【正文】 .. . . ..學習參考一、函數(shù)與極限集合的概念一般地我們把研究對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫集合（簡稱集）。集合具有確定性（給定集合的元素必須是確定的）和互異性（給定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材較高的人”不能構成集合，因為它的元素不是確定的。我們通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小寫拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就說a屬于A，記作：a∈A，否則就說a不屬于A，記作：aA。 ⑴、全體非負整數(shù)組成的集合叫做非負整數(shù)集（或自然數(shù)集）。記作N⑵、所有正整數(shù)組成的集合叫做正整數(shù)集。記作N+或N+。⑶、全體整數(shù)組成的集合叫做整數(shù)集。記作Z。⑷、全體有理數(shù)組成的集合叫做有理數(shù)集。記作Q。⑸、全體實數(shù)組成的集合叫做實數(shù)集。記作R。集合的表示方法⑴、列舉法：把集合的元素一一列舉出來，并用“｛｝”括起來表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征來表示集合。集合間的基本關系⑴、子集：一般地，對于兩個集合A、B，如果集合A中的任意一個元素都是集合B的元素，我們就說A、B有包含關系，稱集合A為集合B的子集，記作A B（或B A）。⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此時集合A中的元素與集合B中的元素完全一樣，因此集合A與集合B相等，記作A＝B。⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一個元素屬于B但不屬于A，我們稱集合A是集合B的真子集。⑷、空集：我們把不含任何元素的集合叫做空集。記作 ，并規(guī)定，空集是任何集合的子集。⑸、由上述集合之間的基本關系，可以得到下面的結論：①、任何一個集合是它本身的子集。即A A②、對于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，則A是C的子集。③、我們可以把相等的集合叫做“等集”，這樣的話子集包括“真子集”和“等集”。集合的基本運算⑴、并集：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合稱為A與B的并集。記作A∪B。（在求并集時，它們的公共元素在并集中只能出現(xiàn)一次。）即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。⑵、交集：一般地，由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合稱為A與B的交集。記作A∩B。即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。⑶、補集：①全集：一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集。通常記作U。②補集：對于一個集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集。簡稱為集合A的補集，記作CUA。即CUA＝｛x|x∈U，且x A｝。集合中元素的個數(shù)⑴、有限集：我們把含有有限個元素的集合叫做有限集，含有無限個元素的集合叫做無限集。⑵、用card來表示有限集中元素的個數(shù)。例如A＝｛a,b,c｝，則card(A)=3。⑶、一般地，對任意兩個集合A、B，有card(A)+card(B)=card(A∪B)+card(A∩B)我的問題：學校里開運動會，設A＝｛x|x是參加一百米跑的同學｝，B＝｛x|x是參加二百米跑的同學｝，C＝｛x|x是參加四百米跑的同學｝。學校規(guī)定，每個參加上述比賽的同學最多只能參加兩項，請你用集合的運算說明這項規(guī)定，并解釋以下集合運算的含義。⑴、A∪B；⑵、A∩B。在平面直角坐標系中，集合C＝{(x,y)|y=x}表示直線y＝x，從這個角度看，集合D={(x,y)|方程組：2xy=1,x+4y=5}表示什么？集合C、D之間有什么關系？請分別用集合語言和幾何語言說明這種關系。已知集合A={x|1≤x≤3}，B＝{x|(x1)(xa)=0}。試判斷B是不是A的子集？是否存在實數(shù)a使A＝B成立？對于有限集合A、B、C，能不能找出這三個集合中元素個數(shù)與交集、并集元素個數(shù)之間的關系呢？無限集合A＝｛1，2，3，4，…，n，…｝，B＝｛2，4，6，8，…，2n，…｝，你能設計一種比較這兩個集合中元素個數(shù)多少的方法嗎？常量與變量⑴、變量的定義：我們在觀察某一現(xiàn)象的過程時，常常會遇到各種不同的量，其中有的量在過程中不起變化，我們把其稱之為常量；有的量在過程中是變化的，也就是可以取不同的數(shù)值，我們則把其稱之為變量。注：在過程中還有一種量，它雖然是變化的，但是它的變化相對于所研究的對象是極其微小的，我們則把它看作常量。⑵、變量的表示：如果變量的變化是連續(xù)的，則常用區(qū)間來表示其變化范圍。在數(shù)軸上來說，區(qū)間是指介于某兩點之間的線段上點的全體。區(qū)間的名稱區(qū)間的滿足的不等式區(qū)間的記號區(qū)間在數(shù)軸上的表示閉區(qū)間a≤x≤b[a，b]開區(qū)間a＜x＜b（a，b）半開區(qū)間a＜x≤b或a≤x＜b（a，b]或[a，b）以上我們所述的都是有限區(qū)間，除此之外，還有無限區(qū)間：[a，+∞)：表示不小于a的實數(shù)的全體，也可記為：a≤x＜+∞；(∞，b)：表示小于b的實數(shù)的全體，也可記為：∞＜x＜b；(∞，+∞)：表示全體實數(shù)，也可記為：∞＜x＜+∞注：其中∞和+∞，分別讀作負無窮大和正無窮大,它們不是數(shù),僅僅是記號。⑶、鄰域：設α與δ是兩個實數(shù)，且δ＞│xα│＜δ的實數(shù)x的全體稱為點α的δ鄰域，點α稱為此鄰域的中心，δ稱為此鄰域的半徑。函數(shù)⑴、函數(shù)的定義：如果當變量x在其變化范圍內(nèi)任意取定一個數(shù)值時，量y按照一定的法則f總有確定的數(shù)值與它對應，則稱y是x的函數(shù)。變量x的變化范圍叫做這個函數(shù)的定義域。通常x叫做自變量，y叫做函數(shù)值（或因變量），變量y的變化范圍叫做這個函數(shù)的值域。注：為了表明y是x的函數(shù)，我們用記號y=f(x)、y=F(x)等等來表示。這里的字母f、F表示y與x之間的對應法則即函數(shù)關系,它們是可以任意采用不同的字母來表示的。如果自變量在定義域內(nèi)任取一個確定的值時，函數(shù)只有一個確定的值和它對應，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫做多值函數(shù)。這里我們只討論單值函數(shù)。⑵、函數(shù)相等由函數(shù)的定義可知，一個函數(shù)的構成要素為：定義域、對應關系和值域。由于值域是由定義域和對應關系決定的，所以，如果兩個函數(shù)的定義域和對應關系完全一致，我們就稱兩個函數(shù)相等。⑶、域函數(shù)的表示方法a)：解析法：用數(shù)學式子表示自變量和因變量之間的對應關系的方法即是解析法。例：直角坐標系中，半徑為r、圓心在原點的圓的方程是：x2+y2=r2b)：表格法：將一系列的自變量值與對應的函數(shù)值列成表來表示函數(shù)關系的方法即是表格法。例：在實際應用中，我們經(jīng)常會用到的平方表，三角函數(shù)表等都是用表格法表示的函數(shù)。c)：圖示法：用坐標平面上曲線來表示函數(shù)的方法即是圖示法。一般用橫坐標表示自變量，縱坐標表示因變量。例：直角坐標系中，半徑為r、圓心在原點的圓用圖示法表示為：函數(shù)的簡單性態(tài)⑴、函數(shù)的有界性：如果對屬于某一區(qū)間I的所有x值總有│f(x)│≤M成立，其中M是一個與x無關的常數(shù)，那么我們就稱f(x)在區(qū)間I有界，否則便稱無界。注：一個函數(shù)，如果在其整個定義域內(nèi)有界，則稱為有界函數(shù)例題：函數(shù)cosx在(∞,+∞)內(nèi)是有界的.⑵、函數(shù)的單調(diào)性：如果函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)隨著x增大而增大，即：對于(a,b)內(nèi)任意兩點x1及x2，當x1＜x2時，有 ，則稱函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)是單調(diào)增加的。如果函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)隨著x增大而減小，即：對于(a,b)內(nèi)任意兩點x1及x2，當x1＜x2時，有，則稱函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)是單調(diào)減小的。例題：函數(shù)=x2在區(qū)間(∞,0)上是單調(diào)減小的，在區(qū)間(0,+∞)上是單調(diào)增加的。⑶、函數(shù)的奇偶性如果函數(shù)對于定義域內(nèi)的任意x都滿足=，則叫做偶函數(shù)；如果函數(shù)對于定義域內(nèi)的任意x都滿足=，則叫做奇函數(shù)。注：偶函數(shù)的圖形關于y軸對稱，奇函數(shù)的圖形關于原點對稱。⑷、函數(shù)的周期性對于函數(shù)，若存在一個不為零的數(shù)l，使得關系式對于定義域內(nèi)任何x值都成立，則叫做周期函數(shù)，l是的周期。注：我們說的周期函數(shù)的周期是指最小正周期。例題：函數(shù)是以2π為周期的周期函數(shù)；函數(shù)tgx是以π為周期的周期函數(shù)。反函數(shù)⑴、反函數(shù)的定義：設有函數(shù)，若變量y在函數(shù)的值域內(nèi)任取一值y0時，變量x在函數(shù)的定義域內(nèi)必有一值x0與之對應，即，稱為函數(shù)的反函數(shù).注：由此定義可知，函數(shù)也是函數(shù)的反函數(shù)。 ⑵、反函數(shù)的存在定理：若在(a，b)上嚴格增(減)，其值域為 R，則它的反函數(shù)必然在R上確定，且嚴格增(減).注：嚴格增(減)即是單調(diào)增(減)例題：y=x2，其定義域為(∞,+∞)，值域為[0,+∞).對于y取定的非負值,可求得x=177。.若我們不加條件，由y的值就不能唯一確定x的值，也就是在區(qū)間(∞,+∞)上，函數(shù)不是嚴格增(減)，故其沒有反函數(shù)。如果我們加上條件，要求x≥0，則對y≥0、x=就是y=x2在要求x≥0時的反函數(shù)。即是：函數(shù)在此要求下嚴格增(減). ⑶、反函數(shù)的性質(zhì)：在同一坐標平面內(nèi)，與的圖形是關于直線y=x對稱的。例題：函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，則它們的圖形在同一直角坐標系中是關于直線y=x對稱的。如右圖所示： 復合函數(shù)復合函數(shù)的定義：若y是u的函數(shù)：，而u又是x的函數(shù)：，且的函數(shù)值的全部或部分在的定義域內(nèi)，那末，y通過u的聯(lián)系也是x的函數(shù)，我們稱后一個函數(shù)是由函數(shù)及復合而成的函數(shù)，簡稱復合函數(shù)，記作，其中u叫做中間變量。注：并不是任意兩個函數(shù)就能復合；復合函數(shù)還可以由更多函數(shù)構成。例題：函數(shù)與函數(shù)是不能復合成一個函數(shù)的。因為對于的定義域(∞,+∞)中的任何x值所對應的u值（都大于或等于2），使都沒有定義。初等函數(shù)⑴、基本初等函數(shù)：我們最常用的有五種基本初等函數(shù)，分別是：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)及反三角函數(shù)。下面我們用表格來把它們總結一下：函數(shù)名稱函數(shù)的記號函數(shù)的圖形函數(shù)的性質(zhì)指數(shù)函數(shù)a):不論x為何值,y總為正數(shù)。b):當x=0時,y=1.對數(shù)函數(shù)a):其圖形總位于y軸右側,并過(1,0)點b):當a＞1時,在區(qū)間(0,1)的值為負；在區(qū)間(,+∞)的值為正；在定義域內(nèi)單調(diào)增.冪函數(shù)a為任意實數(shù)這里只畫出部分函數(shù)圖形的一部分。令a=m/na):當m為偶數(shù)n為奇數(shù)時,y是偶函數(shù)。b):當m,n都是奇數(shù)時,y是奇函數(shù)。c):當m奇n偶時,y在(∞,0)無意義.三角函數(shù)(正弦函數(shù))這里只寫出了正弦函數(shù)a):正弦函數(shù)是以2π為周期的周期函數(shù)b):正弦函數(shù)是奇函數(shù)且反三角函數(shù)(反正弦函數(shù))這里只寫出了反正弦函數(shù)a):由于此函數(shù)為多值函數(shù),因此我們此函數(shù)值限制在[π/2,π/2]上,并稱其為反正弦函數(shù)的主值.⑵、初等函數(shù)：由基本初等函數(shù)與常數(shù)經(jīng)過有限次的有理運算及有限次的函數(shù)復合所產(chǎn)生并且能用一個解析式表出的函數(shù)稱為初等函數(shù).例題：是初等函數(shù)。雙曲函數(shù)及反雙曲函數(shù)⑴、雙曲函數(shù)：在應用中我們經(jīng)常遇到的雙曲函數(shù)是：(用表格來描述)函數(shù)的名稱函數(shù)的表達式函數(shù)的圖形函數(shù)的性質(zhì)雙曲正弦a)：其定義域為:(∞,+∞)；b)：是奇函數(shù)；c)：在定義域內(nèi)是單調(diào)增雙曲余弦a)：其定義域為:(∞,+∞)；b)：是偶函數(shù)；c)：其圖像過點(0,1)；雙曲正切a)：其定義域為:(∞,+∞)；b)：是奇函數(shù)；c)：其圖形夾在水平直線y=1及y=1之間；在定域內(nèi)單調(diào)增；我們再來看一下雙曲函數(shù)與三角函數(shù)的區(qū)別：雙曲函數(shù)的性質(zhì)三角函數(shù)的性質(zhì)shx與thx是奇函數(shù)，chx是偶函數(shù)sinx與tanx是奇函數(shù)，cosx是偶函數(shù)它們都不是周期函數(shù)都是周期函數(shù)雙曲函數(shù)也有和差公式：⑵、反雙曲函數(shù)：雙曲函數(shù)的反函數(shù)稱為反雙曲函數(shù).a)：反雙曲正弦函數(shù) 其定義域為：(∞,+∞)；b)：反雙曲余弦函數(shù) 其定義域為：[1,+∞)；c)：反雙曲正切函數(shù) 其定義域為：(1,+1)；數(shù)列的極限我們先來回憶一下初等數(shù)學中學習的數(shù)列的概念。 ⑴、數(shù)列：若按照一定的法則，有第一個數(shù)a1，第二個數(shù)a2，…，依次排列下去，使得任何一個正整數(shù)n對應著一個確定的數(shù)an，那末，我們稱這列有次序的數(shù)a1，a2，…，an，…。第n項an叫做數(shù)列的一般項或通項.注：我們也可以把數(shù)列an看作自變量為正整數(shù)n的函數(shù)，即：an=，它的定義域是全體正整數(shù) ⑵、極限：極限的概念是求實際問題的精確解答而產(chǎn)生的。例：我們可通過作圓的內(nèi)接正多邊形，近似求出圓的面積。設有一圓，首先作圓內(nèi)接正六邊形，把它的面積記為A1；再作圓的內(nèi)接正十二邊形，其面積記為A2；再作圓的內(nèi)接正二十四邊形，其面積記為A3；依次循下去(一般把內(nèi)接正62n1邊形的面積記為An)可得一系列內(nèi)接正多邊形的面積：A1，A2，A3，…，An，…，它們就構成一列有序數(shù)列。我們可以發(fā)現(xiàn)，當內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時，An也無限接近某一確定的數(shù)值(圓的面積)，這個確定的數(shù)值在數(shù)學上被稱為數(shù)列A1，A2，A3，…，An，… 當n→∞(讀作n趨近于無窮大)的極限。注：上面這個例子就是我國古代數(shù)學家劉徽(公元三世紀)的割圓術。 ⑶、數(shù)列的極限：一般地，對于數(shù)列來說，若存在任意給定的正數(shù)ε(不論其多么小)，總存在正整數(shù)N，使得對于n＞N時的一切不等式都成立，那末就稱常數(shù)a是數(shù)列的極限，或者稱數(shù)列收斂于a .記作：或注：此定義中的正數(shù)ε只有任意給定，不等式才能表達出與a無限接近的意思。且定義中的正整數(shù)N與任意給定的正數(shù)ε是有關的，它是隨著ε的給定而選定的。⑷、數(shù)列的極限的幾何解釋：在此我們可能不易理解這個概念，下面我們再給出它的一個幾何解釋，以使我們能理解它。數(shù)列極限為a的一個幾何解釋：將常數(shù)a及數(shù)列在數(shù)軸上用它們的對應點表示出來，再在數(shù)軸上作點a的ε鄰域即開區(qū)間(aε，a+ε)，如下圖所示： 因不等式與不等式等價，故當n＞N時，所有的點都落在開區(qū)間(aε，a+ε)內(nèi)，而只有有限個(至多只有N個)在此區(qū)間以外。注：至于如何求數(shù)列的極限，我們在以后會學習到，這里我們不作討論。 ⑸、數(shù)列的有界性：對于數(shù)列，若存在著正數(shù)M，使得一切都滿足不等式││≤M，則稱數(shù)列是有界的，若正數(shù)M不存在，則可說數(shù)列是無界的。定理：若數(shù)列收斂，那末數(shù)列一定有界。注：有界的數(shù)列不一定收斂，即：數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件，但不是充分條件。例：數(shù)列 1，1，1，1，…，(1)n+1，… 是有界的，但它是發(fā)散的。函數(shù)的極限前面我們學習了數(shù)列的極限，已經(jīng)知道數(shù)列可看作一類特殊的函數(shù)，即自變量取 1→∞內(nèi)的正整數(shù)，若自變量不再限于正整數(shù)的順序，而是連續(xù)變化的，就成了函數(shù)。下面我們來學習函數(shù)的極限.函數(shù)的極值有兩種情況：a)：自變量無限增大；b)：自變量無限接近某一定點x0，如果在這時，函數(shù)值無限接近于某一常數(shù)A，就叫做函數(shù)存在極值。我們已知道函數(shù)的極值的情況，那么函數(shù)的極限如何呢 ?下面我們結合著數(shù)列的極限來學習一下函數(shù)極限的概念!⑴、函數(shù)的極限(分兩種情況)a):自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限定義：設函數(shù)，若對于任意給定的正數(shù)ε(不論其多么小)，總存在著正數(shù)X，使得對于適合不等式 的一切x，所對應的函數(shù)值都滿足不等式 那末常數(shù)A就叫做函數(shù)當x→∞時的極限，記作：下面我們用表格把函數(shù)的極限與數(shù)列的極限對比一下：數(shù)列的極限的定義函數(shù)的極限的定義存在數(shù)列與常數(shù)A，任給一正數(shù)ε＞0，總可找到一正整數(shù)N，對于n＞N的所有都滿足＜ε則稱數(shù)列，當x→∞時收斂于A記：。存在函數(shù)與常數(shù)A，任給一正數(shù)ε＞0，總可找到一正數(shù)X，對于適合的一切x，都滿足，函數(shù)當x→∞時的極限為A，記：。從上表我們發(fā)現(xiàn)了什么 ？？試思考之b):自變量趨向有限值時函數(shù)的極限。我們先來看一個例子.例：函數(shù)，當x→1時函數(shù)值的變化趨勢如何？函數(shù)在x=，在數(shù)軸上任何一個有限的范圍內(nèi)，都有無窮多個點，為此我們把x→1時函數(shù)值的變化趨勢用表列出,如下圖:從中我們可以看出x→1時，→，：只要與2只差一個微量ε，就一定可以找到一個δ，當＜δ時滿足＜δ定義：設函數(shù)在某點x0的某個去心鄰域內(nèi)有定義，且存在數(shù)A，如果對任意給定的ε(不論其多么小)，總存在正數(shù)δ，當0＜＜δ時，＜ε則稱函數(shù)當x→x0時存在極限，且極限為A，記：。注：在定義中為什么是在去心鄰域內(nèi)呢？這是因為我們只討論x→x0的過程，與x=x0出的情況無關。此定義的核心問題是：對給出的ε，是否存在正數(shù)δ，使其在去心鄰域內(nèi)的x均滿足不等式。有些時候，我們要用此極限的定義來證明函數(shù)的極限為 A，其證明方法是怎樣的呢？ a):先任取ε＞0； b):寫出不等式＜ε；c):解不等式能否得出去心鄰域0＜＜δ，若能； d):則對于任給的ε＞0，總能找出δ，當0＜＜δ時，＜ε成立，因此函數(shù)極限的運