【正文】 奇函數(shù)。例：直角坐標(biāo)系中，半徑為r、圓心在原點(diǎn)的圓用圖示法表示為：函數(shù)的簡(jiǎn)單性態(tài)⑴、函數(shù)的有界性：如果對(duì)屬于某一區(qū)間I的所有x值總有│f(x)│≤M成立，其中M是一個(gè)與x無關(guān)的常數(shù)，那么我們就稱f(x)在區(qū)間I有界，否則便稱無界。例：直角坐標(biāo)系中，半徑為r、圓心在原點(diǎn)的圓的方程是：x2+y2=r2b)：表格法：將一系列的自變量值與對(duì)應(yīng)的函數(shù)值列成表來表示函數(shù)關(guān)系的方法即是表格法。這里我們只討論單值函數(shù)。通常x叫做自變量，y叫做函數(shù)值（或因變量），變量y的變化范圍叫做這個(gè)函數(shù)的值域。區(qū)間的名稱區(qū)間的滿足的不等式區(qū)間的記號(hào)區(qū)間在數(shù)軸上的表示閉區(qū)間a≤x≤b[a，b]開區(qū)間a＜x＜b（a，b）半開區(qū)間a＜x≤b或a≤x＜b（a，b]或[a，b）以上我們所述的都是有限區(qū)間，除此之外，還有無限區(qū)間：[a，+∞)：表示不小于a的實(shí)數(shù)的全體，也可記為：a≤x＜+∞；(∞，b)：表示小于b的實(shí)數(shù)的全體，也可記為：∞＜x＜b；(∞，+∞)：表示全體實(shí)數(shù)，也可記為：∞＜x＜+∞注：其中∞和+∞，分別讀作負(fù)無窮大和正無窮大,它們不是數(shù),僅僅是記號(hào)。試判斷B是不是A的子集？是否存在實(shí)數(shù)a使A＝B成立？對(duì)于有限集合A、B、C，能不能找出這三個(gè)集合中元素個(gè)數(shù)與交集、并集元素個(gè)數(shù)之間的關(guān)系呢？無限集合A＝｛1，2，3，4，…，n，…｝，B＝｛2，4，6，8，…，2n，…｝，你能設(shè)計(jì)一種比較這兩個(gè)集合中元素個(gè)數(shù)多少的方法嗎？常量與變量⑴、變量的定義：我們?cè)谟^察某一現(xiàn)象的過程時(shí)，常常會(huì)遇到各種不同的量，其中有的量在過程中不起變化，我們把其稱之為常量；有的量在過程中是變化的，也就是可以取不同的數(shù)值，我們則把其稱之為變量。學(xué)校規(guī)定，每個(gè)參加上述比賽的同學(xué)最多只能參加兩項(xiàng)，請(qǐng)你用集合的運(yùn)算說明這項(xiàng)規(guī)定，并解釋以下集合運(yùn)算的含義。集合中元素的個(gè)數(shù)⑴、有限集：我們把含有有限個(gè)元素的集合叫做有限集，含有無限個(gè)元素的集合叫做無限集。通常記作U。⑵、交集：一般地，由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合稱為A與B的交集。集合的基本運(yùn)算⑴、并集：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合稱為A與B的并集。記作 ，并規(guī)定，空集是任何集合的子集。集合間的基本關(guān)系⑴、子集：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A、B，如果集合A中的任意一個(gè)元素都是集合B的元素，我們就說A、B有包含關(guān)系，稱集合A為集合B的子集，記作A B（或B A）。記作Q。記作N+或N+。我們通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小寫拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。.. . . ..學(xué)習(xí)參考一、函數(shù)與極限集合的概念一般地我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫集合（簡(jiǎn)稱集）。如果a是集合A中的元素，就說a屬于A，記作：a∈A，否則就說a不屬于A，記作：aA。⑶、全體整數(shù)組成的集合叫做整數(shù)集。⑸、全體實(shí)數(shù)組成的集合叫做實(shí)數(shù)集。⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此時(shí)集合A中的元素與集合B中的元素完全一樣，因此集合A與集合B相等，記作A＝B。⑸、由上述集合之間的基本關(guān)系，可以得到下面的結(jié)論：①、任何一個(gè)集合是它本身的子集。記作A∪B。記作A∩B。②補(bǔ)集：對(duì)于一個(gè)集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對(duì)于全集U的補(bǔ)集。⑵、用card來表示有限集中元素的個(gè)數(shù)。⑴、A∪B；⑵、A∩B。注：在過程中還有一種量，它雖然是變化的，但是它的變化相對(duì)于所研究的對(duì)象是極其微小的，我們則把它看作常量。⑶、鄰域：設(shè)α與δ是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且δ＞│xα│＜δ的實(shí)數(shù)x的全體稱為點(diǎn)α的δ鄰域，點(diǎn)α稱為此鄰域的中心，δ稱為此鄰域的半徑。注：為了表明y是x的函數(shù)，我們用記號(hào)y=f(x)、y=F(x)等等來表示。⑵、函數(shù)相等由函數(shù)的定義可知，一個(gè)函數(shù)的構(gòu)成要素為：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域。例：在實(shí)際應(yīng)用中，我們經(jīng)常會(huì)用到的平方表，三角函數(shù)表等都是用表格法表示的函數(shù)。注：一個(gè)函數(shù)，如果在其整個(gè)定義域內(nèi)有界，則稱為有界函數(shù)例題：函數(shù)cosx在(∞,+∞)內(nèi)是有界的.⑵、函數(shù)的單調(diào)性：如果函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)隨著x增大而增大，即：對(duì)于(a,b)內(nèi)任意兩點(diǎn)x1及x2，當(dāng)x1＜x2時(shí)，有 ，則稱函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)是單調(diào)增加的。注：偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對(duì)稱，奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。反函數(shù)⑴、反函數(shù)的定義：設(shè)有函數(shù)，若變量y在函數(shù)的值域內(nèi)任取一值y0時(shí)，變量x在函數(shù)的定義域內(nèi)必有一值x0與之對(duì)應(yīng)，即，稱為函數(shù)的反函數(shù).注：由此定義可知，函數(shù)也是函數(shù)的反函數(shù)。即是：函數(shù)在此要求下嚴(yán)格增(減). ⑶、反函數(shù)的性質(zhì)：在同一坐標(biāo)平面內(nèi)，與的圖形是關(guān)于直線y=x對(duì)稱的。例題：函數(shù)與函數(shù)是不能復(fù)合成一個(gè)函數(shù)的。a):不論x為何值,y總為正數(shù)。b):當(dāng)a＞1時(shí),在區(qū)間(0,1)的值為負(fù)；在區(qū)間(,+∞)的值為正；在定義域內(nèi)單調(diào)增.冪函數(shù)a為任意實(shí)數(shù)這里只畫出部分函數(shù)圖形的一部分。這里只寫出了正弦函數(shù)雙曲函數(shù)及反雙曲函數(shù)⑴、雙曲函數(shù)：在應(yīng)用中我們經(jīng)常遇到的雙曲函數(shù)是：(用表格來描述)函數(shù)的名稱函數(shù)的表達(dá)式函數(shù)的圖形函數(shù)的性質(zhì)雙曲正弦a)：其定義域?yàn)?(∞,+∞)；b)：是奇函數(shù)；c)：在定義域內(nèi)是單調(diào)增雙曲余弦a)：其定義域?yàn)?(∞,+∞)；b)：是偶函數(shù)；c)：其圖像過點(diǎn)(0,1)；雙曲正切a)：其定義域?yàn)?(∞,+∞)；b)：是奇函數(shù)；c)：其圖形夾在水平直線y=1及y=1之間；在定域內(nèi)單調(diào)增；我們?cè)賮砜匆幌码p曲函數(shù)與三角函數(shù)的區(qū)別：雙曲函數(shù)的性質(zhì)三角函數(shù)的性質(zhì)shx與thx是奇函數(shù)，chx是偶函數(shù)sinx與tanx是奇函數(shù)，cosx是偶函數(shù)它們都不是周期函數(shù)都是周期函數(shù)雙曲函數(shù)也有和差公式：⑵、反雙曲函數(shù)：雙曲函數(shù)的反函數(shù)稱為反雙曲函數(shù).a)：反雙曲正弦函數(shù) 其定義域?yàn)椋篬1,+∞)；c)：反雙曲正切函數(shù) ⑴、數(shù)列：若按照一定的法則，有第一個(gè)數(shù)a1，第二個(gè)數(shù)a2，…，依次排列下去，使得任何一個(gè)正整數(shù)n對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的數(shù)an，那末，我們稱這列有次序的數(shù)a1，a2，…，an，…。我們可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時(shí)，An也無限接近某一確定的數(shù)值(圓的面積)，這個(gè)確定的數(shù)值在數(shù)學(xué)上被稱為數(shù)列A1，A2，A3，…，An，… 當(dāng)n→∞(讀作n趨近于無窮大)的極限。⑷、數(shù)列的極限的幾何解釋：在此我們可能不易理解這個(gè)概念，下面我們?cè)俳o出它的一個(gè)幾何解釋，以使我們能理解它。 因不等式與不等式等價(jià)，故當(dāng)n＞N時(shí)，所有的點(diǎn)都落在開區(qū)間(aε，a+ε)內(nèi)，而只有有限個(gè)(至多只有N個(gè))在此區(qū)間以外。注：有界的數(shù)列不一定收斂，即：數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件，但不是充分條件。函數(shù)的極限前面我們學(xué)習(xí)了數(shù)列的極限，已經(jīng)知道數(shù)列可看作一類特殊的函數(shù)，即自變量取 1→∞內(nèi)的正整數(shù)，若自變量不再限于正整數(shù)的順序，而是連續(xù)變化的，就成了函數(shù)。存在函數(shù)與常數(shù)A，任給一正數(shù)ε＞0，總可找到一正數(shù)X，對(duì)于適合的一切x，都滿足，函數(shù)當(dāng)x→∞時(shí)的極限為A，記：。此定義的核心問題是：對(duì)給出的ε，是否存在正數(shù)δ，使其在去心鄰域內(nèi)的x均滿足不等式。 d):則對(duì)于任給的ε＞0，總能找出δ，當(dāng)0＜＜δ時(shí)，＜ε成立，因此函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)列極限的運(yùn)算規(guī)則，我們知道數(shù)列可作為一類特殊的函數(shù)，故函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則與數(shù)列極限的運(yùn)算規(guī)則相似。 解答：注：通過此例題我們可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)分式的分子和分母都沒有極限時(shí)就不能運(yùn)用商的極限的運(yùn)算規(guī)則了，應(yīng)先把分式的分子分母轉(zhuǎn)化為存在極限的情形，然后運(yùn)用規(guī)則求之。為此我們可定義如下：設(shè)有函數(shù)y=，在x=x0的去心鄰域內(nèi)有定義，對(duì)于任意給定的正數(shù)N(一個(gè)任意大的數(shù))，總可找到正數(shù)δ，當(dāng)時(shí)，成立，則稱函數(shù)當(dāng)時(shí)為無窮大量。定理二：無窮小量的有利運(yùn)算定理a)：有限個(gè)無窮小量的代數(shù)和仍是無窮小量； b)：有限個(gè)無窮小量的積仍是無窮小量；c)：常數(shù)與無窮小量的積也是無窮小量.無窮小量的比較通過前面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)知道，兩個(gè)無窮小量的和、？好！接下來我們就來解決這個(gè)問題，這就是我們要學(xué)的兩個(gè)無窮小量的比較。注：一個(gè)函數(shù)若在定義域內(nèi)某一點(diǎn)左、右都連續(xù)，則稱函數(shù)在此點(diǎn)連續(xù)，否則在此點(diǎn)不連續(xù).注：連續(xù)函數(shù)圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線。此時(shí)函數(shù)不連續(xù)原因是：不存在或者是存在但≠。設(shè)函數(shù)在點(diǎn)x=x0連續(xù)，且，而函數(shù)在點(diǎn)u=u0連續(xù)，那末復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)x=x0也是連續(xù)的初等函數(shù)的連續(xù)性通過前面我們所學(xué)的概念和性質(zhì)，我們可得出以下結(jié)論：基本初等函數(shù)在它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的；一切初等函數(shù)在其定義域內(nèi)也都是連續(xù)的.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)則是在其連續(xù)區(qū)間的左端點(diǎn)右連續(xù)，下面我們來學(xué)習(xí)一下：最大值最小值定理：在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值。介值定理在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定取得介于區(qū)間兩端點(diǎn)的函數(shù)值間的任何值。二、導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)的概念在學(xué)習(xí)到數(shù)的概念之前，我們先來討論一下物理學(xué)中變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度的問題。記為：還可記為：，函數(shù)在點(diǎn)x0處存在導(dǎo)數(shù)簡(jiǎn)稱函數(shù)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，否則不可導(dǎo)。若極限存在，我們就稱它為函數(shù)在x=x0處的右導(dǎo)數(shù)。其中u、v為可導(dǎo)函數(shù)。函數(shù)的商的求導(dǎo)法則法則：兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)之商的導(dǎo)數(shù)等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母導(dǎo)數(shù)乘積減去分母導(dǎo)數(shù)與分子導(dǎo)數(shù)的乘積，在除以分母導(dǎo)數(shù)的平方。下面我們給出復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)規(guī)則規(guī)則：兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)乘上中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)。 解答：反函數(shù)求導(dǎo)法則根據(jù)反函數(shù)的定義，函數(shù)為單調(diào)連續(xù)函數(shù)，則它的反函數(shù),，如下(我們以定理的形式給出)：定理：若是單調(diào)連續(xù)的，且，則它的反函數(shù)在點(diǎn)x可導(dǎo)，且有： 注：通過此定理我們可以發(fā)現(xiàn)：反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于原函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)。下面我們給出它的數(shù)學(xué)定義：定義：，記作或，即：，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做三階導(dǎo)數(shù)，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做四階導(dǎo)數(shù)，…，一般地(n1)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做n階導(dǎo)數(shù).分別記作：，…，或，…，二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱高階導(dǎo)數(shù)。解答：，一般地，可得隱函數(shù)及其求導(dǎo)法則我們知道用解析法表示函數(shù)，像y=sinx，y=1+3x等，.一般地，如果方程F(x,y)=0中，令x在某一區(qū)間內(nèi)任取一值時(shí)，相應(yīng)地總有滿足此方程的y值存在，則我們就說方程F(x,y)=，叫做隱函數(shù)的顯化。 注：我們對(duì)隱函數(shù)兩邊對(duì)x進(jìn)行求導(dǎo)時(shí)，一定要把變量y看成x的函數(shù)，然后對(duì)其利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo)。例題：已知x＞0，求此題若對(duì)其直接求導(dǎo)比較麻煩，我們可以先對(duì)其兩邊取自然對(duì)數(shù)，然后再把它看成隱函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，就比較簡(jiǎn)便些。叫做函數(shù)在點(diǎn)x0相應(yīng)于自變量增量△x的微分，記作dy，即：=。 例題：已知，求dy 下面我們來學(xué)習(xí)———基本初等函數(shù)的微分公式與微分的運(yùn)算法則基本初等函數(shù)的微分公式與微分的運(yùn)算法則 　基本初等函數(shù)的微分公式 由函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則，下面我們用表格來把微分的運(yùn)算法則與導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則對(duì)照一下：函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則函數(shù)和、差、積、商的微分法則 在給出微分學(xué)中值定理的數(shù)學(xué)定義之前，我們先從幾何的角度看一個(gè)問題，如下： 注：這個(gè)結(jié)果就稱為微分學(xué)中值定理，也稱為拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 注：這個(gè)定理是羅爾在17世紀(jì)初，在微積分發(fā)明之前以幾何的形式提出來的。Hospital)法則，它就是這個(gè)問題的答案Hospital)法則 這種通過分子分母求導(dǎo)再來求極限來確定未定式的方法，就是所謂的羅彼塔(L39。 解答：容易看出此題利用以前所學(xué)的法則是不易求解的，因?yàn)樗俏炊ㄊ街械男颓蠼鈫栴}，因此我們就可以利用上面所學(xué)的法則了。 例題：求 另外，若遇到 、 、 、 等型，通常是轉(zhuǎn)化為型后，在利用法則求解。 我們知道若函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)增(或減)，則在此區(qū)間內(nèi)函數(shù)圖形上切線的斜率均為正(或負(fù)),也就是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在此區(qū)間上均取正值(或負(fù)值).因此我們可通過判定函數(shù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來判定函數(shù)的增減性.判定方法： 設(shè)函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有定義，x0是(a,b)內(nèi)一點(diǎn). 則說是函數(shù)的一個(gè)極大值； 則說是函數(shù)的一個(gè)極小