【正文】 80 吉林建筑工程學(xué)院城建學(xué)院高等數(shù)學(xué)同濟(jì)六版講義 第九章 重積分 167。 91 二重積分的概念與性質(zhì) 一、二重積分的概念 （一）引例 1. 曲頂柱體的體積 設(shè)有一空間立體 ? ,它的底是 xoy 面上的有界區(qū)域 D ,它的側(cè)面是以 D 的邊界曲線為準(zhǔn)線 ,而母線平行于 z 軸的柱面 ,它 的頂是曲面 ( . )z f x y? 。 當(dāng) ( , )x y D? 時(shí) , ( , )f xy 在 D 上連續(xù)且 ( , ) 0f x y ? ,以后稱這種立體為 曲頂柱體。 曲頂柱體的體積 V 可以這樣來計(jì)算 : (1) 用任意一組曲線網(wǎng)將區(qū)域 D 分成 n 個(gè)小區(qū)域 1?? ， 2?? ， ， n?? ，以這些小區(qū)域的邊界曲線為準(zhǔn)線 ,作母線平行于 z 軸的柱面 ,這些柱面將原來的曲頂柱體 ? 分劃成 n 個(gè)小曲頂柱體 1?? ， 2?? ， ， n?? 。 （假設(shè) i?? 所對應(yīng)的小曲頂柱體為 i?? ,這里 i?? 既代表第 i 個(gè)小區(qū) 域 ,又表示它的面積值 , i?? 既代表第 i 個(gè)小曲頂柱體 ,又代表它的體積值。 ) 圖 911 從而 1niiV ?? ??? (將 ? 化整為零 ) 81 吉林建筑工程學(xué)院城建學(xué)院高等數(shù)學(xué)同濟(jì)六版講義 (2) 由于 ( , )f xy 連續(xù) ,對于同一個(gè)小區(qū)域來說 ,函數(shù) 值的變化不大。因此 ,可以將 小曲頂柱體 近似地看作 小平頂柱體 ,于是 ?? ? ?i i i i i i if? ? ?( ) ( )( )? ? ? ? ? ? (以不變之高代替變高 , 求 i?? 的近似值 ) (3) 整個(gè)曲頂柱體的體積近似值為 V f i i ii n? ?? ( )? ? ??1 (4) 為得到 V的精確值 ,只需讓這 n 個(gè)小區(qū)域 越來越小 ,即讓每個(gè)小區(qū)域向某點(diǎn)收縮。為此 ,我們引入?yún)^(qū)域直徑的概念 : 一個(gè)閉區(qū)域的直徑是指區(qū)域上任意兩點(diǎn)距離的最大者。 所謂讓區(qū)域向一點(diǎn)收縮性地變小 ,意指讓區(qū)域的直徑趨向于零。 設(shè) n 個(gè)小區(qū)域直徑中的最大者為 ? , 則 V fn i i ii? ? ??lim ( ),? ? ? ?0 1 ? 設(shè)有一平面薄片占有 xoy 面上的區(qū)域 D , 它在 ? ?,xy 處的面密度為 ? ?,xy? ,這里? ?,0xy? ? ,而且 ? ?,xy? 在 D 上連續(xù) ,現(xiàn)計(jì)算該平面薄片的質(zhì)量 M 。 圖 912 將 D 分成 n 個(gè)小區(qū)域 1?? ， 2?? ， ， n?? ，用 i? 記 i?? 的直徑 , i?? 既代表第 i個(gè)小區(qū)域又代表它的面積。 82 吉林建筑工程學(xué)院城建學(xué)院高等數(shù)學(xué)同濟(jì)六版講義 當(dāng) ? ?1max iin?????很小時(shí) , 由于 ? ?,xy? 連續(xù) , 每小片區(qū)域的質(zhì)量可近似地看作是均勻的 , 那么第 i 小塊區(qū)域的近似質(zhì)量可取為 ? ? ? ? ? ? ?( , ) ( , )i i i i i i? ?? ? 于是 ?? ??ni iiiM 1 ),( ???? M i i ii n? ? ??lim ( , )? ? ? ? ?0 1 ? 兩種實(shí)際意義完全不同的問題 , 最終都?xì)w結(jié)同一形式的極限問題。因此 ,有必要撇開這類極限問題的實(shí)際背景 , 給出一個(gè)更廣泛、更抽象的數(shù)學(xué)概念 ,即 二重積分 。 （二） 二重積分的定義 1．定義：設(shè) ? ?,f x y 是閉區(qū)域 D 上的有界函數(shù) , 將區(qū)域 D 分成個(gè)小區(qū)域 ? ? ?? ? ?1 2, , ,? n, 其中 , i?? 既表示第 i 個(gè)小區(qū)域 , 也表示它的面積 , i? 表示它的直徑。 ? ?? ? ?max{ }1 i n i ? ?( , )? ? ?i i i? 作乘積 ( , ) ( 1 , 2 , )i i if i n? ? ??? 作和式 1 ( , )ni i ii f ? ? ?? ?? 若極限 ? ?0 1lim ,ni i ii f? ? ? ?? ? ?? 存在 ,則稱此極限值為函數(shù) ? ?,f x y 在區(qū)域 D 上的二重積分 ,記作 ? ?,D f x y d???。 即 ? ?,D f x y d? ??? ? ?0 1lim ,n i i ii f? ? ? ?? ? ?? 其中 : ? ?,f x y 稱之為被積函數(shù) , ? ?,f x y d? 稱之為被積表達(dá)式 ,d? 稱之為面積元素 , ,xy稱之為積分變量 ,D 稱之為積分區(qū)域 , ? ?1 ,ni i ii f ? ? ?? ??稱之為積分和式。 2． 幾個(gè)事實(shí) 83 吉林建筑工程學(xué)院城建學(xué)院高等數(shù)學(xué)同濟(jì)六版講義 (1) 二重積分的存在定理 若 ? ?,f x y 在閉區(qū)域 D 上連續(xù) , 則 ? ?,f x y 在 D 上的二重積分 存在。 聲明 : 在以后的討論中 ,我們總假定在閉區(qū)域上的二重積分存在。 (2) ? ?,D f x y d???中的面積元素 d? 象征著積分和式中的 i?? 。 圖 913 由于二重積分的定義中對區(qū)域 D 的劃分是任意的 ,若用一組平行于坐標(biāo)軸的直線來劃分區(qū)域 D ,那么除了靠近邊界曲線的一些小區(qū)域之 外 ,絕大多數(shù)的小區(qū)域都是矩形 ,因此 ,可以將 d? 記作 dxdy (并稱 dxdy 為直角坐標(biāo)系下的 面積元素 ),二重積分也可表示成為 ? ?,D f x y d??? 。 (3) 若 ? ?,0f x y ? ,二重積分表示以 ? ?,f x y 為曲頂 ,以 D 為底的曲頂柱體的體積。 二、二重積分的性質(zhì) 二重積分與定積分有相類似的性質(zhì) 1. 線性性 [ ( , ) ( , )] ( , ) ( , )]? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ????f x y g x y d f x y d g x y dD DD 其中 : ,??是常數(shù)。 2. 對區(qū)域的可加性 若區(qū)域 D 分為兩個(gè)部分區(qū)域 12,DD,則 f x y d f x y d f x y dD DD( , ) ( , ) ( , )? ? ?? ??? ???? 21 3. 若在 D 上 , ? ?,1f x y ? , ? 為區(qū)域 D 的面積 ,則 84 吉林建筑工程學(xué)院城建學(xué)院高等數(shù)學(xué)同濟(jì)六版講義 ? ? ?? ??? ??1d dD D 幾何意義 : 高為 1的平頂柱體的體積在數(shù)值上等于柱體的底面積。 4. 若在 D 上 , ? ? ? ?,f x y x y?? ,則有不等式 ???? ? DD dyxdyxf ??? ),(),( 特別地 ,由于 ? ? ? ? ? ?,f x y f x y f x y? ? ?，有 ?? dyxfdyxf DD ???? ? ),(),( 5. 估值不等式 設(shè) M 與 m 分別是 ? ?,f x y 在閉區(qū)域 D 上最大值和最小值 ,? 是 M 的面積 ,則 ?? ???? D Mdyxfm ??? ),( 6. 二重積分的中值定理 設(shè)函數(shù) ? ?,f x y 在閉區(qū)域 D 上連續(xù) , ? 是 D 的面積 ,則在 D 上至少存在一點(diǎn) ? ?,?? ,使得 ?? ??D fdyxf ???? ),(),( 例 1 估計(jì)二重積分 ? ?2249D x y d?????的值 ,D 是圓域 x y2 2 4? ? 。 解 求被積函數(shù) ? ? 22, 4 9f x y x y? ? ?在區(qū)域 D 上可能的最值 ???????????0802yyfxxf???? ? ?0,0 是駐點(diǎn) ,且 ? ?0,0 9f ? ； 在邊界上 , )22(3259)4(4),( 222 ????????? xxxxyxf 25),(13 ?? yxf 85 吉林建筑工程學(xué)院城建學(xué)院高等數(shù)學(xué)同濟(jì)六版講義 25max ?f , 9min ?f , 于是有 ???? 1 0 04254936 ?????? I 例 2 比較 下列各對二重積分的大小 （ 1）2()D x y d????與3()D x y d????，其中 D 是由 x 軸， y 軸與直線 1xy??所圍成。 （ 2） ln( )D x y d????與2[ln( )]D x y d????，其中 D 是三角形區(qū)域，三頂點(diǎn)分別為(1, 0), (1,1), (2, 0)。 三、 二重積分的幾何意義 1． 若 ( , ) 0f x y ? ， ( , )D f x y d??? 表示 曲頂柱體的體積 2． 若 ( , ) 0f x y ? ， ( , )D f x y d??? 表示 曲頂柱體的體積的負(fù)值 3． ( , )D f x y d??? 表示 曲頂柱體的體積的代數(shù)和 例 3 根據(jù)二重積分的幾何意義，求下列二重積分的值 （ 1） 22D x y d????，其中 D 為 2 2 2x y a?? 2[]3? （ 2） 2 2 2D a x y d?????，其中 D 為 2 2 2 , 0 , 0x y a x y? ? ? ? 3[]8a? 小結(jié)： 二重積分的定義（和式的極限）；二重積分的幾何意義（曲頂柱體的體積）； 二重積分的性質(zhì)。 作業(yè)： 79 頁 4（ 2）（ 4）； 5（ 2） 86 吉林建筑工程學(xué)院城建學(xué)院高等數(shù)學(xué)同濟(jì)六版講義 167。９ 2 二重積分的計(jì)算法 利用二重積分的定義來計(jì)算二重積分顯然是不實(shí)際的 ,二重積分的計(jì)算是通過兩個(gè)定積分的計(jì)算 (即 二次積分 )來實(shí)現(xiàn)的。 一、 利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分 １、 x 型 區(qū)域， y 型 區(qū)域 我們用幾何觀點(diǎn)來討論二重積分 ? ?,D f x y d???的計(jì)算問題。 討論中 ,我們假定 ? ?,0f x y ? ； 假定積分區(qū)域 D 可用不等式 a x b x y x? ? ? ?? ?1 2( ) ( )表示 , 其中 ? ? ? ?12,xx??在 ? ?,ab 上連續(xù)。 圖 921 圖 922 據(jù)二重積分的幾何意義可知 , ? ?,D f x y d???的值等于以 D 為底 ,以曲面 ? ?,z f x y?為頂?shù)?曲頂柱體 的體積。 圖 923 在區(qū)間 ? ?,ab 上任意取定一個(gè)點(diǎn) 0x ,作平行于 yoz 面的平面 0xx? ,這平面截曲頂柱體所得截面是一個(gè)以區(qū)間 ? ? ? ?1 0 2 0,xx??????為底 ,曲線 ? ?0 ,z f x y?為曲邊的曲邊梯形 ,其面 87 吉林建筑工程學(xué)院城建學(xué)院高等數(shù)學(xué)同濟(jì)六版講義 積為 ? ? ? ?? ?? ?202000 ,xxA x f x y d y??? ? 一般地 ,過區(qū)間 ? ?,ab 上任一點(diǎn) x 且平行于 yoz 面的平面截曲頂柱體所得截面的面積為 ? ? ? ?? ?? ?21 ,xxA x f x y d y??? ? 利用計(jì)算平行截面面積為已知的立體之體積的方法 ,該曲頂柱體的體積為 V A xadx f x y dy dxbxxab? ? ???? ????? ??( ) ( , )( )( )??12 從而有 dxdyyxfdyxf baxxD? ??? ???????????)(2)(1),(),(??? (1) 上述積分叫做 先對 Y ,后對 X 的二次積分 ,即先把 x 看作常數(shù) , ),(