第1章函數(shù)極限與連續(xù)-文庫(kù)吧
2025-07-11 13:22 本頁(yè)面
【正文】 一個(gè)復(fù)合函數(shù)．如，就不能復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù).利用復(fù)合函數(shù)不僅能將若干個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)復(fù)合成一個(gè)函數(shù)，還可以把一個(gè)較復(fù)雜的函數(shù)分解成幾個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù). 指出復(fù)合函數(shù)是由哪些函數(shù)復(fù)合而成的.解是由復(fù)合而成. 由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和有限次復(fù)合，并能用一個(gè)解析式表達(dá)的函數(shù)稱為初等函數(shù)．例如：，函數(shù)不是初等函數(shù). 函數(shù)關(guān)系的建立構(gòu)造函數(shù)是函數(shù)思想的重要體現(xiàn)，. 某種旅行帽的沿接有兩個(gè)塑料帽帶，其中一個(gè)朔料帽帶上有7個(gè)等距的小圓柱體扣，另一個(gè)帽帶上扎有7個(gè)等距的扣眼，用第一個(gè)扣分別去扣不同扣眼所測(cè)得帽圈直徑的有關(guān)數(shù)據(jù)（單位：）見表11.表11扣眼號(hào)數(shù)（）1234567帽圈直徑（）（1）求帽圈直徑與扣眼號(hào)數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系式；（2），他將第一個(gè)扣扣到第4號(hào)扣眼，你認(rèn)為松緊合適嗎？解 （1）可根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，（直線），依題意可得 解得 所以函數(shù)關(guān)系式為.（2）當(dāng)時(shí)，而，因?yàn)楹苄。詫⒌谝豢劭鄣降?扣時(shí)合適.小結(jié)與思考：本節(jié)復(fù)習(xí)了中學(xué)學(xué)過的各種函數(shù)，應(yīng)該熟記六種基本初等函數(shù)的性態(tài)，為后繼課的學(xué)習(xí)作好準(zhǔn)備．思考：1. 分段函數(shù)的定義域是什么？2. 任意兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)嗎？ 極限及其性質(zhì)一般概念 ：在自變量的某個(gè)變化過程中，如果對(duì)應(yīng)的函數(shù)值無限接近于某個(gè)確定的數(shù)，那么這個(gè)確定的數(shù)就叫做在這一變化過程中函數(shù)的極限。 如果當(dāng)?shù)慕^對(duì)值無限增大時(shí)，函數(shù)有定義，且函數(shù)值無限趨近于某一確定的常數(shù)，則稱為時(shí)函數(shù)的極限，記作或（）．由定義可知，當(dāng)時(shí)，的極限為0，即.如果當(dāng)且無限增大時(shí)，函數(shù)有定義，且函數(shù)值無限趨近于某一確定的常數(shù)，則稱為時(shí)的極限，當(dāng)時(shí)，的極限為0，函數(shù)有定義，且函數(shù)值無限趨近于某一確定的常數(shù)，則稱為時(shí)的極限，當(dāng)時(shí)，的極限為0，即. 判斷與是否存在.解 .因?yàn)椋ǎ?，所以不存?數(shù)列可以寫成，. 如果當(dāng)無限增大時(shí)，數(shù)列無限趨近于某一確定的常數(shù)，記為或（）．若數(shù)列的極限不存在，則稱該數(shù)列發(fā)散.例如，（1）；（2）；（3）不存在.為了便于描述。先介紹鄰域的概念：開區(qū)間稱為點(diǎn)的鄰域；開區(qū)間稱為點(diǎn)的去心鄰域（）. ，無限趨近于某一確定的常數(shù)，則稱為時(shí)函數(shù)的極限，記作或（）．由極限的定義可知，.不存在，但可以記為.，無限趨近于某一確定的常數(shù)，則稱為在點(diǎn)的左極限，無限趨近于某一確定的常數(shù)，則稱為在點(diǎn)的右極限，記作.根據(jù)定義可得：. 設(shè) 討論是否存在？解 由圖12可以看出：.顯然，所以不存在. 極限的性質(zhì)性質(zhì)1（唯一性） 如果存在，那么這極限值唯一.性質(zhì)2（局部有界性） 如果，則在點(diǎn)的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有界.性質(zhì)3（局部保號(hào)性） 如果，且（或），則在點(diǎn)的某個(gè)去心鄰域內(nèi)（或）.性質(zhì)4（夾逼定理） 若在點(diǎn)的某個(gè)去心鄰域內(nèi)，有，且，；則.注意：對(duì)于時(shí)定理仍然成立. 無窮小與無窮大 在某變化過程中以零為極限的量稱為無窮小量，簡(jiǎn)稱無窮小.例如，當(dāng)時(shí)，函數(shù)就是無窮小量.注意：（1）無窮小不是很小的數(shù)，而是以零為極限的函數(shù)；（2）數(shù)0是無窮?。唬?）若一個(gè)函數(shù)是無窮小，必須同時(shí)指出自變量的變化過程. 在某變化過程中絕對(duì)值無限增大的量稱為無窮大量，簡(jiǎn)稱無窮大.注意：（1）無窮大不是很大的數(shù)，它是一個(gè)絕對(duì)值無限增大的函數(shù)；（2）若一個(gè)函數(shù)是無窮大，必須同時(shí)指出自變量的變化過程.當(dāng)時(shí)，是無窮小，（數(shù)0除外），是無窮大，. 如果，且，則；反之，若，則.注意：對(duì)于時(shí)定理仍然成立. 求下列函數(shù)的極限：（1）；（2）.解（1）因?yàn)?，所?（2）.小結(jié)與思考：本節(jié)講述了各種趨勢(shì)下的極限的定義，掌握它們的
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