【正文】 為：由此我們得出：若函數(shù)在某區(qū)間上可導，則它在此區(qū)間上一定可微，反之亦成立。 由于函數(shù)微分的表達式為：，于是我們通過基本初等函數(shù)導數(shù)的公式可得出基本初等函數(shù)微分的公式，下面我們用表格來把基本初等函數(shù)的導數(shù)公式與微分公式對比一下：(部分公式)導數(shù)公式微分公式微分運算法則 解答：我們發(fā)現(xiàn)用計算的方法特別麻煩，為此把轉(zhuǎn)化為求微分的問題 設(shè)有連續(xù)函數(shù)，a與b是它定義區(qū)間內(nèi)的兩點(a＜b)，假定此函數(shù)在(a,b)處處可導，也就是在(a,b)內(nèi)的函數(shù)圖形上處處都由切線，那末我們從圖形上容易直到， 這個定理的特殊情形，即：的情形，稱為羅爾定理。 例題：證明方程在0與1之間至少有一個實根 當x→a(或x→∞)時，函數(shù),都趨于零或無窮大，在點a的某個去心鄰域內(nèi)(或當│x│＞N)時，與都存在，≠0，且存在 函數(shù)單調(diào)性的判定法 　 設(shè)有函數(shù)，容易知道點x=1及x=2是此函數(shù)單調(diào)區(qū)間的分界點，又可知在點x=1左側(cè)附近，函數(shù)值是單調(diào)增加的，在點x=1右側(cè)附近，=1的一個鄰域,對于這個鄰域內(nèi),任何點x(x=1除外)，＜均成立，點x=2也有類似的情況(在此不多說),為什么這些點有這些性質(zhì)呢？ c)：當=0，其情形不一定，可由方法一來判定.函數(shù)的最大值、最小值及其應(yīng)用 怎樣求函數(shù)的最大值、最小值呢？前面我們已經(jīng)知道了，函數(shù)的極值是局部的。 例題：圓柱形罐頭，高度H與半徑R應(yīng)怎樣配，使同樣容積下材料最?。?故在V不變的條件下，改變R使S取最小值。 通過前面的學習，我們知道由一階導數(shù)的正負，可以判定出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，但是還不能進一步研究曲線的性態(tài)，為此我們還要了解曲線的凹性。 定理二：設(shè)函數(shù)在區(qū)間(a,b)上可導，并且具有一階導數(shù)和二階導數(shù)；那末： 如果在區(qū)間(a,b)內(nèi)具有二階導數(shù)，我們可按下列步驟來判定的拐點。 (3)：對于(2)中解出的每一個實根x0，檢查在x0左、右兩側(cè)鄰近的符號，若符號相反，則此點是拐點，若相同，則不是拐點。(x)的原函數(shù). 例題：求v+uv39。=(uv)39。 ， 在使用分部積分法時，應(yīng)恰當?shù)倪x取u和dv，否則就會南轅北轍。 有理函數(shù)是指兩個多項式的商所表示的函數(shù)，當分子的最高項的次數(shù)大于分母最高項的次數(shù)時稱之為假分式， 例題：求 例題：求 五、定積分及其應(yīng)用定積分的概念　 我們知道曲邊梯形在底邊上各點處的高f(x)在區(qū)間[a,b]上變動，而且它的高是連續(xù)變化的，因此在很小的一段區(qū)間的變化很小，近似于不變，并且當區(qū)間的長度無限縮小時，高的變化也無限減小。 即： 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，并且設(shè)x為[a,b](x)在部分區(qū)間[a,x]上的定積分,我們知道f(x)在[a,x]上仍舊連續(xù)，因此此定積分存在。 定理(3)：如果函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的一個原函數(shù)，則 我們知道求定積分可以轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的增量，在前面我們又知道用換元法可以求出一些函數(shù)的原函數(shù)。 =u39。一：積分區(qū)間為無窮區(qū)間的廣義積分如果上述極限不存在，就說廣義積分發(fā)散。 即：=， 過定點O，作三條互相垂直的數(shù)軸，(橫軸）、y軸(縱軸)、z軸(豎軸)；，而z軸則是鉛垂線；它們的正方向要符合右手規(guī)則，即以右手握住z軸，當右手的四指從正向x軸以π/2角度轉(zhuǎn)向正向y軸時，大拇指的指向就是z軸的正向，這樣的三條坐標軸就組成了一個空間直角坐標系，點O叫做坐標原點。 方向角的余弦稱為有向線段或相應(yīng)的有向線段的方向余弦。 據(jù)此我們可得到方向余弦與方向數(shù)的轉(zhuǎn)換公式： 空間任意兩點坐標之差就是聯(lián)結(jié)此兩點直線的一組方向數(shù)。 其中：θ為兩直線的夾角。幾種特殊位置平面的方程 其平面方程的一般形式為： 平行于y軸的平面方程的一般形式為： Ax+Cz+D=0. 通過坐標軸 直線方程也有一般式，它是有兩個平面方程聯(lián)立得到的，如下：平面與直線間的平行與垂直關(guān)系，也就是平面的法線與直線的平行與垂直關(guān)系。 設(shè)有動直線L沿一給定的曲線C移動，移動時始終與給定的直線M平行，這樣由動直線L所形成的曲面稱為柱面，動直線L稱為柱面的母線，定曲線C稱為柱面的準線。 下面我們再列舉出幾種常見的二次曲面二次曲面的名稱二次曲面的方程橢球面單葉雙曲面雙葉雙曲面橢圓拋物面雙曲拋物面七、多元函數(shù)的微分學多元函數(shù)的概念　 如果一個區(qū)域D(開域或閉域)中任意兩點之間的距離都不超過某一常數(shù)M，則稱D為有界區(qū)域；否則稱D為無界區(qū)域。 ，邊界上的點稱為邊界點，包括邊界在內(nèi)的區(qū)域稱為閉域，不包括邊界在內(nèi)的區(qū)域稱為開域。二元函數(shù)的定義 柱面那末我們就用這個方程表示曲面，并稱這個方程為曲面的方程，把這個曲面稱為方程的圖形。 對于一個給定的平面，它的法線也就可以知道了。 垂直于坐標軸 By+Cz=0. 通過x軸的平面方程的一般形式為： Ax+By+D=0. 平行于z軸的平面方程的一般形式為： 稱為平面方程的一般式。 注意：此種形式的方程稱為平面方程的點法式。 若知道L1與L2的方向余弦則有公式為： 關(guān)于方向數(shù)的問題 方向余弦可以用來確定空間有向直線的方向，但是，如果只需要確定一條空間直線的方位(一條直線的兩個方向均確定著同一方位)，那末就不一定需要知道方向余弦，而只要知道與方向余弦成比例的三個數(shù)就可以了。 解析幾何中除了兩點間的距離外，還有一個最基本的問題就是如何確定有向線段的或有向直線的方向。 設(shè)M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)為空間兩點，為了用兩點的坐標來表達它們間的距離d我們有公式： 這樣，通過空間直角坐標系，我們就建立了空間的點M和有序數(shù)組x,y,z之間的一一對應(yīng)關(guān)系。(如下圖所示） 仍然記作：. 即：=如果上述即先不存在，則說廣義積分發(fā)散，此時雖然用同樣的記號，但它已不表示數(shù)值了。 在一些實際問題中，我們常遇到積分區(qū)間為無窮區(qū)間，或者被積函數(shù)在積分區(qū)間上具有無窮間斷點的積分，它們已不屬于前面我們所學習的定積分了。設(shè)u=t,dv=etdt,則du=dt,v=： 解答：設(shè)，且當x=0時，t=0；當x=1時，t=：(x)、v39。 注意：通常也把牛頓萊布尼茲公式稱作微積分基本公式。 注意：定理（2）即肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的，又初步揭示了積分學中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系。 并且它的導數(shù)是 注：此性質(zhì)就是定積分中值定理。 性質(zhì)(2)：被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號外面. 這時我們稱這個極限I為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分， 在每個小區(qū)間[xi1,xi]上任取一點ξi(xi1≤ξi≤xi),作函數(shù)值f(ξi)與小區(qū)間長度的乘積f(ξi)△xi， 簡單無理函數(shù)的積分舉例幾種特殊類型函數(shù)的積分舉例　有理函數(shù)的積分舉例 解答：這個積分用換元法不易得出結(jié)果，我們來利用分部積分法。 (uv)39。 這種方法是利用兩個函數(shù)乘積的求導法則得來的。 則φ[g(x)]是f(x)的原函數(shù).(其中g(shù)(x)是x=g(t)的反函數(shù)）(t)≠0，又設(shè)f[g(t)]g39。 即有換元公式: 即： 求不定積分的方法　換元法 解答：由于，故=不定積分的性質(zhì) dF39。 已知函數(shù)f(x)是一個定義在某區(qū)間的函數(shù)，如果存在函數(shù)F(x)，使得在該區(qū)間內(nèi)的任一點都有 (1)：求； 連續(xù)函數(shù)上，上凹弧與下凹弧的分界點稱為此曲線上的拐點。 因為，所以在函數(shù)的定義域(0,+∞)內(nèi)，＜0， 導數(shù)在區(qū)間(a,b)上是單調(diào)增(或單調(diào)減)。 故：時，用料最省。 因為， 再來比較端點與極值點的函數(shù)值，取出最大值與最小值即為所求。 先來求函數(shù)的極值，故x=177。 解答：上面我們已求出了此函數(shù)的駐點，下面我們再來求它的二階導數(shù)。 學習這個問題之前，我們再來學習一個概念——駐點 則說是函數(shù)的一個極大值； 另外，若遇到 、 、 、 等型，通常是轉(zhuǎn)化為型后，在利用法則求解。 解答：容易看出此題利用以前所學的法則是不易求解的，因為它是未定式中的型求解問題，因此我們就可以利用上面所學的法則了。 這種通過分子分母求導再來求極限來確定未定式的方法，就是所謂的羅彼塔(L39。Hospital)法則 注：這個定理是羅爾在17世紀初，在微積分發(fā)明之前以幾何的形式提出來的。 在給出微分學中值定理的數(shù)學定義之前，我們先從幾何的角度看一個問題，如下： 下面我們來學習———基本初等函數(shù)的微分公式與微分的運算法則基本初等函數(shù)的微分公式與微分的運算法則 　基本初等函數(shù)的微分公式 叫做函數(shù)在點x0相應(yīng)于自變量增量△x的微分，記作dy，即：=。 注：我們對隱函數(shù)兩邊對x進行求導時，一定要把變量y看成x的函數(shù)，然后對其利用復合函數(shù)求導法則進行求導。下面我們給出它的數(shù)學定義：定義：，記作或，即：，二階導數(shù)的導數(shù)，叫做三階導數(shù)，三階導數(shù)的導數(shù)，叫做四階導數(shù)，…，一般地(n1)階導數(shù)的導數(shù)叫做n階導數(shù).分別記作：，…，或，…，二階及二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱高階導數(shù)。下面我們給出復合函數(shù)的求導法則復合函數(shù)的求導規(guī)則規(guī)則：兩個可導函數(shù)復合而成的復合函數(shù)的導數(shù)等于函數(shù)對中間變量的導數(shù)乘上中間變量對自變量的導數(shù)。其中u、v為可導函數(shù)。二、導數(shù)與微分導數(shù)的概念在學習到數(shù)的概念之前，我們先來討論一下物理學中變速直線運動的瞬時速度的問題。在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定取得介于區(qū)間兩端點的函數(shù)值間的任何值。設(shè)函數(shù)在點x=x0連續(xù)，且，而函數(shù)在點u=u0連續(xù)，那末復合函數(shù)在點x=x0也是連續(xù)的初等函數(shù)的連續(xù)性通過前面我們所學的概念和性質(zhì)，我們可得出以下結(jié)論：基本初等函數(shù)在它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的；一切初等函數(shù)在其定義域內(nèi)也都是連續(xù)的.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)則是在其連續(xù)區(qū)間的左端點右連續(xù)，下面我們來學習一下：最大值最小值定理：在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值。為此我們可定義如下：設(shè)有函數(shù)y=，在x=x0的去心鄰域內(nèi)有定義，對于任意給定的正數(shù)N(一個任意大的數(shù))，總可找到正數(shù)δ，當時，成立，則稱函數(shù)當時為無窮大量。解答：注：通過此例題我們可以發(fā)現(xiàn)：當分式的分子和分母都沒有極限時就不能運用商的極限的運算規(guī)則了，應(yīng)先把分式的分子分母轉(zhuǎn)化為存在極限的情形，然后運用規(guī)則求之。 d):則對于任給的ε＞0，總能找出δ，當0＜＜δ時，＜ε成立，因此函數(shù)極限的運算規(guī)則前面已經(jīng)學習了數(shù)列極限的運算規(guī)則，我們知道數(shù)列可作為一類特殊的函數(shù)，故函數(shù)極限的運算規(guī)則與數(shù)列極限的運算規(guī)則相似。此定義的核心問題是：對給出的ε，是否存在正數(shù)δ，使其在去心鄰域內(nèi)的x均滿足不等式。函數(shù)的極限前面我們學習了數(shù)列的極限，已經(jīng)知道數(shù)列可看作一類特殊的函數(shù)，即自變量取 1→∞內(nèi)的正整數(shù)，若自變量不再限于正整數(shù)的順序，而是連續(xù)變化的，就成了函數(shù)。 因不等式與不等式等價，故當n＞N時，所有的點都落在開區(qū)間(aε，a+ε)內(nèi)，而只有有限個(至多只有N個)在此區(qū)間以外。我們可以發(fā)現(xiàn)，當內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時，An也無限接近某一確定的數(shù)值(圓的面積)，這個確定的數(shù)值在數(shù)學上被稱為數(shù)列A1，A2，A3，…，An，… 當n→∞(讀作n趨近于無窮大)的極限。 其定義域為：[1,+∞)；c)：反雙曲正切函數(shù)這里只寫出了正弦函數(shù)b):當a＞1時,在區(qū)間(0,1)的值為負；在區(qū)間(,+∞)的值為正；在定義域內(nèi)單調(diào)增.冪函數(shù)a為任意實數(shù)這里只畫出部分函數(shù)圖形的一部分。例題：函數(shù)與函數(shù)是不能復合成一個函數(shù)的。反函數(shù)⑴、反函數(shù)的定義：設(shè)有函數(shù)，若變量y在函數(shù)的值域內(nèi)任取一值y0時，變量x在函數(shù)的定義域內(nèi)必有一值x0與之對應(yīng)，即，稱為函數(shù)的反函數(shù).注：由此定義可知，函數(shù)也是函數(shù)的反函數(shù)。注：一個函數(shù)，如果在其整個定義域內(nèi)有界，則稱為有界函數(shù)例題：函數(shù)cosx在(∞,+∞)內(nèi)是有界的.⑵、函數(shù)的單調(diào)性：如果函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)隨著x增大而增大，即：對于(a,b)內(nèi)任意兩點x1及x2，當x1＜x2時，有 ，則稱函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)是單調(diào)增加的。⑵、函數(shù)相等由函數(shù)的定義可知，一個函數(shù)的構(gòu)成要素為：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域。⑶、鄰域：設(shè)α與δ是兩個實數(shù)，且δ＞│xα│＜δ的實數(shù)x的全體稱為點α的δ鄰域，點α稱為此鄰域的中心，δ稱為此鄰域的半徑。⑴、A∪B；⑵、A∩B。②補集：對于一個集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集。記作A∪B。