【正文】 算規(guī)則前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)列極限的運(yùn)算規(guī)則，我們知道數(shù)列可作為一類特殊的函數(shù)，故函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則與數(shù)列極限的運(yùn)算規(guī)則相似。⑴、函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則 若已知x→x0(或x→∞)時(shí)，.則： 推論： 在求函數(shù)的極限時(shí)，利用上述規(guī)則就可把一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)化為若干個(gè)簡單的函數(shù)來求極限。例題：求解答：例題：求此題如果像上題那樣求解，像這種情況怎么辦呢？下面我們把它解出來。解答：注：通過此例題我們可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)分式的分子和分母都沒有極限時(shí)就不能運(yùn)用商的極限的運(yùn)算規(guī)則了，應(yīng)先把分式的分子分母轉(zhuǎn)化為存在極限的情形，然后運(yùn)用規(guī)則求之。函數(shù)極限的存在準(zhǔn)則學(xué)習(xí)函數(shù)極限的存在準(zhǔn)則之前，我們先來學(xué)習(xí)一下左、右的概念。 我們先來看一個(gè)例子：例：符號(hào)函數(shù)為對于這個(gè)分段函數(shù),、右極限的概念。定義：如果x僅從左側(cè)(x＜x0)趨近x0時(shí)，函數(shù)與常量A無限接近，：如果x僅從右側(cè)(x＞x0)趨近x0時(shí)，函數(shù)與常量A無限接近，：注：只有當(dāng)x→x0時(shí)，函數(shù)的左、右極限存在且相等，方稱在x→x0時(shí)有極限函數(shù)極限的存在準(zhǔn)則 準(zhǔn)則一：對于點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)的一切x，x0點(diǎn)本身可以除外(或絕對值大于某一正數(shù)的一切x)有≤≤，且，那末存在，且等于A注：此準(zhǔn)則也就是夾逼準(zhǔn)則.準(zhǔn)則二：單調(diào)有界的函數(shù)必有極限.注：有極限的函數(shù)不一定單調(diào)有界兩個(gè)重要的極限 一：注：其中e為無理數(shù)，它的值為：e=...二：注：在此我們對這兩個(gè)重要極限不加以證明.注：我們要牢記這兩個(gè)重要極限，在今后的解題中會(huì)經(jīng)常用到它們.例題：求解答：令，則x=2t，因?yàn)閤→∞，故t→∞，則注：解此類型的題時(shí)，一定要注意代換后的變量的趨向情況，象x→∞時(shí)，若用t代換1/x，則t→0.無窮大量和無窮小量無窮大量我們先來看一個(gè)例子：已知函數(shù)，當(dāng)x→0時(shí)，可知，我們把這種情況稱為趨向無窮大。為此我們可定義如下：設(shè)有函數(shù)y=，在x=x0的去心鄰域內(nèi)有定義，對于任意給定的正數(shù)N(一個(gè)任意大的數(shù))，總可找到正數(shù)δ，當(dāng)時(shí)，成立，則稱函數(shù)當(dāng)時(shí)為無窮大量。記為：（表示為無窮大量，實(shí)際它是沒有極限的）同樣我們可以給出當(dāng)x→∞時(shí)，無限趨大的定義：設(shè)有函數(shù)y=，當(dāng)x充分大時(shí)有定義，對于任意給定的正數(shù)N(一個(gè)任意大的數(shù))，總可以找到正數(shù)M，當(dāng)時(shí)，成立，則稱函數(shù)當(dāng)x→∞時(shí)是無窮大量，記為：無窮小量以零為極限的變量稱為無窮小量。定義：設(shè)有函數(shù)，對于任意給定的正數(shù)ε(不論它多么小)，總存在正數(shù)δ(或正數(shù)M)，使得對于適合不等式(或)的一切x，所對應(yīng)的函數(shù)值滿足不等式，則稱函數(shù)當(dāng)(或x→∞)時(shí) 為無窮小量.記作：(或)注意：無窮大量與無窮小量都是一個(gè)變化不定的量，不是常量，只有0可作為無窮小量的唯一常量。無窮大量與無窮小量的區(qū)別是：前者無界，后者有界，前者發(fā)散，.關(guān)于無窮小量的兩個(gè)定理定理一：如果函數(shù)在(或x→∞)時(shí)有極限A，則差是當(dāng)(或x→∞)時(shí)的無窮小量，反之亦成立。定理二：無窮小量的有利運(yùn)算定理a)：有限個(gè)無窮小量的代數(shù)和仍是無窮小量； b)：有限個(gè)無窮小量的積仍是無窮小量；c)：常數(shù)與無窮小量的積也是無窮小量.無窮小量的比較通過前面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)知道，兩個(gè)無窮小量的和、？好！接下來我們就來解決這個(gè)問題，這就是我們要學(xué)的兩個(gè)無窮小量的比較。定義：設(shè)α，β都是時(shí)的無窮小量，且β在x0的去心領(lǐng)域內(nèi)不為零，a)：如果，則稱α是β的高階無窮小或β是α的低階無窮?。籦)：如果，則稱α和β是同階無窮??；c)：如果，則稱α和β是等價(jià)無窮小，記作：α∽β(α與β等價(jià))例：因?yàn)?，所以?dāng)x→0時(shí)，x與3x是同階無窮??；因?yàn)?，所以?dāng)x→0時(shí)，x2是3x的高階無窮小；因?yàn)?，所以?dāng)x→0時(shí)，sinx與x是等價(jià)無窮小。等價(jià)無窮小的性質(zhì)設(shè)，且存在，則.注：這個(gè)性質(zhì)表明：求兩個(gè)無窮小之比的極限時(shí)，分子及分母都可用等價(jià)無窮小來代替，因此我們可以利用這個(gè)性質(zhì)來簡化求極限問題。例題： 解答：當(dāng)x→0時(shí)，sinax∽ax，tanbx∽bx，故：例題： 解答：注：注：從這個(gè)例題中我們可以發(fā)現(xiàn)，作無窮小變換時(shí)，要代換式中的某一項(xiàng)，不能只代換某個(gè)因子。函數(shù)的一重要性質(zhì)——連續(xù)性在自然界中有許多現(xiàn)象，如氣溫的變化，就是函數(shù)的連續(xù)性在定義函數(shù)的連續(xù)性之前我們先來學(xué)習(xí)一個(gè)概念——增量設(shè)變量x從它的一個(gè)初值x1變到終值x2，終值與初值的差x2x1就叫做變量x的增量，記為：△x即：△x=x2x1 增量△x可正可負(fù).我們再來看一個(gè)例子：函數(shù)在點(diǎn)x0的鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在領(lǐng)域內(nèi)從x0變到x0+△x時(shí)，函數(shù)y相應(yīng)地從變到，其對應(yīng)的增量為：這個(gè)關(guān)系式的幾何解釋如下圖：現(xiàn)在我們可對連續(xù)性的概念這樣描述：如果當(dāng)△x趨向于零時(shí)，函數(shù)y對應(yīng)的增量△y也趨向于零，即：，那末就稱函數(shù)在點(diǎn)x0處連續(xù)。函數(shù)連續(xù)性的定義：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果有稱函數(shù)在點(diǎn)x0處連續(xù)，且稱x0為函數(shù)的的連續(xù)點(diǎn).下面我們結(jié)合著函數(shù)左、右極限的概念再來學(xué)習(xí)一下函數(shù)左、右連續(xù)的概念：設(shè)函數(shù)在區(qū)間(a,b]內(nèi)有定義，如果左極限存在且等于，即：=，[a,b)內(nèi)有定義，如果右極限存在且等于，即：=，那末我們就稱函數(shù)在點(diǎn)a右連續(xù).一個(gè)函數(shù)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)每點(diǎn)連續(xù),則為在(a,b)連續(xù)，若又在a點(diǎn)右連續(xù)，b點(diǎn)左連續(xù)，則在閉區(qū)間[a，b]連續(xù)，如果在整個(gè)定義域內(nèi)連續(xù)，則稱為連續(xù)函數(shù)。注：一個(gè)函數(shù)若在定義域內(nèi)某一點(diǎn)左、右都連續(xù)，則稱函數(shù)在此點(diǎn)連續(xù)，否則在此點(diǎn)不連續(xù).注：連續(xù)函數(shù)圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線。通過上面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)知道函數(shù)的連續(xù)性了，同時(shí)我們可以想到若函數(shù)在某一點(diǎn)要是不連續(xù)會(huì)出現(xiàn)什么情形呢？接著我們就來學(xué)習(xí)這個(gè)問題：函數(shù)的間斷點(diǎn)函數(shù)的間斷點(diǎn)定義：我們把不滿足函數(shù)連續(xù)性的點(diǎn)稱之為間斷點(diǎn). 它包括三種情形：a)：在x0無定義；b)：在x→x0時(shí)無極限；c)：在x→x0時(shí)有極限但不等于；下面我們通過例題來學(xué)習(xí)一下間斷點(diǎn)的類型：例1： 正切函數(shù)在處沒有定義，所以點(diǎn)是函數(shù)的間斷點(diǎn)，因，我們就稱為函數(shù)的無窮間斷點(diǎn)；例2：函數(shù)在點(diǎn)x=0處沒有定義；故當(dāng)x→0時(shí)，函數(shù)值在1與+1之間變動(dòng)無限多次，我們就稱點(diǎn)x=0叫做函數(shù)的振蕩間斷點(diǎn)； 例3：函數(shù)當(dāng)x→0時(shí)，左極限，右極限，從這我們可以看出函數(shù)左、右極限雖然都存在，但不相等，故函數(shù)在點(diǎn)x=0是不存在極限。我們還可以發(fā)現(xiàn)在點(diǎn)x=0時(shí)，函數(shù)值產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象，為此我們把這種間斷點(diǎn)稱為跳躍間斷點(diǎn)；我們把上述三種間斷點(diǎn)用幾何圖形表示出來如下:間斷點(diǎn)的分類我們通常把間斷點(diǎn)分成兩類：如果x0是函數(shù)的間斷點(diǎn)，且其左、右極限都存在，我們把x0稱為函數(shù)的第一類間斷點(diǎn)；不是第一類間斷點(diǎn)的任何間斷點(diǎn)，稱為第二類間斷點(diǎn).可去間斷點(diǎn)若x0是函數(shù)的間斷點(diǎn)，但極限存在，那末x0是函數(shù)的第一類間斷點(diǎn)。此時(shí)函數(shù)不連續(xù)原因是：不存在或者是存在但≠。我們令，則可使函數(shù)在點(diǎn)x0處連續(xù)，故這種間斷點(diǎn)x0稱為可去間斷點(diǎn)。連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)及初等函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的和、積、商的連續(xù)性我們通過函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的定義和極限的四則運(yùn)算法則，可得出以下結(jié)論：a)：有限個(gè)在某點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的和是一個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)；b)：有限個(gè)在某點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的乘積是一個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)；c)：兩個(gè)在某點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的商是一個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)(分母在該點(diǎn)不為零)；反函數(shù)的連續(xù)性若函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)增(或單調(diào)減)且連續(xù)，那末它的反函數(shù)也在對應(yīng)的區(qū)間上單調(diào)增(單調(diào)減)且連續(xù)例：函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)增且連續(xù)，故它的反函數(shù)在閉區(qū)間[1,1]上也是單調(diào)增且連續(xù)的。復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性設(shè)函數(shù)當(dāng)x→x0時(shí)的極限存在且等于a，即：.而函數(shù)在點(diǎn)u=a連續(xù)，那末復(fù)合函數(shù)當(dāng)x→：例題：求解答：注：函數(shù)可看作與復(fù)合而成，且函數(shù)在點(diǎn)u=e連續(xù)，因此可得出上述結(jié)論。設(shè)函數(shù)在點(diǎn)x=x0連續(xù)，且，而函數(shù)在點(diǎn)u=u0連續(xù)，那末復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)x=x0也是連續(xù)的初等函數(shù)的連續(xù)性通過前面我們所學(xué)的概念和性質(zhì)，我們可得出以下結(jié)論：基本初等函數(shù)在它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的；一切初等函數(shù)在其定義域內(nèi)也都是連續(xù)的.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)則是在其連續(xù)區(qū)間的左端點(diǎn)右連續(xù)，下面我們來學(xué)習(xí)一下：最大值最小值定理：在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值。(在此不作證明) 例：函數(shù)y=sinx在閉區(qū)間[0，2π]上連續(xù)，則在點(diǎn)x=π/2處，它的函數(shù)值為1，且大于閉區(qū)間[0，2π]上其它各點(diǎn)出的函數(shù)值；則在點(diǎn)x=3π/2處，它的函數(shù)值為1，且小于閉區(qū)間[0，2π]上其它各點(diǎn)出的函數(shù)值。介值定理在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定取得介于區(qū)間兩端點(diǎn)的函數(shù)值間的任何值。即：，μ在α、β之間，則在[a，b]間一定有一個(gè)ξ，使 推論：在閉區(qū)間連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值最小值之間的任何值。二、導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)的概念在學(xué)習(xí)到數(shù)的概念之前，我們先來討論一下物理學(xué)中變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度的問題。例：設(shè)一質(zhì)點(diǎn)沿x軸運(yùn)動(dòng)時(shí)，其位置x是時(shí)間t的函數(shù)，求質(zhì)點(diǎn)在t0的瞬時(shí)速度？我們知道時(shí)間從t0有增量△t時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的位置有增量 ，這就是質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間段△t的位移。因此，在此段時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的平均速度為：.若質(zhì)點(diǎn)是勻速運(yùn)動(dòng)的則這就是在t0的瞬時(shí)速度，若質(zhì)點(diǎn)是非勻速直線運(yùn)動(dòng)，則這還不是質(zhì)點(diǎn)在t0時(shí)的瞬時(shí)速度。我們認(rèn)為當(dāng)時(shí)間段△t無限地接近于0時(shí)，此平均速度會(huì)無限地接近于質(zhì)點(diǎn)t0時(shí)的瞬時(shí)速度，即：質(zhì)點(diǎn)在t0時(shí)的瞬時(shí)速度=為此就產(chǎn)生了導(dǎo)數(shù)的定義，如下：導(dǎo)數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在x0處有增量△x(x+△x也在該鄰域內(nèi))時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)有增量，若△y與△x之比當(dāng)△x→0時(shí)極限存在，則稱這個(gè)極限值為在x0處的導(dǎo)數(shù)。記為：還可記為：，函數(shù)在點(diǎn)x0處存在導(dǎo)數(shù)簡稱函數(shù)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，否則不可導(dǎo)。若函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，就稱函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)。這時(shí)函數(shù)對于區(qū)間(a,b)內(nèi)的每一個(gè)確定的x值，都對應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)，這就構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)，我們就稱這個(gè)函數(shù)為原來函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)。 注：導(dǎo)數(shù)也就是差商的極限左、右導(dǎo)數(shù)前面我們有了左、右極限的概念，導(dǎo)數(shù)是差商的極限，因此我們可以給出左、右導(dǎo)數(shù)的概念。若極限存在，我們就稱它為函數(shù)在x=x0處的左導(dǎo)數(shù)。若極限存在，我們就稱它為函數(shù)在x=x0處的右導(dǎo)數(shù)。注：函數(shù)在x0處的左右導(dǎo)數(shù)存在且相等是函數(shù)在x0處的可導(dǎo)的充分必要條件函數(shù)的和、差求導(dǎo)法則函數(shù)的和差求導(dǎo)法則 法則：兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的和(差)的導(dǎo)數(shù)等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和(差).用公式可寫為：。其中u、v為可導(dǎo)函數(shù)。例題：已知，求解答：例題：已知，求解答：函數(shù)的積商求導(dǎo)法則常數(shù)與函數(shù)的積的求導(dǎo)法則法則：在求一個(gè)常數(shù)與一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的乘積的導(dǎo)數(shù)時(shí)，常數(shù)因子可以提到求導(dǎo)記號(hào)外面去。用公式可寫成： 例題：已知，求解答：函數(shù)的積的求導(dǎo)法則法則：兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)等于第一個(gè)因子的導(dǎo)數(shù)乘第二個(gè)因子，加上第一個(gè)因子乘第二個(gè)因子的導(dǎo)數(shù)。用公式可寫成：例題：已知，求解答：注：若是三個(gè)函數(shù)相乘，則先把其中的兩個(gè)看成一項(xiàng)。函數(shù)的商的求導(dǎo)法則法則：兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)之商的導(dǎo)數(shù)等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母導(dǎo)數(shù)乘積減去分母導(dǎo)數(shù)與分子導(dǎo)數(shù)的乘積，在除以分母導(dǎo)數(shù)的平方。用公式可寫成： 例題：已知，求解答：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則在學(xué)習(xí)此法則之前我們先來看一個(gè)例子!例題：求=?解答：由于，故 這個(gè)解答正確嗎?這個(gè)解答是錯(cuò)誤的，正確的解答應(yīng)該如下：我們發(fā)生錯(cuò)誤的原因是是對自變量x求導(dǎo)，而不是對2x求導(dǎo)。下面我們給出復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)規(guī)則規(guī)則：兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)乘上中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù)。用公式表示為：，其中u為中間變量例題：已知，求解答：設(shè),則可分解為,因此注：在以后解題中，我們可以中間步驟省去。例題：已知，求 解答：反函數(shù)求導(dǎo)法則根據(jù)反函數(shù)的定義，函數(shù)為單調(diào)連續(xù)函數(shù)，則它的反函數(shù),，如下(我們以定理的形式給出)：定理：若是單調(diào)連續(xù)的，且，則它的反函數(shù)在點(diǎn)x可導(dǎo)，且有： 注：通過此定理我們可以發(fā)現(xiàn)：反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于原函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)。注：這里的反函數(shù)是以y為自變量的，我們沒有對它作記號(hào)變換。即： 是對y求導(dǎo)，是對x求導(dǎo)例題：求的導(dǎo)數(shù).解答：此函數(shù)的反函數(shù)為，故則：例題：求的導(dǎo)數(shù).解答：此函數(shù)的反函數(shù)為，故則：高階導(dǎo)數(shù)我們知道，在物理學(xué)上變速直線運(yùn)動(dòng)的速度v(t)是位置函數(shù)s(t)對時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)，即： ，而加速度a又是速度v對時(shí)間t的變化率，即速度v對時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)： ，或。這種導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做s對t的二階導(dǎo)數(shù)。下面我們給出它的數(shù)學(xué)定義：定義：，記作或，即：，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做三階導(dǎo)數(shù)，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做四階導(dǎo)數(shù)，…，一般地(n1)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做n階導(dǎo)數(shù).分別記作：，…，或，…，二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱高階導(dǎo)數(shù)。由此可見，求高階導(dǎo)數(shù)就是多次接連地求導(dǎo)，所以，在求高階導(dǎo)數(shù)時(shí)可運(yùn)用前面所學(xué)的求導(dǎo)方法。例題：已知，求 解答：因?yàn)?a，故=0例題：求對數(shù)函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)。解答：，，一般地，可得隱函數(shù)及其求導(dǎo)法則我們知道用解析法表示函數(shù)，像y=sinx，y=1+3x等，.一般地，如果方程F(x,y)=0中，令x在某一區(qū)間內(nèi)任取一值時(shí)，相應(yīng)地總有滿足此方程的y值存在，則我們就說方程F(x,y)=，叫做隱函數(shù)的顯化。注：有些隱函數(shù)并不是很容易化為顯函數(shù)的，那么在求其導(dǎo)數(shù)時(shí)該如何呢？下面讓我們來解決這個(gè)問題！隱函數(shù)的求導(dǎo)若已知F(x,y)=0，求時(shí)，一般按下列步驟進(jìn)行求解：a)：若方程F(x,y)=0，能化為的形式，則用前面我們所學(xué)的方法進(jìn)行求導(dǎo)；b)：若方程F(x,y)=0，不能化為的形式，則是方程兩邊對x進(jìn)行求導(dǎo)，并把y看成x的函數(shù)，用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進(jìn)行。例題：已知，求解答：此方程不易顯化， ，故= 注：我們對隱函數(shù)兩邊對x進(jìn)行求導(dǎo)時(shí)，一定要把變量y看成x的函數(shù)，然后對其利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo)。例題：求隱函數(shù)，在x=0處的導(dǎo)數(shù)解答：兩邊對x求導(dǎo)，故，當(dāng)x=0時(shí)，y=。有些函數(shù)在求導(dǎo)數(shù)時(shí)，若對其直接求導(dǎo)有時(shí)很不方便，像對某些冪函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)時(shí)，有沒有一種比較直觀的方法呢？下面我們再來學(xué)習(xí)一種求導(dǎo)的方法：對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)的法則：根據(jù)隱函數(shù)求導(dǎo)的方法，對某一函數(shù)先取函數(shù)的自然對數(shù)，然后在求導(dǎo)。注：此方法特別適用于冪函數(shù)的求導(dǎo)問題。例題：已知x＞0，求此題若對其直接求導(dǎo)比較麻煩，我們可以先對其兩邊取自然對數(shù)，然后再把它看成隱函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，就比較簡便些。如下解答：先兩邊取對數(shù)： ，把其看成隱函數(shù)，再兩邊求導(dǎo)因?yàn)椋岳}：已知，求此題可用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo)，但是比較麻煩，下面我們利用對數(shù)求導(dǎo)法進(jìn)行求導(dǎo)解答：先兩邊取對數(shù)再兩邊求導(dǎo)因?yàn)?，所以函?shù)的微分學(xué)習(xí)函數(shù)的微分之前，我們先來分析一個(gè)具體問題：一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響時(shí)，其邊長由x0變到了x0+△x，則此薄片的面積改變了多少？解答：設(shè)此薄片的邊長為x，面積為A，則A是x的函數(shù)： 薄片受溫度變化的影響面積的改變量，可以看成是當(dāng)自變量x從x0取的增量△x時(shí)，函數(shù)A相應(yīng)的增量△A，即：。從上式我們可以看出，△A分成兩部分，第一部分是△x的線性函數(shù)，即下圖中紅色部分；第二部分即圖中的黑色部分，當(dāng)△x→0時(shí)，它是△x的高階無窮小，表示為：由此我們可以發(fā)現(xiàn)，如果邊長變化的很小時(shí)，面積的改變量可以近似的用地一部分來代替。下面我們給出微分的數(shù)學(xué)定義：函數(shù)微分的定義：設(shè)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)有定義，x0及x0+△x在這區(qū)間內(nèi)，若函數(shù)的增量可表示為，其中A是不依賴于△x的常數(shù)，是△x的高階無窮小，則稱函數(shù)在點(diǎn)x0可微的。叫做函數(shù)在點(diǎn)x0相應(yīng)于自變量增量△x的微分，記作dy，即：=。通過上面的學(xué)習(xí)我們知道：微分是自變量改變量△x的線性函數(shù)，dy與△y的差是關(guān)于△x的高階無窮小量，我們把dy稱作△y的線性主部。于是我們又得出：當(dāng)△x→0時(shí)，△y≈： ，現(xiàn)在我們可以發(fā)現(xiàn)，它不僅表示導(dǎo)數(shù)的記號(hào)，而且還可以表示兩個(gè)微分的比值(把△x看成dx,即:定義自變量的增量等于自變量的微分)，還可表示為：由此我們得出：若函數(shù)在某區(qū)間上可導(dǎo)，則它在此區(qū)間上一定可微，反之亦成立。微分形式不變性 什么是微分形式不邊形呢？ 設(shè)，則復(fù)合函數(shù)的微分為： ， 由于，故我們可以把復(fù)合函數(shù)的微分寫成 由此可見，不論u是自變量還是中間變量，的微分dy總可以用與du的乘積來表示， 我們把這一性質(zhì)稱為微分形式不變性。 例題：已知，求dy 解答：把2x+1看成中間變量u，根據(jù)微分形式不變性，則16