【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 96 吉林建筑工程學(xué)院城建學(xué)院高等數(shù)學(xué)同濟(jì)六版講義 (2) 被積函數(shù)表示式用極坐標(biāo)變量表示較簡(jiǎn)單 ( 含 ( )x y2 2? ?, ? 為實(shí)數(shù) )。 例 1 計(jì)算I dx dyx y a x y aa xa a x? ? ? ? ? ?? ??? ? ?0 2 2 2 2 24 02 2 ( ) ( ) 解 此積分區(qū)域?yàn)? D x a x y a a x: ,0 2 2? ? ? ? ? ? ? ? 區(qū)域的簡(jiǎn)圖為 圖 9213 該區(qū)域在極坐標(biāo)下的表示形式為 D r a: , si n? ? ? ? ? ?? ? ?4 0 0 2 I r d r dr a r d dra r ra dDa a?? ? ? ???? ????? ? ? ??? ??? ? ??? ??4 4 22 2402 2020240s i n s i nar c s i n? ? ? ? ?? ?? ( )? ? ? ?? ?d40 240 212 32 例 2計(jì)算2D x yd???，其中 D 為 2 2 2 , 0 , 0x y a x y? ? ? ?。 51[]15a 。 例 3 計(jì)算 2222sin (Dxy dxy? ?????，其中 D 為 2214xy? ? ? 。 [4]? 。 例 4計(jì)算22()xyD ed????? ，其中 D 為 2 2 2x y a??。 利用此題 推出概率積 分 20 2xe dx??? ? ?? 97 吉林建筑工程學(xué)院城建學(xué)院高等數(shù)學(xué)同濟(jì)六版講義 例 5計(jì)算 ()D x y d????，其中 D 為 222x y y?? 。 []? 。 例 6計(jì)算 22D x y d????，其中 D 為 222x y ax?? 。 例 7 把積分 ( , )D f x y dxdy??表為 極坐標(biāo) 形式 的 二次積分 （ 1） 2: 1, 1 1D x y x? ? ? ? ?。 (2) 2 2 2 2 2 2: , ( )D x y R x R y R? ? ? ? ?. 例 8 將下述 二次積分 化 為 直角 坐標(biāo) 系 下的 二次積分 44 0 ( c o s , s in )aI d f r r r d r?? ? ? ??? ??。 例 9利用 極坐標(biāo) 計(jì)算 二重積分 21 2 22 2 2 20 0 1 0xxI d x x y d y d x x y d y?? ? ? ?? ? ? ? 小結(jié)： 二重積分計(jì)算公式 極坐標(biāo)系下 ?? ? ??D drrrfdr dr drrf?????? ??????)()(21 )s i n,c os()s i n,c os( 作業(yè)： 96頁 11（ 3），（ 4）； 13（ 1），（ 4）； 14（ 1），（ 2）； 15（ 2），（ 4）。 98 吉林建筑工程學(xué)院城建學(xué)院高等數(shù)學(xué)同濟(jì)六版講義 167。９ 3 三重積分的概念及其計(jì)算法 一、三重積分的概念 1． 三重積分的定義 設(shè) ),( zyxf 是空間閉區(qū)域 ? 上 的有界函數(shù) ,將 ? 任意地分劃成 n 個(gè)小區(qū)域 ? ? ?v v v n1 2, , ,? ，其中 iv? 表示第 i 個(gè)小區(qū)域 ,也表示它的體積。在每個(gè)小區(qū)域 iv? 上任取一點(diǎn) ),( iii ??? , 作乘積 iiii vf ?),( ??? ，作和式 ?? ?ni iiii vf1 ),( ???， 以 ? 記這 n個(gè)小區(qū)域直徑的最大者 ,若極限 ??? ?ni iiii vf10 ),(lim ????存在 ,則稱此極限值為函數(shù)),( zyxf 在區(qū)域 ? 上的三重積分 ,記作 ???? dvzyxf ),(, 即 ???? dvzyxf ),(= ??? ?ni iiii vf10 ),(lim ????. 其中 dv 叫 體積元素。 自然地 ,體積元素在 直角坐標(biāo)系下也可記作成 dxdydz 。 2． 三重積分的存在定理 若函數(shù)在區(qū)域上連續(xù) , 則三重積分存在。 3． 三重積分的物理意義 如果 ),( zyxf 表示某物體在 ),( zyx 處的質(zhì)量密度 , ? 是該物體所占有的空間區(qū)域 ,且 ),( zyxf 在 ? 上連續(xù) ,則和式 ?? ?ni iiii vf1 ),( ???就是物體質(zhì)量 m 的近似值 , 該和式當(dāng) 0?? 時(shí)的極限值就是該物體的質(zhì)量 m 。 故 m = ???? dvzyxf ),( 特別地 , 當(dāng) ),( zyxf =1時(shí) , ?????? dv的體積 . 99 吉林建筑工程學(xué)院城建學(xué)院高等數(shù)學(xué)同濟(jì)六版講義 二 ．三重積分的計(jì)算法 計(jì)算三重積分的基本方法是將三重積分化為三次積分。 1． 利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分 假設(shè)積分區(qū)域 ? 的形狀如下圖所示 . ? 在 xoy 面上的投影區(qū)域?yàn)?xyD , 過 xyD 上任意一點(diǎn) , 作平行于 z 軸的直線穿過 ? 內(nèi)部 , 與 ? 邊界曲面相交不多于兩點(diǎn)。 亦即 , ? 的邊界曲面可分為上、下兩片部分曲面。 S z z x y1 1: ( , )? , S z z x y2 2: ( , )? 其中 z xy1( , ) , z xy2( , ) 在 xyD 上連續(xù) , 并且 z x y z x y1 2( , ) ( , )? 。 圖 941 如何計(jì)算三重積分 ???? dvzyxf ),(呢 ? 不妨先考慮特殊情況 ),( zyxf =1,則 ? ?dv dx dy dz z x y z x y dDxy? ???? ??? ??? ? ?2 1( , ) ( , ) ? 即 dv dx dy dzz x yz x yDxy???? ????12( , )( , ) 一般情況 下 ,類似地有 dv dxdy f x y z dzz x yz x yDxy???? ???? ( , , )( , )( , )12 顯然積分 ? ),(),(21 ),(yxz yxz dzzyxf只是把 ),( zyxf 看作 z 的函數(shù)在區(qū)間 )],(),([ 21 yxzyxz 上對(duì) z 求定積分 , 因此 ,其結(jié)果應(yīng)是 yx, 的函數(shù) , 記 100 吉林建筑工程學(xué)院城建學(xué)院高等數(shù)學(xué)同濟(jì)六版講義 F x y f x y z dzz x yz x y( , ) ( , , )( , )( , )? ?12 那么 ??? ??? ? xyD dxdyyxFdvzyxf ),(),( 如上圖所示 , 區(qū)域 xyD 可表示為 a x b y x y y x? ? ? ?, ( ) ( )1 2 從而 ???? ? ),(),(21 ),(),(yxyyxybaD dyyxFdxdxdyyxFxy 綜上討論 , 若積分區(qū)域 ? 可表示成 a x b y x y y x z x y z z x y? ? ? ? ? ?, ( ) ( ) , ( , ) ( , )1 2 1 2 則 ??? ? ??? ),(),()()(2121 ),(),(yxzyxzxyxyba dzzyxfdydxdvzyxf 這就是三重積分的計(jì)算公式 , 它將三重積分化成先對(duì)積分變量 z , 次對(duì) y ,最后對(duì) x 的三次積分。 如果平行于 z 軸且穿過 ? 內(nèi)部的直線與邊界曲面的交點(diǎn)多于兩個(gè) ,可仿照二重積分計(jì)算中所采用的方法 , 將 ? 剖分成若干個(gè)部分 ,(如 ??1 2, ),使在 ? 上的三重積分化為各部分區(qū)域 ( ??1 2, )上的三重積分 ,當(dāng)然各部分區(qū)域 (??1 2, ) 應(yīng)適合對(duì)區(qū)域的要求。 例 1 計(jì)算 ???? xyzdxdydz, 其中 ? 為球面 x y z2 2 2 1? ? ?及三坐標(biāo)面所圍成的位于第一卦限的立體。 解 (1) 畫出立體的簡(jiǎn)圖 圖 942 101 吉林建筑工程學(xué)院城建學(xué)院高等數(shù)學(xué)同濟(jì)六版講義 (2) 找出立體 ? 在某坐標(biāo)面上的投影區(qū)域并畫出簡(jiǎn)圖 ? 在 xoy 面上的投影區(qū)域?yàn)? D x y x yxy : , ,2 2 1 0 0? ? ? ? (3) 確定另一積分變量的變化范圍 在 xyD 內(nèi)任取一點(diǎn) , 作一過此點(diǎn)且平行于 z 軸的直線穿過區(qū)域 ? , 則此直線與 ? 邊界曲面的兩交點(diǎn)之豎坐標(biāo)即為 z 的變化范圍。即 0 1 2 2? ? ? ?z x y (4) 選擇一種次序 ,化三重積分為三次積分 ?????????????????2222102210101010)1(21xyxxdyyxxydxx y z d zdydxx d y d zx y z d dxxxxxxxdxxyyxxydyxyyxxydxxx?????????? ???????????? ????????102223210104232103310)1(81)1(41)1(41814141)212121(22 4812462481246224124241c o ss i n81c o ss i n41c o ss i n41c o sc o ss i n81c o ss i n41c o ss i n412052033320204232??????????????????????????????????t d ttt d ttdttt d ttttttt 例 2 計(jì)算 三重積分分 xdxdydz????，其中 ? 是由三個(gè)坐標(biāo)平面及平面 21x y z? ? ?所圍成的空間區(qū)域。 1[]48 102 吉林建筑工程學(xué)院城建學(xué)院高等數(shù)學(xué)同濟(jì)六版講 義 例 3 計(jì)算 三重積分2z dxdydz????，其中 ? 是由橢球面 2 2 22 2 2 1x y za b c? ? ?所圍成的空間區(qū)域。（先二后一）。 4[]15 abc? 例 3 計(jì)算 三重積分 zdxdydz????，其中 ? 是由曲面 22z x y??及平面 4z? 所圍成的空間區(qū)域。 64[]3? 小結(jié)： 三重積分的定義和計(jì)算（化三重積分為三次積分），直角坐標(biāo)系下的體積元素 dxdydzdv? 。 作業(yè)： 106頁 1（ 2），（ 3）； 2； 6。 103 吉林建筑工程學(xué)院城建學(xué)院高等數(shù)學(xué)同濟(jì)六版講義 167。 ９ 3 三重積分 二．三重積分的計(jì)算法 對(duì)于某些三重積分 ,由于積分區(qū)域和被積函數(shù)的特點(diǎn) ,往往要利用柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)來計(jì)算。 2． 利用柱面坐 標(biāo)計(jì)算三重積分 （一） .