【正文】 111. 設(shè)A=(165。, 5)200。(5, +165。), B=[10, 3), 寫出A200。B, A199。B, A\B及A\(A\B)的表達(dá)式.解 A200。B=(165。, 3)200。(5, +165。),A199。B=[10, 5),A\B=(165。, 10)200。(5, +165。),A\(A\B)=[10, 5).2. 設(shè)A、B是任意兩個(gè)集合, 證明對偶律: (A199。B)C=AC 200。BC .證明 因?yàn)閤206。(A199。B)C219。x207。A199。B219。 x207。A或x207。B219。 x206。AC或x206。BC 219。 x206。AC 200。BC, 所以 (A199。B)C=AC 200。BC .3. 設(shè)映射f : X 174。Y, A204。X, B204。X . 證明(1)f(A200。B)=f(A)200。f(B)。(2)f(A199。B)204。f(A)199。f(B).證明 因?yàn)閥206。f(A200。B)219。$x206。A200。B, 使f(x)=y219。(因?yàn)閤206。A或x206。B) y206。f(A)或y206。f(B)219。 y206。f(A)200。f(B),所以 f(A200。B)=f(A)200。f(B).(2)因?yàn)閥206。f(A199。B)222。$x206。A199。B, 使f(x)=y219。(因?yàn)閤206。A且x206。B) y206。f(A)且y206。f(B)222。 y206。 f(A)199。f(B),所以 f(A199。B)204。f(A)199。f(B).4. 設(shè)映射f : X174。Y, 若存在一個(gè)映射g: Y174。X, 使gof=IX, fog=IY, 其中IX、IY分別是X、Y上的恒等映射, 即對于每一個(gè)x206。X, 有IX x=x。 對于每一個(gè)y206。Y, 有IY y=y. 證明: f是雙射, 且g是f的逆映射: g=f 1.證明 因?yàn)閷τ谌我獾膟206。Y, 有x=g(y)206。X, 且f(x)=f[g(y)]=Iy y=y, 即Y中任意元素都是X中某元素的像, 所以f為X到Y(jié)的滿射.又因?yàn)閷τ谌我獾膞1185。x2, 必有f(x1)185。f(x2), 否則若f(x1)=f(x2)222。g[ f(x1)]=g[f(x2)] 222。 x1=x2.因此f既是單射, 又是滿射, 即f是雙射.對于映射g: Y174。X, 因?yàn)閷γ總€(gè)y206。Y, 有g(shù)(y)=x206。X, 且滿足f(x)=f[g(y)]=Iy y=y, 按逆映射的定義, g是f的逆映射.5. 設(shè)映射f : X174。Y, A204。X . 證明:(1)f 1(f(A))201。A。(2)當(dāng)f是單射時(shí), 有f 1(f(A))=A .證明 (1)因?yàn)閤206。A 222。 f(x)=y206。f(A) 222。 f 1(y)=x206。f 1(f(A)),所以 f 1(f(A))201。A.(2)由(1)知f 1(f(A))201。A.另一方面, 對于任意的x206。f 1(f(A))222。存在y206。f(A), 使f 1(y)=x222。f(x)=y . 因?yàn)閥206。f(A)且f是單射, 所以x206。A. 這就證明了f 1(f(A))204。A. 因此f 1(f(A))=A . 6. 求下列函數(shù)的自然定義域:(1)y=x+2。解 由3x+2179。0得x2. 函數(shù)的定義域?yàn)閇2, +165。). 33(2)y=12。 1x解 由1x2185。0得x185。177。1. 函數(shù)的定義域?yàn)?165。, 1)200。(1, 1)200。(1, +165。).(3)y=1x2。 x解 由x185。0且1x2179。0得函數(shù)的定義域D=[1, 0)200。(0, 1].(4)y=1。 4x2解 由4x20得 |x|2. 函數(shù)的定義域?yàn)?2, 2).(5)y=sinx。解 由x179。0得函數(shù)的定義D=[0, +165。).(6) y=tan(x+1)。解 由x+1185。p(k=0, 177。1, 177。2, )得函數(shù)的定義域?yàn)閤185。kp+p1 (k=0, 177。1, 177。2, 22).(7) y=arcsin(x3)。解 由|x3|163。1得函數(shù)的定義域D=[2, 4].(8)y=x+arctan1。 x解 由3x179。0且x185。0得函數(shù)的定義域D=(165。, 0)200。(0, 3).(9) y=ln(x+1)。解 由x+10得函數(shù)的定義域D=(1, +165。).(10)y=ex.解 由x185。0得函數(shù)的定義域D=(165。, 0)200。(0, +165。).7. 下列各題中, 函數(shù)f(x)和g(x)是否相同？為什么？(1)f(x)=lg x2, g(x)=2lg x。(2) f(x)=x, g(x)=x2。(3)f(x)=x4x3,g(x)=xx1.(4)f(x)=1, g(x)=sec2xtan2x .解 (1)不同. 因?yàn)槎x域不同.(2)不同. 因?yàn)閷?yīng)法則不同, x0時(shí), g(x)=x.(3)相同. 因?yàn)槎x域、對應(yīng)法則均相相同.(4)不同. 因?yàn)槎x域不同.236。|sinx| |x|p239。3, 求j(p), j(p), j(p), j(2), 并作出函數(shù)y=j(x) 8. 設(shè)j(x)=237。p464239。0 |x|179。3238。的圖形.解 j(p)=|sinp|=1, j(p)=|sinp|=, j(p)=|sin(p)|=, j(2)=0. 4424426629. 試證下列函數(shù)在指定區(qū)間1x(2)y=x+ln x, (0, +165。).證明 (1)對于任意的x1, x2206。(165。, 1), 有1x10, 1x20. 因?yàn)楫?dāng)x1x2時(shí),y1y2=xxxx=0, 1x11x2(1x1)(1x2)所以函數(shù)y=x在區(qū)間(165。, 1)1x(2)對于任意的x1, x2206。(0, +165。), 當(dāng)x1x2時(shí), 有y1y2=(x1+lnx1)(x2+lnx2)=(x1x2)+lnx0, x2所以函數(shù)y=x+ln x在區(qū)間(0, +165。) 11. 設(shè)下面所考慮的函數(shù)都是定義在對稱區(qū)間(l, l)上的, 證明:(1)兩個(gè)偶函數(shù)的和是偶函數(shù), 兩個(gè)奇函數(shù)的和是奇函數(shù)。(2)兩個(gè)偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù), 兩個(gè)奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù), 偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù).證明 (1)設(shè)F(x)=f(x)+g(x). 如果f(x)和g(x)都是偶函數(shù), 則F(x)=f(x)+g(x)=f(x)+g(x)=F(x),所以F(x)為偶函數(shù), 即兩個(gè)偶函數(shù)的和是偶函數(shù).如果f(x)和g(x)都是奇函數(shù), 則F(x)=f(x)+g(x)=f(x)g(x)=F(x),所以F(x)為奇函數(shù), 即兩個(gè)奇函數(shù)的和是奇函數(shù).(2)設(shè)F(x)=f(x)g(x). 如果f(x)和g(x)都是偶函數(shù), 則F(x)=f(x)g(x)=f(x)g(x)=F(x),所以F(x)為偶函數(shù), 即兩個(gè)偶函數(shù)的積是偶函數(shù).如果f(x)和g(x)都是奇函數(shù), 則F(x)=f(x)g(x)=[f(x)][g(x)]=f(x)g(x)=F(x),所以F(x)為偶函數(shù), 即兩個(gè)奇函數(shù)的積是偶函數(shù).如果f(x)是偶函數(shù), 而g(x)是奇函數(shù), 則F(x)=f(x)g(x)=f(x)[g(x)]=f(x)g(x)=F(x),所以F(x)為奇函數(shù), 即偶函數(shù)與奇函數(shù)的積是奇函數(shù).12. 下列函數(shù)中哪些是偶函數(shù), 哪些是奇函數(shù), 哪些既非奇函數(shù)又非偶函數(shù)？(1)y=x2(1x2)。(2)y=3x2x3。21x (3)y=。 21+x(4)y=x(x1)(x+1)。(5)y=sin xcos x+1。xx (6)y=a+a. 2解 (1)因?yàn)閒(x)=(x)2[1(x)2]=x2(1x2)=f(x), 所以f(x)是偶函數(shù).(2)由f(x)=3(x)2