【文章內(nèi)容簡介】 xn=n(1)n沒有極限.cos. 問limx=? 求出N, 使當(dāng)nN時(shí), x與其 2. 設(shè)數(shù)列{xn}的一般項(xiàng)xn=nnn174。165。n極限之差的絕對(duì)值小于正數(shù)e , 當(dāng)e =, 求出數(shù)N. 解 limxn=0. n174。165。||co163。1. e 0, 要使|x0|e , 只要1e, 也就是n1. 取 |xn0|= nnnneN=1, e則nN, 有|xn0|e .當(dāng)e =, N=[1]=1000. e3. 根據(jù)數(shù)列極限的定義證明:(1)lim1=0。 n174。165。n2分析 要使|10|=1e, 只須n21, 即n1. nn1=0. 證明 因?yàn)閑0, $N=[1, 當(dāng)nN時(shí), 有|1, 所以0|elimn174。165。n2n2 (2)lim3n+1=3。 n174。165。2n+123n+13|=11e 分析 要使|, 只須1e, 即n1. 2n+122(2n+1)4n44n證明 因?yàn)閑0, $N=[1, 當(dāng)nN時(shí), 有|3n+13|e, 所以lim3n+1=3. n174。165。2n+122n+12422 (3)lim+a=1。 n174。165。n2222222n+an+anaaa1|==e, 只須n. 分析 要使|22nnn(+a+n)n222證明 因?yàn)閑0, $N=[a], 當(dāng)nN時(shí), 有|n+a1|e, 所以nn174。165。limn2+a2=1. nn174。165。n個(gè) (4) 4 9=1. 1231e , 即 分析 要使| 91|=1, 只須en1+lg1. n1e1010證明 因?yàn)閑0, $N=[1+lg1], 當(dāng)nN時(shí), 有| 91|e , 所以e4243n174。165。1n個(gè)n174。165。 9=1. 4. limun=a, 證明lim|un|=|a|. 并舉例說明: 如果數(shù)列{|xn|}有極限, 但數(shù)列n174。165。{xn}未必有極限.證明 因?yàn)閘imun=a, 所以e0, $N206。N, 當(dāng)nN時(shí), 有|una|e, 從而 n174。165。||un||a||163。|una|e .這就證明了lim|un|=|a|. n174。165。數(shù)列{|xn|}有極限, 但數(shù)列{xn}未必有極限. 例如lim|(1)n|=1, 但lim(1)n不n174。165。n174。165。存在.5. 設(shè)數(shù)列{xn}有界, 又limyn=0, 證明: limxnyn=0. n174。165。n174。165。 證明 因?yàn)閿?shù)列{xn}有界, 所以存在M, 使n206。Z, 有|xn|163。M. 又limyn=0, 所以e0, $N206。N, 當(dāng)nN時(shí), 有|yn|e. 從而當(dāng)nN時(shí), 有 n174。165。M |xnyn0|=|xnyn|163。M|yn|Me=e, M所以limxnyn=0. n174。165。 6. 對(duì)于數(shù)列{xn}, 若x2k1174。a(k174。165。), x2k 174。a(k 174。165。), 證明: xn174。a(n174。165。).證明 因?yàn)閤2k1174。a(k174。165。), x2k 174。a(k 174。165。), 所以e0, $K1, 當(dāng)2k12K11時(shí), 有| x2k1a|e 。 $K2, 當(dāng)2k2K2時(shí), 有|x2ka|e .取N=max{2K11, 2K2}, 只要nN, 就有|xna|e . 因此xn174。a (n174。165。). 習(xí)題131. 根據(jù)函數(shù)極限的定義證明:(1)lim(3x1)=8。 x174。3分析 因?yàn)閨(3x1)8|=|3x9|=3|x3|,所以要使|(3x1)8|e , 只須|x3|1e. 3證明 因?yàn)閑0, $d=1e, 當(dāng)0|x3|d時(shí), 有 3|(3x1)8|e ,所以lim(3x1)=8. x174。3(2)lim(5x+2)=12。 x174。2分析 因?yàn)閨(5x+2)12|=|5x10|=5|x2|,所以要使|(5x+2)12|e , 只須|x2|1e. 5證明 因?yàn)閑 0, $d=e, 當(dāng)0|x2|d時(shí), 有 |(5x+2)12|e ,所以lim(5x+2)=12. x174。2152x4=4。 (3)limx174。2x+2分析 因?yàn)?2x4x+4x+4=|x+2|=|x(2)|, (4)=x+2x+22x4(4)e, 只須|x(2)|e. 所以要使x+2證明 因?yàn)閑 0, $d=e, 當(dāng)0|x(2)|d時(shí), 有2 x4(4)e, x+22x4=4. 所以limx174。2x+2 314x=2. (4)lim12x+1x174。 分析 因?yàn)?14x 2=|12x2|=2|x(1|, 2x+12314x2e, 只須|x(1)|1e. 所以要使2x+122證明 因?yàn)閑 0, $d=1e, 當(dāng)0|x(1|d時(shí), 有 22314x2e, 2x+1314x=2. 所以lim2x+1x174。22. 根據(jù)函數(shù)極限的定義證明:31+x1。 (1)lim=x174。165。2x2分析 因?yàn)?331+x11+xx ==13, 3322x2x2|x|31e, 只須1e, 即|x|1. 所以要使1+x2x322|x|3 證明 因?yàn)閑 0, $X=1, 當(dāng)|x|X時(shí), 有 31+x1e, 2x3231+x1. 所以lim=x174。165。2x2(2)limsinx=0. x174。+165。x分析 因?yàn)閤|1x0=|sin sin. 163。xxx所以要使sinx0e, 只須1e, 即x1. exx證明 因?yàn)閑0, $X=1, 當(dāng)xX時(shí), 有 e2x0e, sinx所以limsinx=0. x174。+165。x3. 當(dāng)x174。2時(shí), y=x2174。4. 問d等于多少, 使當(dāng)|x2|amp。lt。d時(shí), |y4|amp。lt。？ 解 由于當(dāng)x174。2時(shí), |x2|174。0, 故可設(shè)|x2|1, 即1x3.要使|x24|=|x+2||x2|5|x2|, 只要|x2|=. 5取d=, 則當(dāng)0|x2|d時(shí), 就有|x24|0. 001.4. 當(dāng)x174。165。時(shí), y=x21174。1, 問X等于多少, 使當(dāng)|x|X時(shí), |y1|? x+32x 解 要使211=24, 只要|x|43=, 故X=. +3x+325. 證明函數(shù)f(x)=|x|當(dāng)x174。0時(shí)極限為零.證明 因?yàn)閨f(x)0|=||x|0|=|x|=|x0|,所以要使|f(x)0|e, 只須|x|e.因?yàn)閷?duì)e0, $d=e, 使當(dāng)0|x0|d, 時(shí)有|f(x)0|=||x|0|e,所以lim|x|=0. x174。0|x| 6. 求f(x)=x, j(x)=當(dāng)x174。0時(shí)的左﹑右極限, 并說明它們在x174。0時(shí)的極xx限是否存在.證明 因?yàn)閘imf(x)=limx=lim1=1, x174。0x174。0xx174。0lim+f(x)=lim+x=lim+1=1, x174。0x174。0xx174。0limf(x)=lim+f(x), x174。0x174。0所以極限limf(x)存在. x174。0因?yàn)閨x|=limx=1, x174。0x174。0xx174。0x|x|x=1, limj(x)=li=lix174。0+x174。0+xx174。0+x limj(x)=limj(x)185。limj(x), lim+x174。0x174。0所以極限limj