【正文】 1 第一章 函數(shù)與極限 函數(shù)和極限都是高等數(shù)學(xué)中最重要、最基本的概念，極值方法是最基本的方法，一切內(nèi)容都將從這二者開(kāi)始。 167。 函 數(shù) 一、 集合、常量與變量 集合：集合是具有某種特定性質(zhì)的事物所組成的全體。通常用大寫(xiě)字母 A、 B、 C??等來(lái)表示，組成集合的各個(gè)事物稱為該集合的元素。若事物 a 是集合 M 的一個(gè)元素，就記 a? M（讀 a 屬于 M）；若事物 a 不是集合 M 的一個(gè)元素，就記 a?M 或 a? M（讀 a 不屬于 M）；集合有時(shí)也簡(jiǎn)稱為集。 注 1：若一集合只有有限個(gè)元素，就稱為有限集；否則稱為無(wú)限集。 2：集合的表示方法： ?????????????????????????等。中在點(diǎn)；為我校的學(xué)生；須有此性質(zhì)。如：中的元素必中，且，即：有此性質(zhì)的必在所具有的某種性質(zhì)合可表示為：，那么該集若知其元素有某種性質(zhì)不到元素規(guī)律的集合，、列不出全體元素或找為全體偶數(shù)集；，，然數(shù)集，為全體自，，寫(xiě)出，如：元素的規(guī)律，也可類似、對(duì)無(wú)限集，若知道其；雞一只貓，一只狗，一只的方法來(lái)表示，如：可用列舉出其全體元素、若集合為有限集，就枚舉法}),(),{(}{}0375{}{)(}642{}321{)(}{},10,3,2,1{)(23DyxyxCxxBxxxxAAAxxAiiiBAiiBAi?????? 3：全體自然數(shù)集記為 N,全體整數(shù)的集合記為 Z,全體有理數(shù)的集合記為 Q,全體實(shí)數(shù)的集合記為 R。以后不特別說(shuō)明的情況下考慮的集合均為數(shù)集。 4：集合間的基本關(guān)系：若集合 A 的元素都是集合 B 的元素，即若有 Ax? ，必有 Bx? ，就稱 A 為 B 的子集，記為 BA? ,或 AB? (讀 B 包含 A)。 顯然： RQZN ??? . 若 BA? ,同時(shí) AB? ,就稱 A、 B 相等 ,記為 A=B。 5：當(dāng)集合中的元素重復(fù)時(shí) ,重復(fù)的元素只算一次 .如： {1,2,2,3}={1,2,3}。 6：不含任何元素的集稱為空集 ,記為 ? ,如： { Rxxx ??? ,012 }=? ,{ 12: ??xx }=? ,空集是任何集合的子集 ,即 A?? 。 7：區(qū)間：所有大于 a、小于 ba( ＜ )b 的實(shí)數(shù)組成一個(gè)集合 ,稱之為開(kāi)區(qū)間 ,記為 (a,b),即(a,b)= }{ bxax ?? 。 同理： [a,b]= }{ bxax ?? 為閉區(qū)間， ? ? }{, bxaxba ??? 和 ? ? }{, bxaxba ?? ? 分別稱為左閉右開(kāi)、左開(kāi)右閉的區(qū)間，統(tǒng)稱為半開(kāi)區(qū)間。 以上均成為有限區(qū)間， a、 b 分別稱為左、右端點(diǎn)。 對(duì)無(wú)窮區(qū)間有： ? ? Rxxxaxabxxb ????????????????? }{),(},{),(},{, ???， 2 在不特別要求下，有限區(qū)間、無(wú)限區(qū)間統(tǒng)稱為區(qū)間，用 I 表示。 8：鄰域：設(shè) a 和 ? 為兩個(gè)實(shí)數(shù)，且 ? ? }{ ??axx ? 稱為點(diǎn) a 的 ? 鄰域，記為),( ?aU ,a 為該鄰域的中心， ? 為該鄰域的半徑，事實(shí)上， ),(}{),( ????? ?????? aaaxaxaU ??。 同理：我們稱 }0{),( ?? ?? axxaU ??? 為 a 的去心 ? 鄰域，或 a 的空心 ? 鄰域。 9：集合的內(nèi)容很多，其它內(nèi)容 (如集合的運(yùn)算 )在此不作一一介紹了。 常量與變量：在自然科學(xué)中，我們會(huì)遇到各種不同的量，然而在觀察這些量時(shí)，發(fā)現(xiàn)有著非常不同的狀態(tài)，有的量在過(guò)程中不起變化，保持一定的數(shù)值，此量稱為常量；又有些量有變化，可取各種不同的數(shù)值，這種量稱為變量。 【例】擲同一鉛球數(shù)次，發(fā)現(xiàn)鉛球的質(zhì)量、體積為常量，而投擲距離、上拋角度、用力大小均為變量。 注 1：常量與變量是相對(duì)而言的，同一量在不同場(chǎng)合下，可能是 常量，也可能是變量，如在一天或在一年中觀察某小孩的身高；從小范圍和大范圍而言，重力加速度可是常量和變量，然而，一旦環(huán)境確定了，同一量不能既為常量又為變量，二者必居其一。 2：常量一般用 a,b,c??等字母表示，變量用 x,y,u,t??等字母表示，常量 a 為一定值，在數(shù)軸上可用定點(diǎn)表示，變量 x 代表該量可能取的任一值，在數(shù)軸上可用動(dòng)點(diǎn)表示，如： ),( bax? 表示 x 可代表 ),( ba 中的任一個(gè)數(shù)。 二、 函數(shù)的概念 【例】正方形的邊長(zhǎng) x 與面積 S 之間的關(guān)系為： 2xS? ，顯然當(dāng) x 確定了， S 也就確定了。 這就是說(shuō)，同一過(guò)程中變量之間往往存在著某種內(nèi)在的聯(lián)系。它們?cè)谧裱骋灰?guī)律時(shí)相互聯(lián)系、相互約束著。 定義：設(shè) x 和 y 為 兩個(gè)變量， D 為一個(gè)給定的數(shù)集，如果對(duì)每一個(gè) Dx? ，按照一定的法則 f 變量 y 總有確定的數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，就稱 y 為 x 的函數(shù)，記為 )(xfy? .數(shù)集 D稱為該函數(shù)的定義域， x 叫做自變量， y 叫做因變量。 當(dāng) x 取數(shù)值 Dx?0 時(shí)，依法則 f 的對(duì)應(yīng)值稱為函數(shù) )(xfy? 在 0xx? 時(shí)的函數(shù)值。所有函數(shù)值組成的集合 }),({ DxxfyyW ??? 稱為函數(shù) )(xfy? 的 值域。 注 1：函數(shù)通常還可用 )(),(),( tusxFyxgy ??? 等表示。 2：約定：函數(shù)的定義域就是自變量所能取的，使算式有意義的一切實(shí)數(shù)值的全體。 【例 1】 xy sin? 的定義域?yàn)?),( ???? ，值域?yàn)?]1,1[? 。 【例 2】 xy ?? 1 的定義域?yàn)?),1[ ??? ，值域?yàn)?),0[ ?? 。 3 【例 3】 ?????????????011021102??xxxxxy 的定義域?yàn)?]1,1[? ，值域?yàn)?]2,0[ 。 【例 4】 1)( ?xf 的定義域?yàn)?),( ???? ， xxxh ?)( 的定義域?yàn)?),0()0,( ????? ，從而顯然)()( xhxf ? 。 若對(duì)每一個(gè) Dx? ，只有唯 一的一個(gè) y 與之對(duì)應(yīng)，就稱函數(shù) )(xfy? 為單值函數(shù)；若有不止一個(gè) y 與之對(duì)應(yīng)，就稱為多值函數(shù)。如： 1,1 2222 ???? yxyx 等。以后若不特別聲明，只討論單值函數(shù)。 函數(shù)的表示法有三種：解析法、圖象法、列表法。其中解析法較普遍，它是借助于數(shù)學(xué)式子來(lái)表示對(duì)應(yīng)法則，上例均為解析法，注意例 3 的法則是：當(dāng)自變量 x 在 ]1,0( 上取值，其函數(shù)值為 2x ；當(dāng) x 取 0 時(shí)， 21)( ?xf ；當(dāng) x 在 )0,1[? 上取值時(shí)，其函數(shù)值為 x?1 。（這種函數(shù)稱為分段函數(shù)，在以后經(jīng)常遇見(jiàn)，希望注意?。┍M管有幾個(gè)不同的算式，但它們合起來(lái)只表示一個(gè)函數(shù)！ 對(duì) D 中任一固定的 x ，依照法則有一個(gè)數(shù) y 與之對(duì)應(yīng)，以 x 為橫坐標(biāo)， y 為縱坐標(biāo)在坐標(biāo)平面上就確定了一個(gè)點(diǎn)。當(dāng) x 取遍 D 中的每一數(shù)時(shí)，便得到一個(gè)點(diǎn)集}),(),{( DxxfyyxC ??? ，我們稱之為函數(shù) )(xfy? 的圖形。換言之，當(dāng) x 在 D 中變動(dòng)時(shí)，點(diǎn) ),( yx 的軌跡就是 )(xfy? 的圖形。 【例 5】 書(shū)上的幾個(gè)例子。（同學(xué)們自己看） 【例 6】 例 3 的圖形如下圖 4 三、 函數(shù)的幾種特性 函數(shù)的有界性：設(shè) )(xfy? 在 D 上有定義，若對(duì) 0, ?MDx ??? ，使得： Mxf ?)( ，就稱 )(xf 在 D 上有界，否則稱為無(wú)界。 注： 若對(duì) Dx?? ， M? ，使得 ))(()( MxfMxf ?? ，就稱 )(xf 在 D 上有上 (下 )界。 )(xf在 D 上有界 ? )(xf 在 D 上同時(shí)有上界和下界。 )(xf 在 D 上無(wú)界也可這樣說(shuō)：對(duì) 0?M? ，總 Dx ??0 ，使得 Mxf ?)( 0 。 【 例 7】 上段例 4 中的函數(shù)是有界的；例 2 中的函數(shù)是無(wú)界的，但有下界。 函數(shù)的單調(diào)性：設(shè)函數(shù) )(xf 在區(qū)間 I 上有定義，若對(duì) Ixx ?? 2 ，當(dāng) 21 xx? 時(shí)總有： （ 1） )()( 21 xfxf ? ，就稱 )(xf 在 I 上單調(diào)遞增，特別當(dāng)嚴(yán)格不等式 )()( 21 xfxf ? 成立時(shí)，就稱 )(xf 在 I 上嚴(yán)格單調(diào)遞增。 （ 2） )()( 21 xfxf ? ，就稱 )(xf 在 I 上單調(diào)遞減，特別當(dāng)嚴(yán)格不等式 )()( 21 xfxf ? 成立時(shí)，就稱 )(xf 在 I 上嚴(yán)格單調(diào)遞減。 注： 此處的定義與書(shū)上有區(qū)別，希望注意！ 這樣的函數(shù)分別稱為單調(diào)函數(shù)和嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)。 調(diào)遞增有時(shí)簡(jiǎn)稱單增、遞增或不減，其它也一樣。 【例 8】 符號(hào)函數(shù)和取整函數(shù)均為單增函數(shù)，但不嚴(yán)格單調(diào)。 【例 9】 xy 1? 在 ),0( ?? 上是嚴(yán)格單減函數(shù)。 【例 10】 [例 3]中的函數(shù)在定義域 ]1,1[? 上不是單調(diào)的，但在 )0,1[? 上是嚴(yán)格單減的，在]1,0( 上是嚴(yán)格單增的。 函數(shù)的奇偶性：設(shè)函數(shù) )(xf 的定義域 D 為對(duì)稱于原點(diǎn)的數(shù)集，即若 Dx? ，有 Dx?? ， (1) 若對(duì) Dx?? ，有 )()( xfxf ?? 恒成立，就稱 )(xf 為偶函數(shù)。 (2) 若對(duì) Dx?? ，有 )()( xfxf ??? 恒成立，就稱 )(xf 為奇函數(shù)。 【例 11】 2xy? ， xy cos? , xy? ,是偶函數(shù)， 3xy? ， xy sin? ， xy sgn? ，是奇函數(shù)。 32 xxy ?? ， xxy sincos ?? 是非奇非偶函數(shù)。 5 【例 11】 ﹡ )1ln ( 2xxy ??? 是奇函數(shù)。 注： 偶函數(shù)的圖形是關(guān)于 y 軸對(duì)稱的，奇函數(shù)的圖形是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的。 若 )(xf 是奇函數(shù)，且 D?0 ，則必有 0)0( ?f 。 兩偶函數(shù)和為偶函數(shù)；兩奇函數(shù)和為奇函數(shù)；兩偶函數(shù)的積為偶函數(shù)；兩奇函數(shù)的積也為偶函數(shù)；一奇一偶 的積為奇函數(shù)。 周期性：設(shè)函數(shù) )(xf 的定義域?yàn)?D ，如果 0??l ，使得對(duì) Dx?? ，有 Dlx ?? ，且 )()( xflxf ?? 恒成立，就稱 )(xf 為周期函數(shù)， l 稱為 )(xf 的周 期。 【例 12】 tgxyxyxy ??? ,c os,s in 分別為周期為 ??? ,2,2 的周期函數(shù)， ][xxy ?? 為周期為 1 的函數(shù)。 注 1：若 l 為 )(xf 的周期，由定義知 ??lll 4,3,2 也都是 )(xf 的周期，故周期函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)周期，通常說(shuō)的周期是指最小正周期（基本周期），然而最小正周期未必都存在（為什么？） 例如： 1c o ss in 22 ??? xxy ，設(shè)有最小正周期。 2：周期函數(shù)在一每個(gè)周期 ))1(,( lkakla ??? （ a 為任意數(shù)， k 為任意常數(shù)）上，有相同的形狀。 四、 反函數(shù) 設(shè) )(xf 的定義域?yàn)?D ，值域?yàn)?W ，因此，對(duì) Wy?? ，必 Dx?? ，使得 yxf ?)( ，這樣的 x 可能不止一個(gè)，若將 y 當(dāng)作自變量， x 當(dāng)作因變量，按函數(shù)的概念，就得到一新函數(shù) )(yx ?? ，稱之為函數(shù) )(xfy? 的反函數(shù)，而 )(xf 叫做直接函數(shù)。 注 1：反函數(shù) )(yx ?? 的定義域?yàn)?W ，值域?yàn)?D ； 2：由上討論知，即使 )(xfy? 為單值函數(shù)，其反函數(shù)卻未必是單值函數(shù)，以后對(duì)此問(wèn)題還作研究； 3：在習(xí)慣上往往用 x 表示自變量， y 表示因變量，因此將 )(yx ?? 中的 x 與 y 對(duì)換一下， )(xfy? 的反函數(shù)就變成 )(xy ?? ，事實(shí)上函數(shù) )(xy ?? 與 )(yx ?? 是表示同一函數(shù)的，因?yàn)?，表示函?shù)關(guān)系的字母 ? 沒(méi)變，僅自變量與因變量的字母變了，這沒(méi)什么關(guān)系。所以說(shuō)：若 )(xfy? 的反函數(shù)為 )(yx ?? ，那么 )(xy ?? 也是 )(xfy? 的反函數(shù)，且后者 6 較常用； 4：反函數(shù) )(xy ?? 的圖形與直接函數(shù) )(xfy? 的圖形是對(duì)稱于 xy? （證明很簡(jiǎn)單，大家自己看書(shū)）； 5：有些書(shū)上，對(duì)反函數(shù)的定義與此不同，希加與之區(qū)別。 【例 13】 函數(shù) 32 , xyxybaxy ???? 的 反函數(shù)分別為： 31, yxyxa byx ????? 或分別為 31, xyxya bxy ????? 。 167。 2 初等函數(shù) 一、 冪函數(shù) 形如 ?xy? （ ? 為常數(shù)）的函數(shù)叫做冪函數(shù)。 其定義域較為復(fù)雜，下作一些簡(jiǎn)單的討論： （ 1） 當(dāng) ? 為非負(fù)整數(shù)時(shí)，定義域?yàn)?),( ???? ； （ 2） 當(dāng) ? 為負(fù)整數(shù)時(shí)，定義域?yàn)?),0()0,( ????? ； （ 3） 當(dāng) ? 為其它有理數(shù)時(shí)，要視情況而定。 【例 1】 31xy? 的定義域?yàn)?),( ???? ； 4321 , xyxy ?? 的定義域?yàn)?? ???,0 ； 21??xy 的定義域?yàn)?),0( ?? 。 （ 4