高等數(shù)學(xué)同濟(jì)大學(xué)版課程講解13函數(shù)的極限(編輯修改稿)
2025-05-01 05:19 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ．定義3 設(shè)有函數(shù)y =f（x），其定義域DfR，若ε＞0，δ＞0，使得x∈（x0，δ）（即0＜｜xx0｜＜δ）時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值f（x）∈U（A，ε）（即｜f（x）A｜＜ε），則稱(chēng)A為函數(shù)y=f（x）當(dāng)x→x0時(shí)的極限，記為f（x）= A，或f（x）→A（x→x0）．研究f（x）當(dāng)x→x0的極限時(shí)，我們關(guān)心的是x無(wú)限趨近x0時(shí)f（x）的變化趨勢(shì)，而不關(guān)心f（x）在x=x0處有無(wú)定義，大小如何，因此定義中使用去心鄰域．函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時(shí)的極限為A的幾何解釋如下：任意給定一正數(shù)ε，作平行于x軸的兩條直線(xiàn)y=A+ε和y=Aε，介于這兩條直線(xiàn)之間是一橫條區(qū)域．根據(jù)定義，對(duì)于給定的ε，存在著點(diǎn)x0的一個(gè)δ鄰域（x0δ,x0+δ），當(dāng)y=f(x)的圖形上點(diǎn)的橫坐標(biāo)x在鄰域 （x0δ,x0+δ）內(nèi)，但x≠x0時(shí)，這些點(diǎn)的縱坐標(biāo)f(x)滿(mǎn)足不等式 |f(x)A|ε,或 Aεf(x)A+ε．亦即這些點(diǎn)落在上面所作的橫條區(qū)域內(nèi)，如圖1－34所示．圖1－34例4 證明=2．證 函數(shù)f（x）=在x=1處無(wú)定義．ε＞0，要找δ＞0，使0＜｜x1｜＜δ時(shí)，=｜x1｜＜ε成立．因此，ε＞0，據(jù)上可取δ=ε，則當(dāng)0＜｜x1｜＜δ時(shí)，＜ε成立，由定義3得=2．例5 證明sinx=sinx0．證 由于｜sinx｜≤｜x｜，｜c(diǎn)osx｜≤1，所以｜sinxsinx0｜=2≤｜xx0｜．因此，ε＞0，取δ=ε，則當(dāng)0＜
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