shí)數(shù)解，即可求得一切駐點(diǎn) . 第二步 對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn) ，求出 二階偏導(dǎo)數(shù)的值 和 . 第三步 定出 的符號(hào)，按定理 2的 ( , )z f x y?( , ) 0 , ( , ) 0xyf x y f x y??　00( , )xyAB、 C2AC B?返 回 下一頁(yè) 上一頁(yè) 結(jié)論判定 是否是極值、是極大值還是極 小值 . 0( , )f x y返 回 下一頁(yè) 上一頁(yè) 二、條件極值 拉格朗日乘數(shù)法 上面所討論的極值問(wèn)題，對(duì)于函數(shù)的自變 量，除了限制在函數(shù)的定義域以外，并無(wú)其他 條件，所以有時(shí)候稱為 無(wú)條件極值 .但在實(shí)際問(wèn) 題中，有時(shí)會(huì)遇到對(duì)函數(shù)的自變量還有附加條 件的極值問(wèn)題 . 例如，求表面積為 而體積為最大的長(zhǎng)方 體的體積問(wèn)題 .設(shè)長(zhǎng)方體的三棱的長(zhǎng)為 還必須滿足附加條件 .象這 種對(duì)自變量有附加條件的極值稱為 條件極值 . 2a,x y z22 ( )x y y z x z a? ? ?返 回 下一頁(yè) 上一頁(yè) 對(duì)于有些實(shí)際問(wèn)題，可以把條件極值化為 無(wú)條件極值，然后利用第一目中的方法加以解 決 .例如上述問(wèn)題，可由條件 ，將 z表示成 x,y的函數(shù) 再把它代入 中，于是問(wèn)題就化為求 2 22 ( )a x yzxy???V xyz?22 ( )x y y z x z a? ? ?2 22 2 ( )x y a x yVxy???? ?????返 回 下一頁(yè) 上一頁(yè) 的無(wú)條件極值 . 但在很多情形下，將條件極值化為無(wú)條件 極值并不這樣簡(jiǎn)單 .我們另有一種直接尋求條件 極值的方法，可以不必先把問(wèn)題化到無(wú)條件極 值的問(wèn)題 . 拉格朗日乘數(shù)法 要找函數(shù) 在附加條件 下的可能極值點(diǎn)，可以 先構(gòu)成輔助函數(shù) 其中 為某一常數(shù) .求其對(duì) x與 y的一階偏導(dǎo)數(shù)， ( , )z f x y?( , ) 0xy? ?( , ) ( , ) ( , )F x y f x y x y?????返 回 下一頁(yè) 上一頁(yè) 并使之為零，然后與方程 聯(lián)立起來(lái)： 由這方程組解出 及 ，則其中 就是函 數(shù) 在附加條件 下的可能極值 點(diǎn)的坐標(biāo) . ( , ) 0xy? ?( , ) ( , ) 0( , ) ( , ) 0( , ) 0xxyyf x y x yf x y x yxy?????? ?????????( , )f x y ( , ) 0xy? ?,xy ,xy?返 回 下一頁(yè) 上一頁(yè) 第八章結(jié)束 上一頁(yè) 返 回 總習(xí)題 八 “ 充分 ” 、 “ 必要 ” 和 “ 充分 ” 三者中選擇一個(gè)正 確的填入下列空格內(nèi)： （ 1） 在點(diǎn) 可微分是 在該點(diǎn)連續(xù)的 充分 條件 . 在點(diǎn) 連續(xù)是 在該點(diǎn)可微分的 必要 條件 . （ 2） 在點(diǎn) 的偏導(dǎo)數(shù) 及 存在是 在該點(diǎn)可微分的 必要 ( , )f x y下一頁(yè) 返 回 ( , )xy ( , )f x y( , )f x y ( , )xy( , )f x y( , )z f x y? ( , )xy zx??zy??( , )f x y條件 . 在點(diǎn) 可微分是函數(shù)在 該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù) 及 存在的 充分 條件 . （ 3） 的偏導(dǎo)數(shù) 及 在點(diǎn) 存在且連續(xù)是 在該點(diǎn)可微分的 充分 條件 . （ 4）函數(shù) 的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo) 數(shù) 及 在區(qū)域 D內(nèi)連續(xù)是這兩個(gè)二階 下一頁(yè) 返 回 ( , )z f x y? ( , )xyzx??zy??上一頁(yè) ( , )z f x y? zx??zy??( , )xy ( , )f x y( , )z f x y?2zxy???2zyx???混合偏導(dǎo)數(shù)在 D內(nèi)相等的 充分 條件 . 的定義 域，并求 . 不存在 . 下一頁(yè) 返 回 上一頁(yè) 120l im ( , )xyf x y??2224( , )l n ( 1 )xyf x yxy????22400l imxyxyxy???題解 題解 求 及 . ： 下一頁(yè) 返 回 上一頁(yè) 2222222,0( , )0 , 0xyxyxyf x yxy?????? ?????　　　　　( , )xf x y ( , )yf x y2( 1 ) l n ( )z x y?? ( 2 ) yzx?題解 題解 題解 當(dāng) 時(shí)的全增量和全微分 . 證明： 在點(diǎn) (0,0)處連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存 在，但不可微分 . 下一頁(yè) 返 回 上一頁(yè) 22222 2 3 / 222,0()( , )0 , 0xyxyxyf x yxy?????? ?????　　　　　 0 .0 3y??2 , 1 , 0 . 0 1 ,x y x? ? ? ?22xyzxy??( , )f x y題解 題解 ，而 都是可微 函數(shù)，求 . 具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，而 求 . ，其中 f具有連續(xù) 的二階偏導(dǎo)數(shù)，求 . 下一頁(yè) 返 回 上一頁(yè) , , ,u v w? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?dudt( ) , ( )x t y t????yux?( , , )z f u v w?,z z z? ? ?? ? ?? ? ?( , , ) , yz f u x y u x e??2zxy???題解 題解 題解 試求 和 . 在點(diǎn) 處的切線及法平面方程 . 上求一點(diǎn)，使這點(diǎn)處的法線 垂直于平面 ，并寫出這法線 的方程 . 下一頁(yè) 返 回 上一頁(yè) c o s , s i n , .uux e v y e v z u v? ? ?zx??zy??c o s , s i n ,x a y a z b? ? ?? ? ?( , 0 , 0 )az xy?2 9 0x y z? ? ? ?題解 題解 題解 x軸正向到方向 的轉(zhuǎn)角為 ，求函數(shù) 在點(diǎn) (1,1)沿方向 的方向?qū)?shù)，并分別確定轉(zhuǎn) 角 ，使這導(dǎo)數(shù)有 (1)最大值， (2)最小值， (3) 等于 0. 在橢球面 上點(diǎn) 處沿外法線方向的方向?qū)? 數(shù) . 下一頁(yè) 返 回 上一頁(yè) l22( , )f x y x x y y? ? ??l?2 2 2u x y z? ? ?2 2 21x y za b c? ? ?0 0 0 0( , , )M x y z題解 題解 和柱面 的交線上與 xOy平面距離最短的點(diǎn) . 的切平面，使該切平面與三坐標(biāo)面所圍成的 四面體的體積最小 .求著切平面的切點(diǎn)，并求此 最小體積 . 返 回 上一頁(yè) 22 1xy??13 4 5x y z? ? ?2 2 21x y za b c? ? ?題解 題解 解： 求定義域 需滿足 即 需滿足 下一頁(yè) 返 回 ( , )xy222224010l n ( 1 ) 0xyxyxy? ???? ? ???? ? ??( , )xy22222401011xyxyxy? ???? ? ???? ? ??( , )x y D?? 而 是 D的一個(gè)內(nèi)點(diǎn) . 返 回 2224( , )l n ( 1 )xyf x yxy?????? ?2 2 2( , ) 4 0 , 0 1D x y x y x y? ? ? ? ? ?上一頁(yè) 1 ,02??????12012l im ( , ) , 032ln4xyf x y f????? ? ?????解： 設(shè)當(dāng) 時(shí)， 沿 的方向趨近于 零 顯然，該極限隨 k的 不同而改變 . 返 回 0x ? y222 4 2 4 200l im l imxxyyx y k xx y x k x??????12y kx?24 2 400l im( 1 ) 1xyk x kk x k??????解： 當(dāng) ,顯然 . 當(dāng) , 下一頁(yè) 返 回 ( , ) ( , )( , ) l i mx xf x x y f x yf x yx? ? ?? ? ???22 0xy?? 0xf ?22 0