【正文】 變量：在自然科學(xué)中，我們會(huì)遇到各種不同的量，然而在觀察這些量時(shí)，發(fā)現(xiàn)有著非常不同的狀態(tài)，有的量在過(guò)程中不起變化，保持一定的數(shù)值，此量稱(chēng)為常量；又有些量有變化，可取各種不同的數(shù)值，這種量稱(chēng)為變量。 若對(duì)每一個(gè) Dx? ，只有唯 一的一個(gè) y 與之對(duì)應(yīng)，就稱(chēng)函數(shù) )(xfy? 為單值函數(shù)；若有不止一個(gè) y 與之對(duì)應(yīng)，就稱(chēng)為多值函數(shù)。 注： 此處的定義與書(shū)上有區(qū)別，希望注意！ 這樣的函數(shù)分別稱(chēng)為單調(diào)函數(shù)和嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)。 2：周期函數(shù)在一每個(gè)周期 ))1(,( lkakla ??? （ a 為任意數(shù)， k 為任意常數(shù)）上，有相同的形狀。 【例 1】 xy 2sin? 就是 2uy? 和 xu sin? 復(fù)合而成； 2cosxy? 就是 uy cos? 和 2xu? 復(fù)合而成。1,31,21,1 1 ???????? ??? nn 。 證明：對(duì) 0??? ，要使得 ?????nnn 111，只須 ?1?n ，所以取 ??????? ?1N，當(dāng) Nn? 時(shí)，有 ?????nnn 111，所以 11lim ???? nnn?，F(xiàn)考慮： ??? 2)()( ???????????? axbxaxbxba nnnn 由于 ba, 均為常數(shù) ba?? ，所以 nx 的極限只能有一個(gè)。一般地， ? 越小， ? 相應(yīng)地也小一些。取 2A?? ，由定義，對(duì)此 0, ???? ，當(dāng) ),( 0 ??? xUx 時(shí)，2)( AAxf ??? ? ，即 0)(232)(220 ????????? xfAAAxfAAA 。 注 1：設(shè) )(xf 在 ]),((),[ ba ???? 上有定義，若對(duì) 0,0 ???? X? ，當(dāng) )( XxXx ??? 時(shí)，有 ???Axf )( ，就稱(chēng) A 為 )(xf 當(dāng) )( ?????? xx 時(shí)的極限，記為Axfx ???? )(lim ，或 Axf ?)( （當(dāng) ???x ）（ Axfx ???? )(lim ，或 Axf ?)( （當(dāng)???x ））。 3：若 ??? )(lim0 xfxx或 ???? )(lim xfx，按通常意義將， )(xf 的極限不存在。 注 1：本定理可推廣到有限個(gè)函數(shù)的情形。 【例 2】 nnxxnxx xxx 0]lim[lim 00 ?? ??。 解：當(dāng) ??n 時(shí)，這是無(wú)窮多項(xiàng)相加，故不能用167。 【例 2】 1s inlim)s in (lims inlim0 ????? ??? ????? ttx xx x txtxx ??? ???。 2：本定理理論性較強(qiáng)，但不實(shí)用，故只須了解就行了。 定義 1ˊ ：設(shè) )(xfy? 在 0x 的某鄰域內(nèi)有定義，若對(duì) 0,0 ???? ?? ，當(dāng) ??? 0xx 時(shí)，有??? )()( 0xfxf ，就稱(chēng) )(xf 在 0x 點(diǎn)連續(xù)。 n 種常見(jiàn)的間斷點(diǎn)類(lèi)型： 【例 5】設(shè)21)( xxf ?，當(dāng) ??? )(,0 xfx ，即極限不存在，所以 0?x 為 )(xf 的間斷點(diǎn)。 注 2：可類(lèi)似討論 ??x 時(shí)的情形。 10 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性 一、 續(xù)函數(shù)的運(yùn)算 定理 1(連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算法則 )：若 )(),( xgxf 均在 0x 連續(xù)，則 )()(),()( xgxfxgxf ?? 及)()(xgxf（要求 0)( 0 ?xg ）都在 0x 連續(xù)。 【例 4】討論函數(shù)??? ?? ??? 02 02 xx xxy 在 0? 的連續(xù)性。 注 1： )(xf 在 0x 點(diǎn)連續(xù)，不僅要求 )(xf 在 0x 點(diǎn)有意義， )(lim0 xfxx?存在，而且要)()(lim 00 xfxfxx ?? ，即極限值等于函數(shù)值。 由準(zhǔn)則Ⅱ或Ⅱ′知 nx n)11(lim ???存在，并使用 e 來(lái)表示，即??5 9 0 4 57 1 8 2 8 1 8 2 8 )11(lim ????? en nx 注 1：關(guān)于此極 限存在性的證明，書(shū)上有不同的方法，希望同學(xué)自己看！ 2：我們可證明： enx nnxx ???? ???? )11(lim)1(lim 1 ，具體在此不證明了，書(shū)上也有，由證明過(guò)程知： exx xxxx ???? ??????11 )1(lim)1(lim 。 作為準(zhǔn)則 I′ 的應(yīng)用，下面將證明第一個(gè)重要極限： 1sinlim0 ?? xxx。 定理 2（ ii） ????? 2lim22 xxx。 定理 1（ ii）BAxg xf ?? )( )(lim。 推論 2：有限個(gè)無(wú)窮小的乘積仍為無(wú)窮小，設(shè) 0)l i m (0limlimlim 2121 ?????? nn ?????? ????。 二、無(wú)窮大 若當(dāng) 0xx? 或 ??x 時(shí) ??)(xf ，就稱(chēng) )(xf 為當(dāng) 0xx? 或 ??x 時(shí)的無(wú)窮大。 【例 4】 1)s g n (lim,1)s g n (lim0000 ??? ???? xx xx，因?yàn)?11?? ，所以 )sgn(lim0 xx?不存在。取 }3,1min{ ?? ? （從圖形中解釋?zhuān)?，?dāng) ???? 10 x 時(shí)，有 ?????? 3212 122xxx。 二、當(dāng)自變量 x 的絕對(duì)值 x 無(wú)限增大，或講趨向無(wú)窮大（記 ??x ）時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值 )(xf 的變化情況。 取?????????? qN lnln1 ? ，所以當(dāng) Nn? 時(shí)，有 ???? 01nq 成立。這個(gè)數(shù)“ 1”稱(chēng)為當(dāng) ??n 時(shí)，?????? ?nn 1的極限。數(shù)列中的每一數(shù)稱(chēng)為數(shù)列的項(xiàng)，第 n 項(xiàng) nx 稱(chēng)為一般項(xiàng)或通項(xiàng)。 三、 三角函數(shù)與反三角函數(shù) 三角函數(shù) 三角函數(shù)主要是： 正弦函數(shù)： ),(s in ?????? xxy 余弦函數(shù)： ),(c o s ?????? xxy 正切函數(shù)： ??,2,1,02t a n ?????? nnxxy ?? 余切函數(shù)： ??,2,1,0c ot ????? nnxxy ? 正弦函數(shù)和余弦函數(shù)均為周期為 ?2 的周期函數(shù) ，正切函數(shù)和余切函數(shù)均為周期為 ?的周期函數(shù)。 兩偶函數(shù)和為偶函數(shù)；兩奇函數(shù)和為奇函數(shù)；兩偶函數(shù)的積為偶函數(shù)；兩奇函數(shù)的積也為偶函數(shù)；一奇一偶 的積為奇函數(shù)。 )(xf 在 D 上無(wú)界也可這樣說(shuō)：對(duì) 0?M? ，總 Dx ??0 ，使得 Mxf ?)( 0 。 【例 1】 xy sin? 的定義域?yàn)?),( ???? ，值域?yàn)?]1,1[? 。 對(duì)無(wú)窮區(qū)間有： ? ? Rxxxaxabxxb ????????????????? }{),(},{),(},{, ???， 2 在不特別要求下，有限區(qū)間、無(wú)限區(qū)間統(tǒng)稱(chēng)為區(qū)間，用 I 表示。 167。 7：區(qū)間：所有大于 a、小于 ba( ＜ )b 的實(shí)數(shù)組成一個(gè)集合 ,稱(chēng)之為開(kāi)區(qū)間 ,記為 (a,b),即(a,b)= }{ bxax ?? 。所有函數(shù)值組成的集合 }),({ DxxfyyW ??? 稱(chēng)為函數(shù) )(xfy? 的 值域。（同學(xué)們自己看） 【例 6】 例 3 的圖形如下圖 4 三、 函數(shù)的幾種特性 函數(shù)的有界性：設(shè) )(xfy? 在 D 上有定義，若對(duì) 0, ?MDx ??? ，使得： Mxf ?)( ，就稱(chēng) )(xf 在 D 上有界，否則稱(chēng)為無(wú)界。 5 【例 11】 ﹡ )1ln ( 2xxy ??? 是奇函數(shù)。 （ 4） 當(dāng) ? 為無(wú)理 數(shù)時(shí)，規(guī)定其定義域?yàn)?),0( ?? ，其圖形也很復(fù)雜，但不論 ? 取何值，圖形總過(guò)（ 1， 1）點(diǎn)，當(dāng) ? 0 時(shí)，還過(guò)（ 0， 0）點(diǎn)。 167。同理，若取 100001?? ，由 10000100001111 ?????? nnnn，即?????? ?nn 1從第 10001 項(xiàng) 開(kāi) 始 ， 以 后 的 項(xiàng) ??,1 0 0 0 21 0 0 0 3,1 0 0 0 11 0 0 0 21000210001 ?? xx都滿足不等式1000011??nx ，或說(shuō)，當(dāng) 10000?n 時(shí)，有 100 00111 ???nn 。 【例 3】 設(shè) 1?q ，證明 ???? ,1 12 ?nqqq 的極限為 0，即 0lim 1 ???? nn q。 4 函數(shù)的極限 由上節(jié)知，數(shù)列是自變量取自然數(shù)時(shí)的函數(shù)， )(nfxn ? ，因此，數(shù)列是函數(shù)的一種特性情況。 15 【例 3】 證明 3212 1lim 2 21 ????? xxxx 。這樣，就有必要引進(jìn)單側(cè)極限的定義： 16 定義 2：對(duì) 0??? ， 0??? ，當(dāng) 00 xxx ??? ? 時(shí)， [當(dāng) ???? 00 xxx 時(shí) ]，有 ??? Axf )( .這時(shí)就稱(chēng) A 為 )(xf 當(dāng) 0xx? 時(shí)的左 [右 ]極限，記為 Axfxx ??? )(lim 00或 Axf ?? )0( 。 【例 1】 因?yàn)?0422)42(lim2 ?????? xx，所以 42?x 當(dāng) 2?x 時(shí)為無(wú)窮?。? 同理： 0sinlim ??? xxx，所以 xxsin 當(dāng) ??x 時(shí)為無(wú)窮小， 而 04)42(lim0 ????? xx，所以 42?x 當(dāng) 0?x 時(shí)不是無(wú)窮小。 定理 2：有界 函數(shù)與無(wú)窮小的乘積仍為無(wú)窮小，即設(shè) u 有界， 0lim0lim ??? ?? u。 推論 2： nn xfxf )]([lim)](lim [ ? （ n 為正整數(shù)）。 解：當(dāng)13,11,1 3 ???? xxx全沒(méi)有極限，故不能直接用定理 3，但當(dāng) 1??x 時(shí)， 12)1)(1( )2)(1(1311 223 ??????? ?????? xx xxxx xxxx，所以 11)1()1( 2112l i m)1311(l i m 22131 ?????? ?????????? ???? xx xxx xx 。 準(zhǔn)則 I′ 如果函數(shù) )(),(),( xhxgxf 滿足下列條件： （ i）當(dāng) ))(,( 0 MxrxUx ?? ? 時(shí)，有 )()()( xhxfxg ?? 。 作為準(zhǔn)則Ⅱ的一個(gè)應(yīng)用，下面來(lái)證明極限 xx x)11(lim ???是不存在的。 7：在目前，常用當(dāng) 0?x 時(shí)，等價(jià)無(wú)窮小有： 221~c o s1,~a r c t a n,~a r c s i n,~t a n,~s i n xxxxxxxxxx ?； 8：用等價(jià)無(wú)窮小代換適用于乘、除，對(duì)于加、減須謹(jǐn)慎！ 167。 【例 3】證明 xxf ?)( 在 0?x 點(diǎn)連續(xù)。 歸納： (1) ??? )(lim0 xfxx， 0x 為無(wú)窮間斷點(diǎn)； (2) )(lim0 xfxx?震蕩不存在， 0x 為震蕩間斷點(diǎn)； (3) )()(lim00 xfAxfxx ???， 0x 為可去間斷點(diǎn)； (4) )(lim)(lim00 00 xfxf xxxx ???? ?， 0x 為跳躍間斷點(diǎn)。 注 4：在定理 3中代入 )( 00 xua ??? ，即得定理 4。 1.??? ??? Qx Qxxf 10)( x? 均為振蕩間斷點(diǎn)。 定義 1″：設(shè) )(xfy? 在 0x 的某鄰域內(nèi)有定義，若當(dāng) 0??x 時(shí)，有 0??y ，即 0lim0 ???? yx，或 0)]()([lim000 ?????? xfxxfx，就稱(chēng) )(xf 在 0x 點(diǎn)連續(xù)。 6 中我們討論了無(wú)窮小的和、差、積的情況，對(duì)于其商會(huì)出現(xiàn)不同的情況，例如：?????????????? ???nmnmnmbabaxxbxa mnxmnx0limlim00000000 （ 00,ba 為常數(shù)， nm, 為自然數(shù)） 可見(jiàn)對(duì)于 nm, 取不同數(shù)時(shí)， nxa0 與 mxb0 趨于 0 的速度不一樣，為此有必要對(duì)無(wú)窮小進(jìn)行比較或分類(lèi)： 定義：設(shè) ? 與 ? 為 x 在同一變化過(guò)程中的兩個(gè)無(wú)窮小， (i) 若 0lim ??? ，就說(shuō) ? 是比 ? 高階的無(wú)窮小，記為 )(?? o? ； (ii) 若 ????lim ，就說(shuō) ? 是比 ? 低階的無(wú)窮小； (iii) 若 0lim ??C?? ，就說(shuō) ? 是比 ? 同階的無(wú)窮??； 26 (iv) 若 1lim ??? ，就說(shuō) ? 與 ? 是等價(jià)無(wú)窮小，記為 ??~ 。 準(zhǔn)則Ⅱ：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列必有極限 如果數(shù)列 nx 滿足： ???? ???? nxxx 21 ，就稱(chēng)之為單調(diào)增加數(shù)列；若滿足：???? ???? nxxx 21 ，就稱(chēng)之為單調(diào)減少數(shù)列；同理亦有嚴(yán)格單增或單減，以上通稱(chēng)為單減數(shù)列和嚴(yán)格單減數(shù)列。 證明：先考慮 ? ? ? ?x xxxx ???1 ，因?yàn)???xx? 是有界函數(shù)，且當(dāng) ??x 時(shí)， 0