高等數(shù)學(xué)同濟大學(xué)版課程講解11映射與函數(shù)(已修改)
2025-04-16 05:19 本頁面
【正文】 課 時 授 課 計 劃課次序號： 01 一、課 題：167。 映射與函數(shù)二、課 型：新授課三、目的要求：；，了解函數(shù)的四種特性；，了解反函數(shù)的概念；；．四、教學(xué)重點：函數(shù)的概念，函數(shù)的各種性態(tài).教學(xué)難點：反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、分段函數(shù)的理解.五、教學(xué)方法及手段：啟發(fā)式教學(xué)，傳統(tǒng)教學(xué)與多媒體教學(xué)相結(jié)合．六、參考資料：1.《高等數(shù)學(xué)釋疑解難》，工科數(shù)學(xué)課程教學(xué)指導(dǎo)委員會編，高等教育出版社；2.《高等數(shù)學(xué)教與學(xué)參考》，張宏志主編，西北工業(yè)大學(xué)出版社．七、作業(yè)：習(xí)題1–1 3（1），6（4）（7），9（1）八、授課記錄：授課日期班 次九、授課效果分析：第一章 函數(shù)與極限第一節(jié) 映射與函數(shù)高等數(shù)學(xué)研究的主要對象是函數(shù). 為了準確而深刻地理解函數(shù)概念，集合與映射的知識是不可缺少的. 本節(jié)將簡要復(fù)習(xí)回顧集合、映射的一些基本概念，在此基礎(chǔ)上重點介紹函數(shù)概念與相關(guān)知識.一、集合1. 集合的概念集合是數(shù)學(xué)中的一個最基本的概念．一般地，我們將具有某種確定性質(zhì)的事物的全體叫做一個集合，簡稱集．組成集合的事物稱為該集合的元素．例如，某大學(xué)一年級學(xué)生的全體組成一個集合，其中的每一個學(xué)生為該集合的一個元素；自然數(shù)的全體組成自然數(shù)集合，每個自然數(shù)是它的元素，等等．通常我們用大寫的英文字母A，B，C，…表示集合；用小寫的英文字母a，b，c，…表示集合的元素．若a是集合A的元素，則稱a屬于A，記作a∈A；否則稱a不屬于A，記作aA（或aA）．含有有限個元素的集合稱為有限集；不含任何元素的集合稱為空集，用表示；不是有限集也不是空集的集合稱為無限集．例如，某大學(xué)一年級學(xué)生的全體組成的集合是有限集；全體實數(shù)組成的集合是無限集；方程+1=0的實根組成的集合是空集．集合的表示方法：一種是列舉法，即將集合的元素一一列舉出來，寫在一個花括號內(nèi)．例如，所有正整數(shù)組成的集合可以表示為N={1，2，…，n，…}．另一種表示方法是指明集合元素所具有的性質(zhì)，即將具有性質(zhì)p（x）的元素x所組成的集合A記作A ={x｜x具有性質(zhì)p（x）}．例如，正整數(shù)集N也可表示成N={n｜n =1，2，3，…}；又如 A={（x，y）｜+ =1，x，y為實數(shù)}表示xOy平面單位圓周上點的集合．2. 集合的運算設(shè)A，B是兩個集合，若A的每個元素都是B的元素，則稱A是B的子集，記作A B（或B A）；若A B，且有元素a∈b，但a A，則說A是B的真子集，記作A B．對任何集A，規(guī)定A．若A B，且BA，則稱集A與B相等，記作A=B．由屬于A或?qū)儆贐的所有元素組成的集稱為A與B的并集，記作A∪B，即A∪B={x｜x∈A或x∈B}．由同時屬于A與B的元素組成的集稱為A與B的交集，記作A∩B，即A∩B={x｜x∈A且x∈B}．由屬于A但不屬于B的元素組成的集稱為A與B的差集，記作A\B，即A\B={x｜x∈A但x B}．如圖11所示陰影部分．圖11在研究某個問題時，如果所考慮的一切集都是某個集X的子集，則稱X為基本集或全集．．X中的任何集A關(guān)于X的差集X\A稱為A的補集（或余集），記作 ．集合的交、并、余的運算滿足下列運算法則:設(shè)A，B，C為三個任意集合，則下列法則成立：（1）交換律A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；（2）結(jié)合律（A∪B）∪C=A∪（B∪C），（A∩B）∩C=A∩（B∩C）；（3）分配律（A∪B）∩C=（A∩C）∪（B∩C），（A∩B）∪C=（A∪C）∩（B∪C），（A\B）∩C=（A∩C）\（B∩C）；（4）冪等律A∪A=A，A∩A=A；（5）吸收律A∪=A，A∩=．設(shè)Ai（i=1，2，…）為一列集合，則下列法則成立：（1）若AiC（i=1，2，…），則C；（2）若AiC（i=1，2，…），則C．設(shè)X為基本集，Ai（i=1，2，…）為一列集合，則= ， = ．3. 區(qū)間與鄰域（1） 區(qū)間設(shè)a和b都是實數(shù)，將滿足不等式a＜x＜b的所有實數(shù)組成的數(shù)集稱為開區(qū)間，記作（a，b）．即（a，b）={x｜a＜x＜b}，a和b稱為開區(qū)間（a，b）的端點，這里a （a，b）且b （a，b）．類似地，稱數(shù)集［a，b］={x｜a≤x≤b}為閉區(qū)間，a和b也稱為閉區(qū)間［a，b］的端點，這里a∈［a，b］且b∈［a，b］．稱數(shù)集［a，b）={x｜a≤x＜b}和（a，b］={x｜a＜x≤b}為半開半閉區(qū)間．以上這些區(qū)間都稱為有限區(qū)間． 數(shù)b－a稱為區(qū)間的長度． 此外還有無限區(qū)間：（∞，+∞）={x｜∞＜x＜+∞}=R，（∞，b］={x｜∞＜x≤b}，（∞，b）={x｜∞＜x＜b}，［a，+∞）={x｜a≤x＜+∞}，（a，+∞）={x｜a＜x＜+∞}，等等
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