【正文】 第六節(jié) 復(fù)習(xí) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、空間曲線的切線與法平面 二、曲面的切平面與法線 多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用 第九章 復(fù)習(xí) : 平面曲線的切線與法線 已知平面光滑曲線 ),( 00 yx切線方程 0yy?法線方程 0yy?若平面光滑曲線方程為 ),( ),(dd yxF yxFxyyx??故在點(diǎn) 切線方程 法線方程 )( 0yy ?),( 00 yxF y? )(),( 00 xxyxF x ? 0?))(( 00 xxxf ???)()(1 00xxxf ????在點(diǎn) 有 有 因 0)(),( 000 ??? yyyxF x),( 00 yxF y )( 0xx ?機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、 空間曲線的切線與法平面 過點(diǎn) M 與切線垂直的平面稱為曲線在該點(diǎn)的 法 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 位置 . ?TM?空間光滑曲線在點(diǎn) M 處的 切線 為此點(diǎn)處割線的極限 平面 . 點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)動(dòng)畫開始或暫停 1. 曲線方程為參數(shù)方程的情況 切線方程 000 zzyyxx ?????),( 0000 zyxMtt 對應(yīng)設(shè) ?),( 0000 zzyyxxMttt ?????????? 對應(yīng))( 0t?? )( 0t?? )( 0t??機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 TM?:的方程割線 MM ?))(( 00 xxt ???此處要求 )(,)(,)( 000 ttt ??? ???也是法平面的法向量 , 切線的方向向量 : 稱為曲線的 切向量 . )()( 00 yyt ??? ? 0))(( 00 ???? zzt?如個(gè)別為 0, 則理解為分子為 0 . 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ??M不全為 0, ))(,)(,)(( 000 tttT ??? ????因此得 法平面方程 說明 : 若引進(jìn)向量函數(shù) ))(,)(,)(()( ttttr ???? , 則 ? 為 r (t) 的矢端曲線 , 0t而在 處的導(dǎo)向量 ))(,)(,)(()( 0000 ttttr ??? ?????就是該點(diǎn)的切向量 . o)(trTzyxo例 1. 求圓柱螺旋線 對應(yīng)點(diǎn)處的切線方程和法平面方程 . 切線方程 ?? Rx法平面方程 xR?022 ??? kzkxR ?即 ????????002RykRzRxk ?即 解 : 由于 0Ry ?kkz 2??? ),0( 20 kRM ?對應(yīng)的切向量為 0)( 2 ??? kzk ?在 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ),0,( kRT ?? , 故 2. 曲線為一般式的情況 光滑曲線 ??? ??? 0),( 0),(: zyxG zyxF當(dāng) 0),( ),( ???? zy GFJ?xydd曲線上一點(diǎn) ),( 000 zyxM, 且有 ?xzdd,),( ),(1 xz GFJ ?? ,),( ),(1 yx GFJ ??時(shí) , ? 可表示為 處的切向量為 ???????????MM yxGFJxzGFJ ),(),(1,),(),(1,1機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ? ?)(,)(,1 00 xxT ?? ??? 000 zzyyxx ?????MzyGF),(),(??則在點(diǎn) ),( 000 zyxM切線方程 法平面方程 有 MzyGF),(),(??MxzGF),(),(??MyxGF),(),(??)( 0xx ?MyxGF),(),(???MxzGF),(),(???)( 0yy ?0)( 0 ?? zz或 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ?????????????MMM yxGFxzGFzyGFT),(),(,),(),(,),(),(0)()()()()()(000????MGMGMGMFMFMFzzyyxxzyxzyx也可表為 )(),( ),()(),( ),( 00 yyMxz GFxxMzy GF ???????法平面方程 0)(),( ),( 0 ????? zzMyx GF機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 2. 求曲線 0,6222 ?????? zyxzyx 在點(diǎn) M ( 1,–2, 1) 處的切線方程與法平面方程 . MzyGF),(),(??切線方程 解法 1 令 則 即 ??? ?? ??? 02 02y zx切向量 Mzy1122?Mzy )(2 ?? 。6??xy z機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )6,0,6( ??T法平面方程 0)1(6)2(0)1(6 ?????????? zyx即 0?? zx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解法 2. 方程組兩邊對 x 求導(dǎo) , 得 1111ddzyxyxz ???11ddzyxy?曲線在點(diǎn) M(1,–2, 1) 處有 : 切向量 解得 11?? zx,zy xz ??? zy yx ???)1,0,1( ?? ???????MM xzxyTdd,dd,1切線方程 即 法平面方程 0)1()1()2(0)1(1 ?????????? zyx即 0?? zx點(diǎn) M (1,–2, 1) 處的 切向量 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )1,0,1( ??T二、 曲面的切平面與法線 設(shè) 有 光滑曲面 通過其上定點(diǎn) 0tt ?設(shè) 對應(yīng)點(diǎn) M, 切線方程為 )()()(000000tzztyytxx??? ????????不全為 0 . 則 ? 在 且 點(diǎn) M 的 切向量 為 任意 引一條光滑曲線 M?T下面證明 : 此平面稱為 ? 在該點(diǎn)的 切平面 . 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ? 上過點(diǎn) M 的任何曲線在該點(diǎn)的切線都 在同一平面上 . ))(,)(,)(( 000 tttT ??? ????M?T證 : 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 在 ? 上 , 0))(,)(,)(( ?? tttF ???,0 處求導(dǎo)兩邊在 tt ? ,0 Mtt 對應(yīng)點(diǎn)注意 ?)( 0t?? 0?),( 000 zyxF x ),( 000 zyxF y?),( 000 zyxF z?)( 0t?? )( 0t??得 ))(,)(,)(( 000 tttT ??? ????)),(,),(,),(( 000000000 zyxFzyxFzyxFn zyx?令 nT ?切向量由于曲線 ? 的任意性 , 表明這些切線都在以 為法向量 的平面上 , 從而切平面存在 . )(),( 0000 xxzyxF x ?曲面 ? 在點(diǎn) M 的 法向量 法線方程 000 zzyyxx ?????)(),( 0000 yyzyF y ??0))(,( 0000 ??? zzzyxF z切平面方程 ),( 000 zyxF x ),( 000 zyxF y ),( 000 zyxF zM?T)),(,),(,),(( 000000000 zyxFzyxFzyxFn zyx?復(fù)習(xí) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )(),( 000 xxyxf x ?曲面 時(shí) , zyxfzyxF ?? ),(),(則在點(diǎn) ),( zyx故當(dāng)函數(shù) ),( 00 yx法線方程 令 有在點(diǎn) ),( 000 zyx?特別 , 當(dāng)光滑曲面 ? 的方程為顯式 在點(diǎn) 有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)時(shí) , )(),( 000 yyyxf y ???? 0zz切平面方程 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 法向量 用 將 ),(,),( 0000 yxfyxf yx , yx ff法向量的 方向余弦： 表示法向量的方向角 , 并假定法向量方向 分別記為 則 向上 , )1,),(,),(( 0000 yxfyxfn yx ???復(fù)習(xí) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 3. 求球面 3632 222 ??? zyx 在點(diǎn) (1 , 2 , 3) 處的切 平面及法線方程 . 解 : 所以球面在點(diǎn) (1 , 2 , 3) 處有 : 切平面方程 )1(2 ?x即 法線方程 321 ????? zyx)2(8 ?? y 0)3(18 ??? z1 4 9法向量 令 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )6,4,2( zyxn ?)18,8,2()3,2,1( ?n例 4. 確定正數(shù) ? 使曲面 ??zyx在點(diǎn) ),( 000 zyxM解 : 二曲面在 M 點(diǎn)的法向量分別為 二曲面在點(diǎn) M 相切 , 故 000000000zyxyzxxzy ??0x又點(diǎn) M 在球面上 , 于是有 000 zyx??相切 . 333a?與球面 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ),( 0002 zyxn ?21 // nn , 因此有 20y20z21. 空間曲線的切線與法平面 切線方程 000 zzyyxx ?????法平面方程 ))(( 00 xxt ???1) 參數(shù)式情況 . ?????????)()()(:tztytx???空間光