【正文】 1 現(xiàn)代通信原理 第 3章 隨機(jī)過程 2 第 3章 隨機(jī)過程 ? 基本要求： ? 隨機(jī)過程的基本概念 ? 平穩(wěn)隨機(jī)過程的定義、各態(tài)歷經(jīng)性、相關(guān)函數(shù)與功率譜密度 ? 高斯過程的定義、性質(zhì)、一維概率密度函數(shù)和分布函數(shù) ? 窄帶隨機(jī)過程的表達(dá)式和統(tǒng)計(jì)特性 ? 正弦波加窄帶高斯過程的統(tǒng)計(jì)特性 ? 白噪聲和帶限白噪聲 ? 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng) 3 第 3章 隨機(jī)過程 ? 隨機(jī)過程的基本概念 ? 什么是隨機(jī)過程？ ? 隨機(jī)過程是一類隨時(shí)間作隨機(jī)變化的過程，它不能用確切的時(shí)間函數(shù)描述。 從兩種不同角度看： ? 角度 1：對(duì)應(yīng)不同隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的時(shí)間過程的集合。 4 第 3章 隨機(jī)過程 【例】 n臺(tái)示波器同時(shí)觀測(cè)并記錄這 n臺(tái)接收機(jī)的輸出噪聲波形 ? 樣本函數(shù) ?i (t)：隨機(jī)過程的一次 實(shí)現(xiàn) ，是確定的時(shí)間函數(shù)。 ? 隨機(jī)過程： ? (t) ={?1 (t), ?2 (t), …, ?n (t)} 是全部樣本函數(shù)的集合。 ()t?t012()()()nttt???5 第 3章 隨機(jī)過程 ? 角度 2：隨機(jī)過程是隨機(jī)變量概念的延伸。 ? 在任一給定時(shí)刻 t1上，每一個(gè)樣本函數(shù) ?i (t)都是一個(gè)確定的數(shù)值 ?i (t1)， 但是每個(gè) ?i (t1)都是不可預(yù)知的。 ? 在一個(gè)固定時(shí)刻 t1上，不同樣本的取值 {?i (t1), i = 1, 2, …, n }是一個(gè)隨機(jī)變量，記為 ? (t1)。 ? 隨機(jī)過程在任意時(shí)刻的值是一個(gè)隨機(jī)變量 。 ? 又可以把 隨機(jī)過程 看作 是 在時(shí)間進(jìn)程中處于不同時(shí)刻的 隨機(jī)變量的集合 。 ? 這個(gè)角度更適合對(duì)隨機(jī)過程理論進(jìn)行精確的數(shù)學(xué)描述。 6 隨機(jī)過程及其統(tǒng)計(jì)特性 隨機(jī)過程 通信過程： 信號(hào) +噪聲 ，通過通信系統(tǒng)的過程 。 分析通信系統(tǒng) 信號(hào)和噪聲的分析 ⊙ 隨機(jī)信號(hào) ： 信號(hào)中的某個(gè)或幾個(gè)參數(shù)不能預(yù)知或不能完全 預(yù)知的 具有隨機(jī)性的信號(hào) 。 ⊙ 隨機(jī)噪聲 ： 凡不能預(yù)測(cè)的噪聲 。 例如自然界中的各種電磁波噪聲 和設(shè)備本身產(chǎn)生的熱噪聲、散粒噪聲等 ⊙ 隨機(jī)過程 ： 隨機(jī)信號(hào)和噪聲統(tǒng)稱為隨機(jī)過程 。 隨機(jī) 不能用確定的時(shí)間函數(shù)描述。 隨機(jī)過程的定義 當(dāng)事物變化的過程不能用一個(gè)或幾個(gè)時(shí)間的確定函數(shù)來描述時(shí) ,則稱這個(gè)過程為隨機(jī)過程。 更嚴(yán)格地說，無窮多個(gè)樣本函數(shù)（實(shí)現(xiàn)或記錄）的集合構(gòu)成一個(gè)隨機(jī)過程，記為 ? (t)。 7 描述隨機(jī)過程的方法 ： 統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)中的有關(guān)隨機(jī)過程的理論 。 隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性是通過它的概率分布或數(shù)字特征加以描述 。 隨機(jī)過程的兩點(diǎn)含義 ： ⒈ 時(shí)間函數(shù)：隨機(jī)變量是時(shí)間的函數(shù)。 ⒉ 每個(gè)時(shí)刻上：函數(shù)值是隨機(jī)的（每個(gè)時(shí)刻上函數(shù)值按照一定概率分布）給定任意一個(gè)時(shí)刻 t1 , ? (t1) 是一個(gè)不含 t變化地隨機(jī)變量。 隨機(jī)過程 —— 時(shí)間連續(xù) 隨機(jī)序列 —— 時(shí)間離散 研究隨機(jī)過程首先是研究隨機(jī)過程在不同時(shí)刻的隨機(jī)特性，然后研究某一實(shí)現(xiàn)的特性。 隨機(jī)過程（隨機(jī)函數(shù)總集） 隨機(jī)函數(shù) 樣本函數(shù) 時(shí)域 相關(guān)函數(shù) 頻域 廣義譜分析 8 第 3章 隨機(jī)過程 ? ? 設(shè) ? (t)表示一個(gè)隨機(jī)過程，則它在任意時(shí)刻 t1的值 ? (t1)是一個(gè)隨機(jī)變量，其統(tǒng)計(jì)特性可以用 分布函數(shù) 或 概率密度函數(shù) 來描述。 ? 隨機(jī)過程 ? (t)的 一維分布函數(shù) ： ? 隨機(jī)過程 ? (t)的 一維概率密度函數(shù) ： 若上式中的偏導(dǎo)存在的話。 ]x)t([P)t,x(F 11111 ?? ?1111111 x)t,x(F)t,x(f???分布函數(shù)是一個(gè)普遍的函數(shù) 完整地描述了隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。 用數(shù)學(xué)分析的方法來研究隨機(jī)變量。 如果將 x看成是數(shù)軸上的隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)， 那么，分布函數(shù) F(x)在 x處的函數(shù)值 就表示 X落在區(qū)間 (∞,x] 上的概率。 意義： 僅描述孤立時(shí)刻 t1的統(tǒng)計(jì)特性；沒有反映各時(shí)刻取值間的聯(lián)系 隨機(jī)過程的一維分布函數(shù)和一維概率密度僅僅描述了隨機(jī)過程在各個(gè)孤立時(shí)刻的統(tǒng)計(jì)特性，而沒有反映隨機(jī)過程在各個(gè)時(shí)刻取值之間的內(nèi)在聯(lián)系，通常還需要在足夠多的時(shí)刻上考慮隨機(jī)過程的 多維分布函數(shù) 。 9 第 3章 隨機(jī)過程 ? 隨機(jī)過程 ? (t) 的 n維分布函數(shù) ： ? 隨機(jī)過程 ? (t) 的 n維概率密度函數(shù) ： ? ?nnnnn x)t(,x)t(,x)t(P)t,t,t。x,x,x(F???? ??? ???22112121n21n21n21nnn21n21n xtxtx??????????xx)ttxx(F)ttxx(f ，，；，，，；，，通常需要在足夠多的時(shí)刻上考慮隨機(jī)過程的多維分布： n越大，用 n維分布函數(shù)或 n維概率密度函數(shù)描述的統(tǒng)計(jì)特性越充分。 10 對(duì)于任意 N個(gè)隨機(jī)變量 若 第 3章 隨機(jī)過程 ? 隨機(jī)過程 ? (t) 的 二維分布函數(shù) ： ? 隨機(jī)過程 ? (t)的 二維概率密度函數(shù) ： 若上式中的偏導(dǎo)存在 )t,x(P)t,x(P)t,x(P)t,t,t。x,x,x(PNNNN???22112121?? ?221121212 x)t(,x)t(P),t,t。x,x(F ??? ??2121212221212 xx)t,t。x,x(F)t,t。x,x(f?????)t(),t(),t( N??? ?21作為 n = 2, 二維分布函數(shù) , 二維概率密度函數(shù) 則稱上述變量是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的 。 反之，不獨(dú)立或相關(guān) 。 11 隨機(jī)過程的數(shù)字特征 ① 完整刻畫隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性： 分布函數(shù)，概率密度 特點(diǎn)：獲得不方便，處理不方便 ② 用隨機(jī)過程的數(shù)字特征來描述隨機(jī)過程： 兩種求取隨機(jī)過程的數(shù)字特征方法： 統(tǒng)計(jì)平均 —— 隨機(jī)過程 某一特定時(shí)刻不同 實(shí)現(xiàn)的取值，用統(tǒng)計(jì)方法得出種 種平均值。 時(shí)間平均 —— 隨機(jī)過程 得某一特定實(shí)現(xiàn)。 用數(shù)學(xué)分析方法對(duì)時(shí)間求平均得 出的種種平均值。 )t(?)t(?第 3章 隨機(jī)過程 ][E ?][A ?12 第 3章 隨機(jī)過程 ? 隨機(jī)過程的數(shù)字特征 ? 均值（數(shù)學(xué)期望） ： 在任意給定時(shí)刻 t1的取值 ? (t1)是一個(gè)隨機(jī)變量，其均值 式中 f (x1, t1) － ? (t1)的概率密度函數(shù) 由于 t1是任取的，可 t1 直接寫為 t， x1改為 x， 上式變?yōu)? ? ? ? ???? dx)t,x(xf)t(E 1?? ? ? ???? 111111 dx)t,x(fx)t(E ?13 第 3章 隨機(jī)過程 ? (t)的均值是時(shí)間的確定函數(shù)，常記作 a ( t )，它表示隨機(jī)過程的 n個(gè)樣本函數(shù)曲線的擺動(dòng)中心 : ? ? ? ???? dx)t,x(xf)t(E 1?()t?t012()()()nttt???a (t ) 14 第 3章 隨機(jī)過程 ? 方差 方差常記為 ? 2( t )。也可把任意時(shí)刻 t1直接寫成了 t 。 因?yàn)? 方差等于均方值與均值平方之差，它表示隨機(jī)過程在時(shí)刻 t 對(duì)于均值 a ( t )的偏離程度。 ?? 2)]t(a)t([E)]t([D ?? ??? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?)()]([)(2)]([2222222tatξEtatξEtatξEtatξtatξEtξD????????212 )]t(a[dx)t,x(fx ?? ? ???均方值 均值平方 15 第 3章 隨機(jī)過程 ? 相關(guān)函數(shù) 式中， ? (t1)和 ? (t2)分別是在 t1和 t2時(shí)刻觀測(cè)得到的隨機(jī)變量?？梢钥闯?， R(t1, t2)是兩個(gè)變量 t1和 t2的確定函數(shù)。 ? 協(xié)方差函數(shù) 式中 a ( t1 ) a ( t2 ) － 在 t1和 t2時(shí)刻得到的 ? (t)的均值 f2 (x1, x2。 t1, t2) － ? (t)的二維概率密度函數(shù)。 2121212212121dxdx)t,t。x,x(fxx)]t()t([E)t,t(R? ???? ????? ??? ?21212122211221121dxdx)t,t。x,x(f)]t(ax)][t(ax[])t(a)t()][t(a)t([E)t,t(B??????? ?? ?? ? ????16 第 3章 隨機(jī)過程 ? 相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)之間的關(guān)系 若 a(t1) = a(t2)=0，則 B(t1, t2) = R(t1, t2) ? 互相關(guān)函數(shù) 式中 ?(t)和