高等數(shù)學(xué)同濟(jì)大學(xué)版課程講解11映射與函數(shù)-文庫(kù)吧
2025-03-20 05:19 本頁(yè)面
【正文】 ．這里記號(hào)“∞”與“+∞”分別表示“負(fù)無(wú)窮大”與“正無(wú)窮大”．（2） 鄰域設(shè)x0是一個(gè)給定的實(shí)數(shù)，δ是某一正數(shù)，稱數(shù)集 {x｜x0δ＜x＜x0+δ}為點(diǎn)x0的δ鄰域，記作U（x0，δ）．稱點(diǎn)x0為這鄰域的中心，δ為這鄰域的半徑．（如圖12）．圖12稱U（x0，δ）{x0}為x0的去心δ鄰域，記作(x0,δ)={x｜0＜｜xx0｜＜δ},記( x0,δ)={x｜x0δ＜x＜x0}, (x0+,δ)={x｜x0＜x＜x0+δ},它們分別稱為x0的去心左δ鄰域和去心右δ鄰域．當(dāng)不需要指出鄰域的半徑時(shí)，我們常用U（x0），(x0)分別表示x0的某鄰域和x0的某去心鄰域。二、映射1．映射的定義 定義1 設(shè)A，B是兩個(gè)非空的集合，若對(duì)A中的每個(gè)元素x，按照某種確定的法則f，在B中有惟一的一個(gè)元素y與之對(duì)應(yīng)，則稱f是從A到B的一個(gè)映射，記作f：A→B， 稱y為x在映射f下的像，x稱為y在映射f下的原像． 集合A稱為映射f的定義域，A中所有元素x的像y的全體所構(gòu)成的集合稱為f的值域，記作Rf 或f（A），即Rf = f (A)={y｜y=f(x),x∈A}．定義中x的像是惟一的，但y的原像不一定惟一，且f（A）B．映射概念中的兩個(gè)基本要素是定義域和對(duì)應(yīng)法則．定義域表示映射存在的范圍，對(duì)應(yīng)法則是映射的具體表現(xiàn)．例1 設(shè)A表示某高校大學(xué)一年級(jí)學(xué)生所構(gòu)成的集合，用一種方法給每一個(gè)學(xué)生編一個(gè)學(xué)號(hào)，B表示該校一年級(jí)學(xué)生學(xué)號(hào)的集合，f表示編號(hào)方法，于是確定了從A到B的一個(gè)映射f∶A→B．例2 設(shè)A={1，2，…，n，…}，B={2，4，…，2n，…}．令 f(x)=2x，x∈A， 則f是一個(gè)從A到B的映射．例3 設(shè)A=［0，1］，B={（x，y）｜y=x，x∈A}，如圖13所示．令f∶x｜→（x，x），x∈A，則f是一個(gè)從A到B的映射． 圖13設(shè)有映射f∶A→B，若B = f（A）={f（x）｜x∈A}，則稱f是滿射．若f將A中不同的元素映射到B中的像也不同，即若x1，x2∈A且x1≠x2，則f（x1）≠ f(x2),則稱f是單射．若f既是滿射又是單射，則稱f是從A到B的一一映射．若A與B之間存在一一映射，則稱A與B是一一對(duì)應(yīng)的．上面的例1，例2與例3的兩個(gè)集合都是一一對(duì)應(yīng)的． 2. 復(fù)合映射定義2 設(shè)有映射g∶A→B，f∶B→C，于是對(duì)x∈A有xu = g（x）y = f（u）= f［g（x）］∈C．這樣，對(duì)每個(gè)x∈A，經(jīng)過(guò)u∈B，有惟一的y∈C與之對(duì)應(yīng)，因此，又產(chǎn)生了一個(gè)從A到C的新映射，記作∶A→C，即（）（x）=f［g（x）］，x∈A，稱為f與g的復(fù)合映射,如圖14所示．圖143. 逆映射定義3 設(shè)有映射f∶A→B，B=f（A），若存在一個(gè)映射g∶B→A，對(duì)每個(gè)y∈B，通過(guò)g，有惟一的x∈A與之對(duì)應(yīng)，且滿足關(guān)系f（x）=y，則稱g是f的逆映射，記作g=f 1． 若映射f：A→B是一一映射，則f必存在一個(gè)從B到A的逆映射f 1．三、函數(shù)1. 函數(shù)的概念定義4 設(shè)A，B是兩個(gè)實(shí)數(shù)集，將從A到B的映射f：A→B稱為函數(shù)，記作y = f（x），其中x稱為自變量，y稱為因變量，f（x）表示函數(shù)f在x處的函數(shù)值，A稱為函數(shù)f的定義域，記作；f（A）={y｜y=f（x），x∈A}B稱為函數(shù)f的值域，記作．通常函數(shù)是指對(duì)應(yīng)法則f，但習(xí)慣上用“y =f（x），x∈A”表示函數(shù)，此時(shí)應(yīng)理解為“由對(duì)應(yīng)關(guān)系y=f（x）所確定的函數(shù)f ”．從幾何上看，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)集{（x，y）｜y=f（x），x∈}稱為函數(shù)y=f（x）的圖像（如圖15所示）．函數(shù)y=f（x）的圖像通常是一條曲線，y=f（x）也稱為這條曲線的方程．這樣，函數(shù)的一些特性常常可借助于幾何直觀來(lái)發(fā)現(xiàn)；相反，一些幾何問(wèn)題，有時(shí)也可借助于函數(shù)來(lái)作理論探討．圖15例４ 求函數(shù)y=+的定義域．解 要使數(shù)學(xué)式子有意義，x必須滿足 即 由此有1＜x≤2， 因此函數(shù)的定義域?yàn)椋?，2］．有時(shí)一個(gè)函數(shù)在其定義域的不同子集上要用不同的表達(dá)式來(lái)表示對(duì)應(yīng)法則，稱這種函數(shù)為分段函數(shù)．下面給出一些今后常用的分段函數(shù)．例５ 絕對(duì)值函數(shù) y=｜x｜= 的定義域=（∞，+∞），值域=［0，+∞］，如圖16所示．例６ 符號(hào)函數(shù) y=sgnx=的定義域=（∞，+∞），值域={1，0，1}，如圖1－7所示．
圖16 圖17例７ 取整函數(shù)y=［x］，其中［x］表示不超過(guò)x的最大整數(shù)．例如，［］=1，［0］=0，［］=1，［π］=3等等．函數(shù)y=［x］的定義域=（∞，+∞），值域={整數(shù)}．一般地，y =［x］= n，n≤x＜n+1，n=0，177。1,
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