【正文】 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、 兩個(gè)重要極限 一、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系 及夾逼準(zhǔn)則 第六節(jié) 極限存在準(zhǔn)則及 兩個(gè)重要極限 第一章 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一、 函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系及夾逼準(zhǔn)則 1. 函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系 定理 1. Axfxx??)(lim0? ?:nx? ,0xx n ? 有定義 , ),(0 ??? nxx nAxf nn ??? )(lim為確定起見(jiàn) , 僅討論 的情形 . 0xx ?有 )( nxf??x??nx目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定理 1. Axfxx ?? )(li m 0)(,0 nn xfxx ?有定義 , 且 設(shè) ,)(lim0Axfxx ?? 即 ,0??? ,0??? 當(dāng) 有 .)( ??? Axf? ?:nx? )(,0 nn xfxx ? 有定義 , 且 對(duì)上述 ? , 時(shí) , 有 于是當(dāng) Nn ? 時(shí) .)( ??? Axf n故 Axf nn ??? )(l im可用反證法證明 . (略 ) .)(li m Axf nn ???有 證： 當(dāng) ??xyA? ?,N?“ ” “ ” 0xO目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定理 1. Axfxx ?? )(lim 0)(,0 nn xfxx ? 有定義 且 .)(li m Axf nn ???有 說(shuō)明 : 此定理常用于判斷函數(shù)極限不存在 . 法 1 找一個(gè)數(shù)列 ,0xx n ?不存在 . )(l i m nn xf??使法 2 找兩個(gè)趨于 的不同數(shù)列 ? ?nx 及 ? ?,nx? 使 )(li m nn xf?? )(lim nn xf ?? ??)( ??x)( ??nx目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例 1. 證明 不存在 . 證 : 取兩個(gè)趨于 0 的數(shù)列 π21nx n ? 及 2ππ21???nx n有 nn x1si nlim??nn x???1si nlim由定理 1 知 不存在 . ),2,1( ??n0π2sinl i m ?? ?? nn1)π2s in (lim 2π ??? ?? nn目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 函數(shù)極限存在的夾逼準(zhǔn)則 定理 2. ,),( 0 時(shí)當(dāng) ?xUx ??Axhxg xxxx ?? ?? )(lim)(lim00,)()( xhxg ??)(xfAxfxx ?? )(lim0)0( ?? Xx)( ??x )( ??x)( ??x且 ( 利用定理 1及數(shù)列的夾逼準(zhǔn)則可證 ) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1si nc o s ?? x xx圓扇形 AOB的面積 二、 兩個(gè)重要極限 證 : 當(dāng) 即 ?xsi n21 xtan21?亦即 )0(t a ns i n 2π???? xxxx),0( 2π?x 時(shí)， )0( 2π?? x顯然有 △ AOB 的面積 ＜ ＜△ AOD的面積 故有 注 注 OBAx1DC目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例 2. 求 解 : x xx ta nlim0? ???????? xxxx c o s1sinl i m0xxxsi nlim0?? xx c o s1lim0?? 1?例 3. 求 解 : 令 ,a rc s in xt ? 則 ,sin tx ? 因此 原式 ttt si nlim0??ttsin1?目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 20s i nl i m????????x2x2x21nnnR ππ2 c o ss i nlim???Rπn例 4. 求 解 : 原式 = 2 220si n2l i mxxx ?2121??例 5. 已知圓內(nèi)接正 n 邊形面積為 證明 : 證 : nn A??limnππnnn RnA ππ2 c o ss i n?說(shuō)明 : 計(jì)算中注意利用 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 證 : 當(dāng) 0?x 時(shí) , 設(shè) ,1??? nxn 則 xx )1( 1? 11 )1( ??? nn?? ? nn )1( 11nnn )1(l im 11??? ? lim???n111 )1( ??? nn111 ?? ne?11 )1(l im ??? ?nnn ]1)1[(lim 11 ）（ nnnn ??? ?? e?e)1(lim 1 ????? xxx(P53~54) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 當(dāng) ,)1( ??? tx 則 從而有 )1(11 )1(l i m?????? ??ttt)1(1 )(lim???????tt tt 11 )1(l im ???? ?? ttt)]1()1[(l im 11 tttt ??? ??? e?故 e)1(lim 1 ????xxx說(shuō)明 : 此極限也可寫(xiě)為 e)1(l i m 10 ???zzz時(shí) , 令 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例 6. 求 解 : 令 ,xt ?? 則 ttt??? ? )1(lim1 1l i m???t說(shuō)明 ： 若利用 ,e)1(lim )()(1)( ????xxx??? 則 原式 ? ? 111 e)1(lim ??????? ??? xxx目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例 7. 求 解 : 原式 = 2])c o s[( si nlim 211 xxxx ???2)si n1(l i m 2xxx ?? ??)s in1( 2x?e?x2sin1目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 的不同數(shù)列 內(nèi)容小結(jié) 1. 函數(shù)極限與數(shù)列極限關(guān)系的應(yīng)用 (1) 利用數(shù)列極限判別函數(shù)極限不存在 (2) 數(shù)列極限存在的夾逼準(zhǔn)則 法 1 找一個(gè)數(shù)列 ? ?:nx ,0xx n ? )(0 ??? nxx n且 使 )(li m nn xf??法 2 找兩個(gè)趨于 0x ? ?nx 及 ? ?,nx? 使 )(li m nn xf?? )(lim nn xf ?? ??不存在 . 函數(shù)極限存在的夾逼準(zhǔn)則 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 兩個(gè)重要極限 或 注 : 代表相同的表達(dá)式 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 思考與練習(xí) 填空題 ( 1～ 4 ) 。_____si ??? xxx。____1si ??? xxx。____1si 0?? xxx。_ _ _ _)11( ????nn n0 10 1e? 作業(yè) P56 1 (4)， (5)， (6) 。 2 (2)， (3)， (4) 。 4 (4) , (5) 第七節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第一章 ,0 時(shí)?x xxx s in,3 2 都是無(wú)窮小 , 第七節(jié) 引例 . xxx 3lim20? ,0?20si nlimxxx? ,??xxx 3si nlim0?,31?但 可見(jiàn)無(wú)窮小趨于 0 的速度是多樣的 . 無(wú)窮小的比較 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ,0l i m ?? Ck??定義 . ,0lim ???若 則稱 ? 是比 ? 高階 的無(wú)窮小 , )(?? o?,lim ????若 若 若 ,1lim ???若 ?? ~?? ~,0lim ?? C??或 ??,設(shè) 是自變量同一變化過(guò)程中的無(wú)窮小 , 記作 則稱 ? 是比 ? 低階 的無(wú)窮小 。 則稱 ? 是 ? 的 同階 無(wú)窮小 。 則稱 ? 是關(guān)于 ? 的 k 階 無(wú)窮小 。 則稱 ? 是 ? 的 等價(jià) 無(wú)窮小 , 記作 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例如 , 當(dāng) )(o? ～ 0?x 時(shí) 3x 26x xsin。 x xta n。 ～ xxarc sin ～ x20c o s1l i mxxx??220si n2lim xx ??又如 ， 22)(4 x 21?故 時(shí) 是關(guān)于 x 的二階無(wú)窮小 , xcos1?