第1章函數(shù)極限與連續(xù)(已修改)
2025-08-07 13:22 本頁(yè)面
【正文】 函 數(shù) 函數(shù)及其性質(zhì)引例 汽車以60千米/小時(shí)的速度均速行駛，那么行駛里程與時(shí)間有什么關(guān)系？設(shè)行駛路程為千米，行駛時(shí)間為小時(shí)，即是函數(shù)概念的實(shí)質(zhì). 設(shè)和是兩個(gè)變量，是一個(gè)非空實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于數(shù)集中的每一個(gè)數(shù)按照一定的對(duì)應(yīng)法則都有唯一確定的實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，則稱是定義在數(shù)集上的函數(shù)，記作，其中稱為函數(shù)的定義域，稱為自變量，稱為因變量．如果對(duì)于確定的，通過(guò)對(duì)應(yīng)法則，有唯一確定的實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，則稱為在處的函數(shù)值，.（1）解析法：（為常數(shù)，且）.（2）列表法：.（3）圖像法：.，，應(yīng)注意：分式函數(shù)的分母不能為零；偶次根式的被開方式必須大于等于零；對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零；反正弦函數(shù)與反余弦函數(shù)的定義域?yàn)榈?，如果函?shù)表達(dá)式中含有上述幾種函數(shù)，則應(yīng)取各部分定義域的交集.兩個(gè)函數(shù)只有當(dāng)定義域和對(duì)應(yīng)法則都相同時(shí)，；而函數(shù)與因定義域不同而不是相同函數(shù). 求函數(shù)的定義域.解 當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，才有意義，即，所以函數(shù)的定義域?yàn)? 已知，求及.解 已知，求.解 令，則，從而 所以 （1）分段函數(shù)有些函數(shù)在定義域不同的范圍內(nèi)有不同的表達(dá)式，這樣的函數(shù)叫做分段函數(shù) 設(shè) 求.解 （2）隱函數(shù)通常將形如的函數(shù)稱為顯函數(shù)；，把它轉(zhuǎn)化為顯函數(shù)，例如可以化為顯函數(shù)；但有些隱函數(shù)卻不能化為顯函數(shù)，例如.（3）參數(shù)方程確定的函數(shù)由參數(shù)方程來(lái)表示和之間的函數(shù)關(guān)系，由參數(shù)方程，可以確定函數(shù).（4）反函數(shù)設(shè)為定義在數(shù)集上的函數(shù)，其值域?yàn)椋魧?duì)于數(shù)集中的每一個(gè)數(shù)，數(shù)集中都有唯一的數(shù)，使得，則稱由此確定的函數(shù)為的反函數(shù)，記為，其定義域?yàn)?，值域?yàn)椋⒁猓褐挥袊?yán)格單調(diào)的函數(shù)才有反函數(shù). 求函數(shù)的反函數(shù)，并確定反函數(shù)的定義域.解 由得，因此得到函數(shù)的反函數(shù)為，反函數(shù)的定義域?yàn)?（1）奇偶性設(shè)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，對(duì)任意，①若，則稱為偶函數(shù)；②若，則稱為奇函數(shù)；③不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù)的函數(shù)，偶函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱.例 判斷下列函數(shù)的奇偶性：①；② ；③.解 ①，所以是偶函數(shù).② ，所以為奇函數(shù)．③，它既不等于，也不等于，所以為非奇非偶函數(shù).（2）周期性設(shè)為一個(gè)不為零的常數(shù)，如果函數(shù)對(duì)于任意，都有，且，則稱是周期函數(shù)．使上述關(guān)系式成立的最小正數(shù)，稱為函數(shù)的周期．應(yīng)當(dāng)指出的是，通常講的周期函數(shù)的周期是指最小的正周期．例如函數(shù)都是以為周期的周期函數(shù)，而、則是以為周期的周期函數(shù)．（3）單調(diào)性設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有定義，對(duì)于任意，1）若，則稱在區(qū)間內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù)，這時(shí)為的單調(diào)增加區(qū)間.2）若，則稱在區(qū)間內(nèi)為單調(diào)減少函數(shù)，這時(shí)為的單調(diào)減少區(qū)間.例如，函數(shù)在上是調(diào)減函數(shù)；在上是增函數(shù)．（4）有界性設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果存在一個(gè)正數(shù)，使得對(duì)任意，恒有，則稱在上有界；如果不存在這樣的正數(shù)，則稱在上無(wú)界．例如，函數(shù)在其定義域上是有界的；在其定義域上是無(wú)界的.關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)，除了有界性與無(wú)界性之外，單調(diào)性、奇偶性、周期性都是函數(shù)的特殊性質(zhì)，而不是每一個(gè)函數(shù)都一定具備的． 初等函數(shù)我們稱下列六種函數(shù)為基本初等函數(shù).（1）常數(shù)函數(shù)：（為常數(shù)），函數(shù)的圖形是一條水平的直線， （2）冪函數(shù)：（3）指數(shù)函數(shù)：，（4）對(duì)數(shù)函數(shù)：，（5）三角函數(shù)：正弦函數(shù)，；余弦函數(shù)，；正切函數(shù)，；余切函數(shù)，；正割函數(shù)（不做詳細(xì)討論）；余割函數(shù)（不做詳細(xì)討論）.（6）反三角函數(shù)反正弦函數(shù)，反余弦函數(shù)，反正切函數(shù)，反余切函數(shù)，設(shè)函數(shù)的定義域與函數(shù)的值域的交集非空，則稱函數(shù)是由與復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，其中稱為中間變量. 求函數(shù)與的復(fù)合函數(shù).解：將代入到得復(fù)合函數(shù)不是任何兩個(gè)函數(shù)都能復(fù)合成
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