高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)例題講解(已修改)
2025-08-17 19:25 本頁面
【正文】 第1章 函數(shù)的極限與連續(xù)例1．求．解：當(dāng)時，當(dāng)時，由極限定義可知，不存在（如圖）．例2．求（是非零常數(shù)）．解：令，顯然當(dāng)時，于是 ．例3．求．解：令，當(dāng)時，有，原式例4．求．解：例5．求．解：令，則，時，于是第2章 一元函數(shù)微分及其應(yīng)用例1．討論函數(shù)在處的可導(dǎo)性與連續(xù)性．解：為初等函數(shù)，在其定義域上連續(xù)，所以在處連續(xù)．又不存在．所以函數(shù)在處連續(xù)，但不可導(dǎo)．事實(shí)上，曲線在點(diǎn)的切線斜率趨于無窮大，在原點(diǎn)處具有垂直于軸的切線（如圖）．例2．求的各階導(dǎo)數(shù)．解：，，…….，所以：．例3．求的導(dǎo)數(shù)．解：此函數(shù)直接求導(dǎo)比較復(fù)雜，先取對數(shù)再求導(dǎo)可簡化運(yùn)算．此函數(shù)的定義域?yàn)楫?dāng)時，函數(shù)式兩邊取對數(shù)得： 因此上式兩邊對x求導(dǎo)，得 整理后得，當(dāng)時可得同樣結(jié)論．例4．．解：這是“”型，通分即可化為“”型．．例5．求內(nèi)接于半徑為的球內(nèi)的圓柱體的最大體積．解：設(shè)圓柱的底半徑為，高為則體積，而故（），問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值．由得駐點(diǎn)（負(fù)值不合題意舍去）．根據(jù)實(shí)際問題，圓柱體的體積不能超過球的體積，因而是有最大值的，而最大值顯然不能在端點(diǎn)，處取得，故只在唯一駐點(diǎn)處取得．即當(dāng)，時圓柱
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