高等數(shù)學(xué)同濟(jì)大學(xué)版課程講解11映射與函數(shù)-wenkub
2023-04-19 05:19:10 本頁(yè)面
【正文】 ，記作A B．對(duì)任何集A，規(guī)定A．若A B，且BA，則稱集A與B相等，記作A=B．由屬于A或?qū)儆贐的所有元素組成的集稱為A與B的并集，記作A∪B，即A∪B={x｜x∈A或x∈B}．由同時(shí)屬于A與B的元素組成的集稱為A與B的交集，記作A∩B，即A∩B={x｜x∈A且x∈B}．由屬于A但不屬于B的元素組成的集稱為A與B的差集，記作A\B，即A\B={x｜x∈A但x B}．如圖11所示陰影部分．圖11在研究某個(gè)問(wèn)題時(shí)，如果所考慮的一切集都是某個(gè)集X的子集，則稱X為基本集或全集．．X中的任何集A關(guān)于X的差集X\A稱為A的補(bǔ)集（或余集），記作 ．集合的交、并、余的運(yùn)算滿足下列運(yùn)算法則:設(shè)A，B，C為三個(gè)任意集合，則下列法則成立：（1）交換律A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；（2）結(jié)合律（A∪B）∪C=A∪（B∪C），（A∩B）∩C=A∩（B∩C）；（3）分配律（A∪B）∩C=（A∩C）∪（B∩C），（A∩B）∪C=（A∪C）∩（B∪C），（A\B）∩C=（A∩C）\（B∩C）；（4）冪等律A∪A=A，A∩A=A；（5）吸收律A∪=A，A∩=．設(shè)Ai（i=1，2，…）為一列集合，則下列法則成立：（1）若AiC（i=1，2，…），則C；（2）若AiC（i=1，2，…），則C．設(shè)X為基本集，Ai（i=1，2，…）為一列集合，則= ， = ．3. 區(qū)間與鄰域（1） 區(qū)間設(shè)a和b都是實(shí)數(shù)，將滿足不等式a＜x＜b的所有實(shí)數(shù)組成的數(shù)集稱為開(kāi)區(qū)間，記作（a，b）．即（a，b）={x｜a＜x＜b}，a和b稱為開(kāi)區(qū)間（a，b）的端點(diǎn)，這里a （a，b）且b （a，b）．類似地，稱數(shù)集［a，b］={x｜a≤x≤b}為閉區(qū)間，a和b也稱為閉區(qū)間［a，b］的端點(diǎn)，這里a∈［a，b］且b∈［a，b］．稱數(shù)集［a，b）={x｜a≤x＜b}和（a，b］={x｜a＜x≤b}為半開(kāi)半閉區(qū)間．以上這些區(qū)間都稱為有限區(qū)間． 數(shù)b－a稱為區(qū)間的長(zhǎng)度． 此外還有無(wú)限區(qū)間：（∞，+∞）={x｜∞＜x＜+∞}=R，（∞，b］={x｜∞＜x≤b}，（∞，b）={x｜∞＜x＜b}，［a，+∞）={x｜a≤x＜+∞}，（a，+∞）={x｜a＜x＜+∞}，等等．這里記號(hào)“∞”與“+∞”分別表示“負(fù)無(wú)窮大”與“正無(wú)窮大”．（2） 鄰域設(shè)x0是一個(gè)給定的實(shí)數(shù)，δ是某一正數(shù)，稱數(shù)集 {x｜x0δ＜x＜x0+δ}為點(diǎn)x0的δ鄰域，記作U（x0，δ）．稱點(diǎn)x0為這鄰域的中心，δ為這鄰域的半徑．（如圖12）．圖12稱U（x0，δ）{x0}為x0的去心δ鄰域，記作(x0,δ)={x｜0＜｜xx0｜＜δ},記( x0,δ)={x｜x0δ＜x＜x0}, (x0+,δ)={x｜x0＜x＜x0+δ},它們分別稱為x0的去心左δ鄰域和去心右δ鄰域．當(dāng)不需要指出鄰域的半徑時(shí)，我們常用U（x0），(x0)分別表示x0的某鄰域和x0的某去心鄰域。二、映射1．映射的定義 定義1 設(shè)A，B是兩個(gè)非空的集合，若對(duì)A中的每個(gè)元素x，按照某種確定的法則f，在B中有惟一的一個(gè)元素y與之對(duì)應(yīng)，則稱f是從A到B的一個(gè)映射，記作f：A→B， 稱y為x在映射f下的像，x稱為y在映射f下的原像． 集合A稱為映射f的定義域，A中所有元素x的像y的全體所構(gòu)成的集合稱為f的值域，記作Rf 或f（A），即Rf = f (A)={y｜y=f(x),x∈A}．定義中x的像是惟一的，但y的原像不一定惟一，且f（A）B．映射概念中的兩個(gè)基本要素是定義域和對(duì)應(yīng)法則．定義域表示映射存在的范圍，對(duì)應(yīng)法則是映射的具體表現(xiàn)．例1 設(shè)A表示某高校大學(xué)一年級(jí)學(xué)生所構(gòu)成的集合，用一種方法給每一個(gè)學(xué)生編一個(gè)學(xué)號(hào)，B表示該校一年級(jí)學(xué)生學(xué)號(hào)的集合，f表示編號(hào)方法，于是確定了從A到B的一個(gè)映射f∶A→B．例2 設(shè)A={1，2，…，n，…}，B={2，4，…，2n，…}．令 f(x)=2x，x∈A， 則f是一個(gè)從A到B的映射．例3 設(shè)A=［0，1］，B={（x，y）｜y=x，x∈A}，如圖13所示．令f∶x｜→（x，x），x∈A，則f是一個(gè)從A到B的映射． 圖13設(shè)有映射f∶A→B，若B = f（A）={f（x）｜x∈A}，則稱f是滿射．若f將A中不同的元素映射到B中的像也不同，即若x1，x2∈A且x1≠x2，則f（x1）≠ f(x2),則稱f是單射．若f既是滿射又是單射，則稱f是從A到B的一一映射．若A與B之間存在一一映射，則稱A與B是一一對(duì)應(yīng)的．上面的例1，例2與例3的兩個(gè)集合都是一一對(duì)應(yīng)的． 2. 復(fù)合映射定義2 設(shè)有映射g∶A→B，f∶B→C，于是對(duì)x∈A有xu = g（x）y = f（u）= f［g（x）］∈C．這樣，對(duì)每個(gè)x∈A，經(jīng)過(guò)u∈B，有惟一的y∈C與之
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