【正文】 高等數(shù)學(xué)教案 第一章 函數(shù)與極限第一章 函數(shù)與極限教學(xué)目的： 理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示方法，并會(huì)建立簡(jiǎn)單應(yīng)用問題中的函數(shù)關(guān)系式。 了解函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性和有界性。 理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念。 掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形。 理解極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念，以及極限存在與左、右極限之間的關(guān)系。 掌握極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算法則。 了解極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則，并會(huì)利用它們求極限，掌握利用兩個(gè)重要極限求極限的方法。 理解無窮小、無窮大的概念，掌握無窮小的比較方法，會(huì)用等價(jià)無窮小求極限。 理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會(huì)判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類型。了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì)。教學(xué)重點(diǎn)： 復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念； 基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形； 極限的概念極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算法則； 兩個(gè)重要極限； 無窮小及無窮小的比較； 函數(shù)連續(xù)性及初等函數(shù)的連續(xù)性； 區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。教學(xué)難點(diǎn)： 分段函數(shù)的建立與性質(zhì)； 左極限與右極限概念及應(yīng)用； 極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則的應(yīng)用； 間斷點(diǎn)及其分類； 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用。167。1. 1 映射與函數(shù) 一、集合 1. 集合概念 集合(簡(jiǎn)稱集): 集合是指具有某種特定性質(zhì)的事物的總體. 用A, B, C….等表示. 元素: 組成集合的事物稱為集合的元素. a是集合M的元素表示為a206。M. 集合的表示: 列舉法: 把集合的全體元素一一列舉出來. 例如A={a, b, c, d, e, f, g}. 描述法: 若集合M是由元素具有某種性質(zhì)P的元素x的全體所組成, 則M可表示為 A={a1, a2, , an}, M={x | x具有性質(zhì)P }. 例如M={(x, y)| x, y為實(shí)數(shù), x2+y2=1}. 幾個(gè)數(shù)集: N表示所有自然數(shù)構(gòu)成的集合, 稱為自然數(shù)集. N={0, 1, 2, , n, }. N+={1, 2, , n, }. R表示所有實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合, 稱為實(shí)數(shù)集. Z表示所有整數(shù)構(gòu)成的集合, 稱為整數(shù)集. Z={ , n, , 2, 1, 0, 1, 2, , n, }. Q表示所有有理數(shù)構(gòu)成的集合, 稱為有理數(shù)集. 子集: 若x206。A, 則必有x206。B, 則稱A是B的子集, 記為A204。B(讀作A包含于B)或B201。A . 如果集合A與集合B互為子集, A204。B且B204。A, 則稱集合A與集合B相等, 記作A=B. 若A204。B且A185。B, 則稱A是B的真子集, 記作AB . 例如, NZQR . 不含任何元素的集合稱為空集, 記作198。. 規(guī)定空集是任何集合的子集. 2. 集合的運(yùn)算 設(shè)A、B是兩個(gè)集合, 由所有屬于A或者屬于B的元素組成的集合稱為A與B的并集(簡(jiǎn)稱并), 記作A200。B, 即 A200。B={x|x206。A或x206。B}. 設(shè)A、B是兩個(gè)集合, 由所有既屬于A又屬于B的元素組成的集合稱為A與B的交集(簡(jiǎn)稱交), 記作A199。B, 即 A199。B={x|x206。A且x206。B}. 設(shè)A、B是兩個(gè)集合, 由所有屬于A而不屬于B的元素組成的集合稱為A與B的差集(簡(jiǎn)稱差), 記作A\B, 即 A\B={x|x206。A且x207。B}. 如果我們研究某個(gè)問題限定在一個(gè)大的集合I中進(jìn)行, 所研究的其他集合A都是I的子集. 此時(shí), 我們稱集合I為全集或基本集. 稱I\A為A的余集或補(bǔ)集, 記作AC. 集合運(yùn)算的法則: 設(shè)A、B、C為任意三個(gè)集合, 則 (1)交換律A200。B=B200。A, A199。B=B199。A。 (2)結(jié)合律 (A200。B)200。C=A200。(B200。C), (A199。B)199。C=A199。(B199。C)。 (3)分配律 (A200。B)199。C=(A199。C)200。(B199。C), (A199。B)200。C=(A200。C)199。(B200。C)。 (4)對(duì)偶律 (A200。B)C=AC 199。BC, (A199。B)C=AC 200。BC. (A200。B)C=AC 199。BC的證明: x206。(A200。B)C219。x207。A200。B219。x207。A且x207。B219。x206。A C且x206。BC 219。x206。AC 199。BC, 所以(A200。B)C=AC 199。BC. 直積(笛卡兒乘積): 設(shè)A、B是任意兩個(gè)集合, 在集合A中任意取一個(gè)元素x, 在集合B中任意取一個(gè)元素y, 組成一個(gè)有序?qū)?x, y), 把這樣的有序?qū)ψ鳛樾略? 它們?nèi)w組成的集合稱為集合A與集合B的直積, 記為A180。B, 即 A180。B={(x, y)|x206。A且y206。B}. 例如, R180。R={(x, y)| x206。R且y206。R }即為xOy面上全體點(diǎn)的集合, R180。R常記作R2. 3. 區(qū)間和鄰域 有限區(qū)間: 設(shè)ab, 稱數(shù)集{x|axb}為開區(qū)間, 記為(a, b), 即 (a, b)={x|axb}. 類似地有 [a, b] = {x | a 163。x163。b }稱為閉區(qū)間, [a, b) = {x | a163。xb }、(a, b] = {x | ax163。b }稱為半開區(qū)間. 其中a和b稱為區(qū)間(a, b)、[a, b]、[a, b)、(a, b]的端點(diǎn), ba稱為區(qū)間的長(zhǎng)度. 無限區(qū)間: [a, +165。) = {x | a163。x }, (165。, b] = {x | x b } , (165。, +165。)={x | | x | +165。}. 區(qū)間在數(shù)軸上的表示: 鄰域: 以點(diǎn)a為中心的任何開區(qū)間稱為點(diǎn)a的鄰域, 記作U(a). 設(shè)d是一正數(shù), 則稱開區(qū)間(ad, a+d)為點(diǎn)a的d鄰域, 記作U(a, d), 即 U(a, d)={x | ad x a+d} ={x | | xa|d}. 其中點(diǎn)a稱為鄰域的中心, d 稱為鄰域的半徑. 去心鄰域(a, d): (a, d)={x |0| xa |d} 二、映射 1. 映射的概念 定義 設(shè)X、Y是兩個(gè)非空集合, 如果存在一個(gè)法則f, 使得對(duì)X中每個(gè)元素x, 按法則f, 在Y中有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng), 則稱f為從X到Y(jié)的映射, 記作 f : X174。Y , 其中y稱為元素x(在映射f下)的像, 并記作f(x), 即 y=f(x), 而元素x稱為元素y(在映射f下)的一個(gè)原像。 集合X稱為映射f的定義域, 記作D f, 即 D f=X 。 X中所有元素的像所組成的集合稱為映射f的值域, 記為R f, 或f(X), 即 R f=f(X)={f(x)|x206。X}. 需要注意的問題: (1)構(gòu)成一個(gè)映射必須具備以下三個(gè)要素: 集合X, 即定義域D f=X。 集合Y, 即值域的范圍: R f 204。Y。 對(duì)應(yīng)法則f, 使對(duì)每個(gè)x206。X, 有唯一確定的y=f(x)與之對(duì)應(yīng). (2)對(duì)每個(gè)x206。X, 元素x的像y是唯一的。 而對(duì)每個(gè)y206。R f, 元素y的原像不一定是唯一的。 映射f的值域R f是Y的一個(gè)子集, 即R f 204。Y, 不一定R f=Y . 例1設(shè)f : R174。R, 對(duì)每個(gè)x206。R, f(x)=x2. 顯然, f是一個(gè)映射, f的定義域D f=R, 值域R f ={y|y179。0}, 它是R的一個(gè)真子集. 對(duì)于R f 中的元素y, 除y=0外, 它的原像不是唯一的. 如y=4的原像就有x=2和x=2兩個(gè). 例2設(shè)X={(x, y)|x2+y2=1}, Y={(x, 0)||x|163。1}, f : X 174。Y, 對(duì)每個(gè)(x, y)206。X, 有唯一確定的(x, 0)206。Y與之對(duì)應(yīng). 顯然f是一個(gè)映射, f的定義域D f=X, 值域R f =Y. 在幾何上, 這個(gè)映射表示將平面上一個(gè)圓心在原點(diǎn)的單位圓周上的點(diǎn)投影到x軸的區(qū)間[1, 1]上. (3) f :174。[1, 1], 對(duì)每個(gè)x206。, f(x)=sin x . f是一個(gè)映射, 定義域D f =, 值域R f =[1, 1]. 滿射、單射和雙射: 設(shè)f是從集合X到集合Y的映射, 若R f =Y, 即Y中任一元素y都是X中某元素的像, 則稱f為X到Y(jié)上的映射或滿射。 若對(duì)X中任意兩個(gè)不同元素x 1185。x 2, 它們的像f(x 1)185。f(x 2), 則稱f為X到Y(jié)的單射。 若映射f既是單射, 又是滿射, 則稱f為一一映射(或雙射). 上述三例各是什么映射？ 2. 逆映射與復(fù)合映射 設(shè)f是X到Y(jié)的單射, 則由定義, 對(duì)每個(gè)y206。R f , 有唯一的x206。X, 適合f(x)=y, 于是, 我們可定義一個(gè)從R f 到X的新映射g, 即 g : R f 174。X, 對(duì)每個(gè)y206。R f , 規(guī)定g(y)=x, 這x滿足f(x)=y. 這個(gè)映射g稱為f的逆映射, 記作f 1, 其定義域=R f , 值域=X . 按上述定義, 只有單射才存在逆映射. 上述三例中哪個(gè)映射存在逆映射？ 設(shè)有兩個(gè)映射 g : X174。Y 1, f : Y 2174。Z, 其中Y 1204。Y 2. 則由映射g和f可以定出一個(gè)從X到Z的對(duì)應(yīng)法則, 它將每個(gè)x206。X映射成f[g(x)]206。Z . 顯然, 這個(gè)對(duì)應(yīng)法則確定了一個(gè)從X到Z的映射, 這個(gè)映射稱為映射g和f構(gòu)成的復(fù)合映射, 記作f o g, 即 f o g: X 174。Z, (f o g)(x)=f[g(x)], x206。X . 應(yīng)注意的問題: 映射g和f構(gòu)成復(fù)合映射的條件是: g的值域R g必須包含在f的定義域內(nèi), R g204。D f . 否則, 不能構(gòu)成復(fù)合映射. 由此可以知道, 映射g和f的復(fù)合是有順序的, f o g有意義并不表示g o f也有意義. 即使f o g與g o f都有意義, 復(fù)映射f o g與g o f也未必相同. 例4 設(shè)有映射g : R174。[1, 1], 對(duì)每個(gè)x206。R, g(x)=sin x, 映射f : [1, 1]174。[0, 1], 對(duì)每個(gè)u206。[1, 1], . 則映射g和f構(gòu)成復(fù)映射f o g: R174。[0, 1], 對(duì)每個(gè)x206。R, 有 . 三、函數(shù) 1. 函數(shù)概念 定義 設(shè)數(shù)集D204。R, 則稱映射f : D 174。R為定義在D上的函數(shù), 通常簡(jiǎn)記為 y=f(x), x206。D, 其中x稱為自變量, y稱為因變量, D稱為定義域, 記作D f, 即D f=D. 應(yīng)注意的問題: 記號(hào)f和f(x)的含義是有區(qū)別的, 前者表示自變量x和因變量y之間的對(duì)應(yīng)法則, 而后者表示與自變量x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值. 但為了敘述方便, 習(xí)慣上常用記號(hào)“f(x), x206。D”或“y=f(x), x206。D”來表示定義在D上的函數(shù), 這時(shí)應(yīng)理解為由它所確定的函數(shù)f . 函數(shù)符號(hào): 函數(shù)y=f(x)中表示對(duì)應(yīng)關(guān)系的記號(hào)f也可改用其它字母, 例如“F”, “j”等. 此時(shí)函數(shù)就記作y=j (x), y=F(x). 函數(shù)的兩要素: 函數(shù)是從實(shí)數(shù)集到實(shí)數(shù)集的映射, 其值域總在R內(nèi), 因此構(gòu)成函數(shù)的要素是定義域D f及對(duì)應(yīng)法則f . 如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同, 對(duì)應(yīng)法則也相同, 那么這兩個(gè)函數(shù)就是相同的, 否則就是不同的. 函數(shù)的定義域: 函數(shù)的定義域通常按以下兩種情形來確定: 一種是對(duì)有實(shí)際背景的函數(shù), 根據(jù)實(shí)際背景中變量的實(shí)際意義確定. 求定義域舉例: 求函數(shù)的定義域. 要使函數(shù)有意義, 必須x185。0, 且x2 4179。0. 解不等式得| x |179。2. 所以函數(shù)的定義域?yàn)镈={x | | x |179。2}, 或D=(165。, 2]200。[2, +165。]). 單值函數(shù)與多值函數(shù): 在函數(shù)的定義中，對(duì)每個(gè)x206。D, 對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y總是唯一的, 這樣定義的函數(shù)稱為單值函數(shù). 如果給定一個(gè)對(duì)應(yīng)法則, 按這個(gè)法則, 對(duì)每個(gè)x206。D, 總有確定的y值與之對(duì)應(yīng), 但這個(gè)y不總是唯一的, 我們稱這種法則確定了一個(gè)多值函數(shù). 例如, 設(shè)變量x和y之間的對(duì)應(yīng)法則由方程x2+y2=r2 給出. 顯然, 對(duì)每個(gè)x206。[r, r]，由方程x2+y2=r2,可確定出對(duì)應(yīng)的y值, 當(dāng)x=r或x=r時(shí), 對(duì)應(yīng)y=0一個(gè)值。 當(dāng)x取(r, r)內(nèi)任一個(gè)值時(shí), 對(duì)應(yīng)的y有兩個(gè)值. 所以這方程確定了一個(gè)多值函數(shù). 對(duì)于多值函數(shù), 往往只要附加