【正文】 高等數(shù)學(xué)教案 167。7空間解析幾乎與向量代數(shù) 第七章 空間解析幾何與向量代數(shù) 教學(xué)目的： 理解空間直角坐標系，理解向量的概念及其表示。 掌握向量的運算（線性運算、數(shù)量積、向量積、混合積），掌握兩個向量垂直和平行的條件。 理解單位向量、方向數(shù)與方向余弦、向量的坐標表達式，熟練掌握用坐標表達式進行向量運算的方法。 掌握平面方程和直線方程及其求法。 會求平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角，并會利用平面、直線的相互關(guān)系（平行、垂直、相交等）解決有關(guān)問題。 會求點到直線以及點到平面的距離。 理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其圖形，會求以坐標軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行于坐標軸的柱面方程。 了解空間曲線的參數(shù)方程和一般方程。 了解空間曲線在坐標平面上的投影，并會求其方程。教學(xué)重點： 向量的線性運算、數(shù)量積、向量積的概念、向量運算及坐標運算； 兩個向量垂直和平行的條件； 平面方程和直線方程； 平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的相互位置關(guān)系的判定條件； 點到直線以及點到平面的距離； 常用二次曲面的方程及其圖形； 旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行于坐標軸的柱面方程； 空間曲線的參數(shù)方程和一般方程。教學(xué)難點： 向量積的向量運算及坐標運算； 平面方程和直線方程及其求法； 點到直線的距離； 二次曲面圖形； 旋轉(zhuǎn)曲面的方程；167。7. 1 向量及其線性運算 一、向量概念 向量: 在研究力學(xué)、物理學(xué)以及其他應(yīng)用科學(xué)時, 常會遇到這樣一類量, 它們既有大小, 又有方向. 例如力、力矩、位移、速度、加速度等, 這一類量叫做向量. 在數(shù)學(xué)上, 用一條有方向的線段(稱為有向線段)來表示向量. 有向線段的長度表示向量的大小, 有向線段的方向表示向量的方向. 向量的符號: 以A為起點、B為終點的有向線段所表示的向量記作. 向量可用粗體字母表示, 也可用上加箭頭書寫體字母表示, 例如, a、r、v、F或、. 自由向量: 由于一切向量的共性是它們都有大小和方向, 所以在數(shù)學(xué)上我們只研究與起點無關(guān)的向量, 并稱這種向量為自由向量, 簡稱向量. 因此, 如果向量a和b的大小相等, 且方向相同, 則說向量a和b是相等的, 記為a = b. 相等的向量經(jīng)過平移后可以完全重合. 向量的模: 向量的大小叫做向量的模. 向量a、的模分別記為|a|、. 單位向量: 模等于1的向量叫做單位向量. 零向量: 模等于0的向量叫做零向量, 記作0或. 零向量的起點與終點重合, 它的方向可以看作是任意的. 向量的平行: 兩個非零向量如果它們的方向相同或相反, 就稱這兩個向量平行. 向量a與b平行, 記作a // b. 零向量認為是與任何向量都平行. 當兩個平行向量的起點放在同一點時, 它們的終點和公共的起點在一條直線上. 因此, 兩向量平行又稱兩向量共線. 類似還有共面的概念. 設(shè)有k(k179。3)個向量, 當把它們的起點放在同一點時, 如果k個終點和公共起點在一個平面上, 就稱這k個向量共面. 二、向量的線性運算 1．向量的加法 向量的加法: 設(shè)有兩個向量a與b, 平移向量使b的起點與a的終點重合, 此時從a的起點到b的終點的向量c稱為向量a與b的和, 記作a+b, 即c=a+b . 三角形法則: 上述作出兩向量之和的方法叫做向量加法的三角形法則. 平行四邊形法則: 當向量a與b不平行時, 平移向量使a與b的起點重合, 以a、b為鄰邊作一平行四邊形, 從公共起點到對角的向量等于向量a與b的和a+b. A B C A B C D 向量的加法的運算規(guī)律: (1)交換律a+b=b+a。 (2)結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c). 由于向量的加法符合交換律與結(jié)合律, 故n個向量a1, a2, , an(n 179。3)相加可寫成 a1+a2+ +an, 并按向量相加的三角形法則, 可得n個向量相加的法則如下: 使前一向量的終點作為次一向量的起點, 相繼作向量a1, a2, , an, 再以第一向量的起點為起點, 最后一向量的終點為終點作一向量, 這個向量即為所求的和. 負向量: 設(shè)a為一向量, 與a的模相同而方向相反的向量叫做a的負向量, 記為a. 向量的減法: 我們規(guī)定兩個向量b與a的差為ba=b+(a). 即把向量a加到向量b上, 便得b與a的差ba. 特別地, 當b=a時, 有 aa=a+(a)=0. 顯然, 任給向量及點O, 有 , 因此, 若把向量a與b移到同一起點O, 則從a的終點A向b的終點B所引向量便是向量b與a的差ba . 三角不等式: 由三角形兩邊之和大于第三邊的原理, 有|a+b|163。|a|+|b|及|ab|163。|a|+|b|, 其中等號在b與a同向或反向時成立. 2．向量與數(shù)的乘法 向量與數(shù)的乘法的定義: 向量a與實數(shù)l的乘積記作la, 規(guī)定la是一個向量, 它的模|la|=|l||a|, 它的方向當l0時與a相同, 當l0時與a相反. 當l=0時, |la|=0, 即la為零向量, 這時它的方向可以是任意的. 特別地, 當l=177。1時, 有1a=a, (1)a=a. 運算規(guī)律: (1)結(jié)合律 l(ma)=m(la)=(lm)a； (2)分配律 (l+m)a=la+ma； l(a+b)=la+lb. 例1. 在平行四邊形ABCD中, 設(shè)=a, =b. 試用a和b表示向量、, 其中M是平行四邊形對角線的交點. 解 由于平行四邊形的對角線互相平分, 所以A B C D M a+b, 即 (a+b), 于是 (a+b). 因為, 所以(a+b). 又因a+b, 所以(ba). 由于, 所以(ab). 例1 在平行四邊形ABCD中, 設(shè), . 試用a和b表示向量、, 其中M是平行四邊形對角線的交點. A B C D M 解 由于平行四邊形的對角線互相平分, 所以 , 于是。 . 因為, 所以。 向量的單位化: 設(shè)a185。0, 則向量是與a同方向的單位向量, 記為ea. 于是a=|a|ea. 向量的單位化: 設(shè)a185。0, 則向量是與a同方向的單位向量, 記為ea. 于是a = | a | ea. 定理1 設(shè)向量a 185。 0, 那么, 向量b平行于a的充分必要條件是: 存在唯一的實數(shù)l, 使 b = la. 證明: 條件的充分性是顯然的, 下面證明條件的必要性. 設(shè)b // a. 取, 當b與a同向時l取正值, 當b與a反向時l取負值, 即b=la. 這是因為此時b與la同向, 且 |la|=|l||a|. 再證明數(shù)l的唯一性. 設(shè)b=la, 又設(shè)b=ma, 兩式相減, 便得 (lm)a=0, 即|lm||a|=0. 因|a|185。0, 故|lm|=0, 即l=m. 給定一個點及一個單位向量就確定了一條數(shù)軸. 設(shè)點O及單位向量i確定了數(shù)軸Ox, 對于軸上任一點P, 對應(yīng)一個向量, 由//i, 根據(jù)定理1, 必有唯一的實數(shù)x, 使=xi(實數(shù)x叫做軸上有向線段的值), 并知與實數(shù)x一一對應(yīng). 于是 點P171。向量= xi171。實數(shù)x , 從而軸上的點P與實數(shù)x有一一對應(yīng)的關(guān)系. 據(jù)此, 定義實數(shù)x為軸上點P的坐標. 由此可知, 軸上點P的坐標為x的充分必要條件是 = xi . 三、空間直角坐標系 在空間取定一點O和三個兩兩垂直的單位向量i、j、k, 就確定了三條都以O(shè)為原點的兩兩垂直的數(shù)軸, 依次記為x軸(橫軸)、y軸(縱軸)、z軸(豎軸), 統(tǒng)稱為坐標軸. 它們構(gòu)成一個空間直角坐標系, 稱為Oxyz坐標系. 注: (1)通常三個數(shù)軸應(yīng)具有相同的長度單位。 (2)通常把x 軸和y軸配置在水平面上, 而z軸則是鉛垂線。 (3)數(shù)軸的的正向通常符合右手規(guī)則. 坐標面: 在空間直角坐標系中, 任意兩個坐標軸可以確定一個平面, 這種平面稱為坐標面. x軸及y軸所確定的坐標面叫做xOy面, 另兩個坐標面是yOz面和zOx面. 卦限: 三個坐標面把空間分成八個部分, 每一部分叫做卦限, 含有三個正半軸的卦限叫做第一卦限, 它位于xOy面的上方. 在xOy面的上方, 按逆時針方向排列著第二卦限、第三卦限和第四卦限. 在xOy面的下方, 與第一卦限對應(yīng)的是第五卦限, 按逆時針方向還排列著第六卦限、第七卦限和第八卦限. 八個卦限分別用字母I、II、III、IV、V、VI、VII、VIII表示. 向量的坐標分解式: 任給向量r, 對應(yīng)有點M, 使. 以O(shè)M為對角線、三條坐標軸為棱作長方體, 有 , 設(shè) , , , 則 . 上式稱為向量r的坐標分解式, xi、yj、zk稱為向量r沿三個坐標軸方向的分向量. 顯然, 給定向量r, 就確定了點M及, , 三個分向量, 進而確定了x、y、z三個有序數(shù)。 反之, 給定三個有序數(shù)x、y、z也就確定了向量r與點M. 于是點M、向量r與三個有序x、y、z之間有一一對應(yīng)的關(guān)系 . 據(jù)此, 定義: 有序數(shù)x、y、z稱為向量r(在坐標系Oxyz)中的坐標, 記作r=(x, y, z)。 有序數(shù)x、y、z也稱為點M(在坐標系Oxyz)的坐標, 記為M(x, y, z). 向量稱為點M關(guān)于原點O的向徑. 上述定義表明, 一個點與該點的向徑有相同的坐標. 記號(x, y, z)既表示點M, 又表示向量. 坐標面上和坐標軸上的點, 其坐標各有一定的特征. 例如: 點M在yOz面上, 則x=0。 同相, 在zOx面上的點, y=0。 在xOy面上的點, z=0. 如果點M在x軸上, 則y=z=0。 同樣在y軸上,有z=x=0。 在z軸上 的點, 有x=y=0. 如果點M為原點, 則x=y=z=0. 四、利用坐標作向量的線性運算 設(shè)a=(ax, ay, az), b=(bx, by, bz)即 a=axi+ayj+azk, b=bxi+byj+bzk , 則 a+b=(axi+ayj+azk)+(bxi+byj+bzk) =(ax+bx)i+(ay+by)j+(az+bz)k =(ax+bx, ay+by, az+bz). ab=(axi+ayj+azk)(bxi+byj+bzk) =(axbx)i+(ayby)j+(azbz)k =(axbx, ayby, azbz). la=l(axi+ayj+azk) =(lax)i+(lay)j+(laz)k =(lax, lay, laz). 利用向量的坐標判斷兩個向量的平行: 設(shè)a=(ax, ay, az)185。0, b=(bx, by, bz), 向量b//a219。b=la ,