高等數(shù)學(xué)同濟(jì)大學(xué)版課程講解11映射與函數(shù)(編輯修改稿)
2025-05-01 05:19 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 177。2,…,如圖18所示． 圖182. 復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)(1)復(fù)合函數(shù)定義5 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?；而函?shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，則對(duì)任意，通過(guò)有惟一的與對(duì)應(yīng)，再通過(guò)又有惟一的與對(duì)應(yīng)．這樣，對(duì)任意，通過(guò)，有惟一的與之對(duì)應(yīng)．因此是的函數(shù)，稱這個(gè)函數(shù)為與的復(fù)合函數(shù)，記作，稱為中間變量．兩個(gè)函數(shù)的復(fù)合也可推廣到多個(gè)函數(shù)復(fù)合的情形．例如，y=xμ=（a＞0且a≠1）可看成由指數(shù)函數(shù)y = au與u=μlogax復(fù)合而成． 例８ 設(shè)f（x）=（x≠1）,求f（f（f（x）））解 令，則y=f（f（f（x）））是通過(guò)兩個(gè)中間變量w和u復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，因?yàn)?=，x≠；==,x≠，所以 f（f（f（x）））=，x≠1, ,．（2）反函數(shù)定義6 設(shè)A，B為實(shí)數(shù)集，映射f：A→B的逆映射f 1稱為y=f（x）的反函數(shù)．即：若對(duì)每個(gè)y∈B，有惟一的x∈A，使y=f（x），則稱x也是y的函數(shù)，記作f 1，即x=f 1（y），并稱它為函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)，而y=f（x）也稱為反函數(shù)x=f 1（y）的直接函數(shù)．從幾何上看，函數(shù)y=f（x）與其反函數(shù)x=f 1（y）有同一圖像．但人們習(xí)慣上用x表示自變量，y表示因變量，因此反函數(shù)x=f 1（y）．常改寫成y=f 1（x）．今后，我們稱y=f 1（x）為y=f（x）的反函數(shù)．此時(shí)，由于對(duì)應(yīng)關(guān)系f 1未變，只是自變量與因變量交換了記號(hào)，因此反函數(shù)y=f 1（x）與直接函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱，如圖 1 9所示． 圖1 9值得注意的是，并不是所有函數(shù)都存在反函數(shù)，例如函數(shù)y=x2的定義域?yàn)椋ā蓿?∞），值域?yàn)椋?，+∞），但對(duì)每一個(gè)y∈（0，+∞），有兩個(gè)x值即x1=和x2=與之對(duì)應(yīng)，因此x不是y的函數(shù)，從而y=x2不存在反函數(shù)．事實(shí)上，由逆映射存在定理知，若f是從到的一一映射，則f才存在反函數(shù)f 1．例９ 設(shè)函數(shù)（x≠1）,求．解 函數(shù)可看成由y=f（u），u=x+1復(fù)合而成．所求的反函數(shù)可看成由y=f 1（u），u=x+1復(fù)合而成．因?yàn)椤（u）==，u≠0,即 y=，從而，u（y1）=1，u=，所以 y=f 1（u）=，因此 =，x≠0．3. 函數(shù)的幾種特性(1) 函數(shù)的有界性定義7 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，?shù)集，若存在某個(gè)常數(shù)（或），使得對(duì)任一，都有（或），則稱函數(shù)在上有上界（或有下界），常數(shù)（或）稱為在上的一個(gè)上界（或下界），否則，稱在上無(wú)上界（或無(wú)下界）．若函數(shù)在既有上界又有下界，則稱在上有界，否則，稱在上無(wú)界．易知，函數(shù)在上有界的充要條件是：存在常數(shù)M＞0，使得對(duì)任一，都有 ．例如，函數(shù)在其定義域（∞，+∞）內(nèi)是有界的，因?yàn)閷?duì)任一x∈（∞，+∞）都有，函數(shù)在（0，1）內(nèi)無(wú)上界，但有下界．從幾何上看，有界函數(shù)的圖像界于直線之間．(2) 函數(shù)的單調(diào)性定義8 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋瑪?shù)集，若對(duì)中的任意兩數(shù)x1，x2（x1＜x2），恒有 （或），則稱函數(shù)在上是單調(diào)增加（或單調(diào)減少）的．若上述不等式中的不等號(hào)為嚴(yán)格不等號(hào)時(shí)，則稱為嚴(yán)格單調(diào)增加（或嚴(yán)格單調(diào)減少）的．單調(diào)增加或單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)；嚴(yán)格單調(diào)增加或嚴(yán)格單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，如圖1－10所示． 圖1－10例如，函數(shù)在其定義域（∞，+∞）內(nèi)是嚴(yán)格單調(diào)增加的；函數(shù)在（0，π）內(nèi)是嚴(yán)格單調(diào)減少的．從幾何上看，若是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，則任意一條平行于x軸的直線與它的圖像最多交于一點(diǎn)，因此有反函數(shù)．(3) 函數(shù)的奇偶性定義9 設(shè)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（即若，則必有）．若對(duì)任意的，都有 ?。ɑ颍?，則稱f（x）是上的奇函數(shù)（或偶函數(shù)）．奇函數(shù)的圖像對(duì)稱于坐標(biāo)原點(diǎn)，偶函數(shù)的圖像對(duì)稱于y軸，如圖1－11所示． 圖1－11例10 討論函數(shù)f（x）=ln（x+）的奇偶性．解 函數(shù)f（x）的定義域（∞，+∞）是對(duì)稱區(qū)間，因?yàn)閒（x）=ln（x+）=ln（）=ln（x+）=f（x）所以，f（x）是（∞，+∞）上的奇函數(shù)．(4) 函數(shù)的周期性定義10 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，若存在一個(gè)不為零的常數(shù)T，使得對(duì)任意，有（），且，則稱為周期函數(shù)，其中使上式成立的常數(shù)T稱為的周期，通常，函數(shù)的周期是指它的最小正周期，即：使上式成立的最小正數(shù)T（如果存在的話）．例如，函數(shù)的周期為2π；的周期是π．并不是所有函數(shù)都有最小正周期，例如，狄利克雷函數(shù)，任意正有理數(shù)都是它的周期，但此函數(shù)沒(méi)有最小正周期．4. 函數(shù)應(yīng)用舉例例11 火車站收取行李費(fèi)的規(guī)定如下：當(dāng)行李不超過(guò)50千克時(shí)，按基本運(yùn)費(fèi)計(jì)算．如從上海到某地每千克以0．15
數(shù)學(xué)相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1