【正文】 同濟(jì)第六版高等數(shù)學(xué)上下冊課后答案全集第一章習(xí)題11 1. 設(shè)A=(165。, 5)200。(5, +165。), B=[10, 3), 寫出A200。B, A199。B, A\B及A\(A\B)的表達(dá)式. 解 A200。B=(165。, 3)200。(5, +165。), A199。B=[10, 5), A\B=(165。, 10)200。(5, +165。), A\(A\B)=[10, 5). 2. 設(shè)A、B是任意兩個集合, 證明對偶律: (A199。B)C=AC 200。BC . 證明 因?yàn)? x206。(A199。B)C219。x207。A199。B219。 x207。A或x207。B219。 x206。AC或x206。BC 219。 x206。AC 200。BC, 所以 (A199。B)C=AC 200。BC . 3. 設(shè)映射f : X 174。Y, A204。X, B204。X . 證明 (1)f(A200。B)=f(A)200。f(B)。 (2)f(A199。B)204。f(A)199。f(B). 證明 因?yàn)? y206。f(A200。B)219。$x206。A200。B, 使f(x)=y 219。(因?yàn)閤206。A或x206。B) y206。f(A)或y206。f(B) 219。 y206。f(A)200。f(B), 所以 f(A200。B)=f(A)200。f(B). (2)因?yàn)? y206。f(A199。B)222。$x206。A199。B, 使f(x)=y219。(因?yàn)閤206。A且x206。B) y206。f(A)且y206。f(B)222。 y206。 f(A)199。f(B),所以 f(A199。B)204。f(A)199。f(B). 4. 設(shè)映射f : X174。Y, 若存在一個映射g: Y174。X, 使, , 其中IX、IY分別是X、Y上的恒等映射, 即對于每一個x206。X, 有IX x=x。 對于每一個y206。Y, 有IY y=y. 證明: f是雙射, 且g是f的逆映射: g=f 1. 證明 因?yàn)閷τ谌我獾膟206。Y, 有x=g(y)206。X, 且f(x)=f[g(y)]=Iy y=y, 即Y中任意元素都是X中某元素的像, 所以f為X到Y(jié)的滿射. 又因?yàn)閷τ谌我獾膞1185。x2, 必有f(x1)185。f(x2), 否則若f(x1)=f(x2)222。g[ f(x1)]=g[f(x2)] 222。 x1=x2. 因此f既是單射, 又是滿射, 即f是雙射. 對于映射g: Y174。X, 因?yàn)閷γ總€y206。Y, 有g(shù)(y)=x206。X, 且滿足f(x)=f[g(y)]=Iy y=y, 按逆映射的定義, g是f的逆映射. 5. 設(shè)映射f : X174。Y, A204。X . 證明: (1)f 1(f(A))201。A。 (2)當(dāng)f是單射時, 有f 1(f(A))=A . 證明 (1)因?yàn)閤206。A 222。 f(x)=y206。f(A) 222。 f 1(y)=x206。f 1(f(A)), 所以 f 1(f(A))201。A. (2)由(1)知f 1(f(A))201。A. 另一方面, 對于任意的x206。f 1(f(A))222。存在y206。f(A), 使f 1(y)=x222。f(x)=y . 因?yàn)閥206。f(A)且f是單射, 所以x206。A. 這就證明了f 1(f(A))204。A. 因此f 1(f(A))=A . 6. 求下列函數(shù)的自然定義域: (1)。 解 由3x+2179。0得. 函數(shù)的定義域?yàn)? (2)。 解 由1x2185。0得x185。177。1. 函數(shù)的定義域?yàn)?165。, 1)200。(1, 1)200。(1, +165。). (3)。 解 由x185。0且1x2179。0得函數(shù)的定義域D=[1, 0)200。(0, 1]. (4)。 解 由4x20得 |x|2. 函數(shù)的定義域?yàn)?2, 2). (5)。 解 由x179。0得函數(shù)的定義D=[0, +165。). (6) y=tan(x+1)。 解 由(k=0, 177。1, 177。2, )得函數(shù)的定義域?yàn)?k=0, 177。1, 177。2, ). (7) y=arcsin(x3)。 解 由|x3|163。1得函數(shù)的定義域D=[2, 4]. (8)。 解 由3x179。0且x185。0得函數(shù)的定義域D=(165。, 0)200。(0, 3). (9) y=ln(x+1)。 解 由x+10得函數(shù)的定義域D=(1, +165。). (10). 解 由x185。0得函數(shù)的定義域D=(165。, 0)200。(0, +165。). 7. 下列各題中, 函數(shù)f(x)和g(x)是否相同？為什么？ (1)f(x)=lg x2, g(x)=2lg x。 (2) f(x)=x, g(x)=。 (3),. (4)f(x)=1, g(x)=sec2xtan2x . 解 (1)不同. 因?yàn)槎x域不同. (2)不同. 因?yàn)閷?yīng)法則不同, x0時, g(x)=x. (3)相同. 因?yàn)槎x域、對應(yīng)法則均相相同. (4)不同. 因?yàn)槎x域不同. 8. 設(shè), 求, , , j(2), 并作出函數(shù)y=j(x)的圖形. 解 , , , . 9. 試證下列函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性: (1), (165。, 1)。 (2)y=x+ln x, (0, +165。). 證明 (1)對于任意的x1, x2206。(165。, 1), 有1x10, 1x20. 因?yàn)楫?dāng)x1x2時, , 所以函數(shù)在區(qū)間(165。, 1)內(nèi)是單調(diào)增加的. (2)對于任意的x1, x2206。(0, +165。), 當(dāng)x1x2時, 有 , 所以函數(shù)y=x+ln x在區(qū)間(0, +165。)內(nèi)是單調(diào)增加的. 10. 設(shè) f(x)為定義在(l, l)內(nèi)的奇函數(shù), 若f(x)在(0, l)內(nèi)單調(diào)增加, 證明f(x)在(l, 0)內(nèi)也單調(diào)增加. 證明 對于x1, x2206。(l, 0)且x1x2, 有x1, x2206。(0, l)且x1x2. 因?yàn)閒(x)在(0, l)內(nèi)單調(diào)增加且為奇函數(shù), 所以f(x2)f(x1), f(x2)f(x1), f(x2)f(x1), 這就證明了對于x1, x2206。(l, 0), 有f(x1) f(x2), 所以f(x)在(l, 0)內(nèi)也單調(diào)增加. 11. 設(shè)下面所考慮的函數(shù)都是定義在對稱區(qū)間(l, l)上的, 證明: (1)兩個偶函數(shù)的和是偶函數(shù), 兩個奇函數(shù)的和是奇函數(shù)。 (2)兩個偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù), 兩個奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù), 偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù). 證明 (1)設(shè)F(x)=f(x)+g(x). 如果f(x)和g(x)都是偶函數(shù), 則 F(x)=f(x)+g(x)=f(x)+g(x)=F(x), 所以F(x)為偶函數(shù), 即兩個偶函數(shù)的和是偶函數(shù). 如果f(x)和g(x)都是奇函數(shù), 則 F(x)=f(x)+g(x)=f(x)g(x)=F(x), 所以F(x)為奇函數(shù), 即兩個奇函數(shù)的和是奇函數(shù). (2)設(shè)F(x)=f(x)g(x). 如果f(x)和g(x)都是偶函數(shù), 則 F(x)=f(x)g(x)=f(x)g(x)=F(x), 所以F(x)為偶函數(shù), 即兩個偶函數(shù)的積是偶函數(shù). 如果f(x)和g(x)都是奇函數(shù), 則 F(x)=f(x)g(x)=[f(x)][g(x)]=f(x)g(x)=F(x), 所以F(x)為偶函數(shù), 即兩個奇函數(shù)的積是偶函數(shù). 如果f(x)是偶函數(shù), 而g(x)是奇函數(shù), 則 F(x)=f(x)g(x)=f(x)[g(x)]=f(x)g(x)=F(x), 所以F(x)為奇函數(shù), 即偶函數(shù)與奇函數(shù)的積是奇函數(shù). 12. 下列函數(shù)中哪些是偶函數(shù), 哪些是奇函數(shù), 哪些既非奇函數(shù)又非偶函數(shù)？ (1)y=x2(1x2)。 (2)y=3x2x3。 (3)。 (4)y=x(x1)(x+1)。 (5)y=sin xcos x+1。 (6). 解 (1)因?yàn)閒(x)=(x)2[1(x)2]=x2(1x2)=f(x), 所以f(x)是偶函數(shù). (2)由f(x)=3(x)2(x)3=3x2+x3可見f(x)既非奇函數(shù)又非偶函數(shù). (3)因?yàn)? 所以f(x)是偶函數(shù). (4)因?yàn)閒(x)=(x)(x1)(x+1)=x(x+1)(x1)=f(x), 所以f(x)是奇函數(shù). (5)由f(x)=sin(x)cos(x)+1=sin xcos x+1可見f(x)既非奇函數(shù)又非偶函數(shù). (6)因?yàn)? 所以f(x)是偶函數(shù). 13. 下列各函數(shù)中哪些是周期函數(shù)？對于周期函數(shù), 指出其周期: (1)y=cos(x2)。 解 是周期函數(shù), 周期為l=2p. (2)y=cos 4x。 解 是周期函數(shù), 周期為. (3)y=1+sin px。 解 是周期函數(shù), 周期為l=2. (4)y=xcos x。 解 不是周期函數(shù). (5)y=sin2x. 解 是周期函數(shù), 周期為l=p. 14. 求下列函數(shù)的反函數(shù): (1)。 解 由得x=y31, 所以的反函數(shù)為y=x31. (2)。 解 由得, 所以的反函數(shù)為. (3)(adbc185。0)。 解 由得, 所以的反函數(shù)為. (4) y=2sin3x。 解 由y=2sin 3x得, 所以y=2sin3x的反函數(shù)為. (5) y=1+ln(x+2)。 解 由y=1+ln(x+2)得x=ey12, 所以y=1+ln(x+2)的反函數(shù)為y=ex12. (6). 解 由得, 所以的反函數(shù)為. 15. 設(shè)函數(shù)f(x)在數(shù)集X上有定義, 試證: 函數(shù)f(x)在X上有界的充分必要條件是它在X上既有上界又有下界. 證明 先證必要性. 設(shè)函數(shù)f(x)在X上有界, 則存在正數(shù)M, 使|f(x)|163。M, 即M163。f(x)163。M. 這就證明了f(x)在X上有下界M和上界M. 再證充分性. 設(shè)函數(shù)f(x)在X上有下界K1和上界K2, 即K1163。f(x)163。 K2 . 取M=max{|K1|, |K2|}, 則 M163。 K1163。f(x)163。 K2163。M , 即 |f(x)|163。M. 這就證明了f(x)在X上有界. 16. 在下列各題中, 求由所給函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù), 并求這函數(shù)分別對應(yīng)于給定自變量值x1和x2的函數(shù)值: (1) y=u2, u=sin x, , 。 解 y=sin2x, ,. (2) y=sin u, u=2x, ,。 解 y=sin2x, ,. (3), u=1+x2, x1=1, x2= 2。 解 , , . (4) y=eu, u=x2, x1 =0, x2=1。 解 , , . (5) y=u2 , u=ex , x1=1, x2=1. 解 y=e2x, y1=e21=e2, y2=e2(1)=e2. 17. 設(shè)f(x)的定義域D=[0, 1], 求下列各函數(shù)的定義域: (1) f(x2)。 解 由0163。x2163。1得|x|163。1, 所以函數(shù)f(x2)的定義域?yàn)閇1, 1]. (2) f(sinx)。 解 由0163。sin x163。1得2np163。x163。(2n+1)p (n=0, 177。1, 177。2 ), 所以函數(shù)f(sin x)的定義域?yàn)閇2np, (2n+1)p] (n=0, 177。1, 177。2 ) . (3) f(x+a)(a0)。 解 由0163。x+a163。1得a163。x163。1a, 所以函數(shù)f(x+a)的定義域?yàn)閇a, 1a]. (4) f(x+a)+f(xa)(a0). 解 由0163。x+a163。1且0163。xa163。1得: 當(dāng)時, a163。x163。1a。 當(dāng)時, 無解. 因此當(dāng)時函數(shù)的定義域?yàn)閇a, 1a], 當(dāng)時函數(shù)無意義. 18. 設(shè), g(x)=ex , 求f[g(x)]和g[f(x)], 并作出這兩個函數(shù)的圖形. 解 , 即. , 即. 19. 已知水渠的橫斷面為等腰梯形, 斜角j=40176。(圖137). 當(dāng)過水?dāng)嗝鍭BCD的面積為定值S0時, 求濕周L(L=AB+BC+CD)與水深h之間的函數(shù)關(guān)系式, 并指明其定義域. 圖137 解 , 又從得, 所以. 自變量h的取值范圍應(yīng)由不等式組