【文章內(nèi)容簡介】 n? 限制在 ]2,2[ ??? 上，得一單值函數(shù)，記為 xy arcsin? ，它就是所取主值函數(shù)， ]2,2[ ??? 叫做主值區(qū)間，顯然 2arc sin2 ?? ??? x ， 同理：將 xArcy cos? 限制在 ],0[ ? 上，得 xy arccos? 將 xArcy tan? 限制在 ]2,2[ ???上，得 xy arctan? 將 xArcy cot? 限制在 ],0[ ? 上，得 xarcy cot? 從圖中不難看出 xarcsin 和 xarctan 是單調(diào)遞增的， xarccos 和 xarccot 是單調(diào)遞減的。 六 復(fù)合函數(shù)和初等函數(shù) ： 設(shè) )(ufy? ，定義域?yàn)?1D ， )(xu ?? ，定義域?yàn)?2D ，值域?yàn)?2W ，且 12 DW ? ，這樣對于 2Dx?? ，由 )(xu ?? 可算出函數(shù)值 12 DWu ?? ，所以 1Du? ，由 )(ufy? 又可算出其函數(shù)值 y ，因此對于 2Dx?? ，有確定的值 y 與之對應(yīng)，從而得一個(gè)以 x 為自變量， y 為因變量的函數(shù)，我們稱之為以 )(ufy? 為外函數(shù)， )(xu ?? 為內(nèi)函數(shù)復(fù)合成的復(fù)合函 數(shù)，記為 ))(( xfy ?? ，其中 u 為中間變量。 注 1：并非任何兩函數(shù)都可以復(fù)合的， 2：復(fù)合可推廣到三個(gè)或更多的函數(shù)上去， 3：在函數(shù)復(fù)合中，未必都有 )(ufy? 、 )(xu ?? 的形式，一般為 )(xfy? 和 )(xgy? ，這時(shí)候就要注意哪個(gè)為外函數(shù)，哪個(gè)為內(nèi)函數(shù)，從而復(fù)合后有 )(xfy? 和 )(xgy? 之分。 初等函數(shù) 我們把冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)。由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和有限次復(fù)合后所得到的能用一個(gè)解析式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù)。 七 分段函數(shù)舉例 第二節(jié) 數(shù)列的極限 教學(xué)目的：使學(xué)生理解數(shù)列極限的定義及性質(zhì)，并能用定義證明一些簡單數(shù)列的極限。 教學(xué)重點(diǎn)：數(shù)列極限的定義及性質(zhì)。 一、數(shù)列的定義： 定義：數(shù)列是定義在自然數(shù)集上的函數(shù)，記為 ??3,2,1),( ?? nnfx n ，由于全體自然數(shù)可以從小到大排成一列，因此數(shù)列的對應(yīng)值也可以排成一列： ???? nxxx , 21 ，這就是最常見 的數(shù)列表現(xiàn)形式了，有時(shí)也簡記為 ??nx 或數(shù)列 nx 。數(shù)列中的每一數(shù)稱為數(shù)列的項(xiàng)，第 n 項(xiàng) nx 稱為一般項(xiàng)或通項(xiàng)。 注： 在數(shù)軸上，數(shù)列的每項(xiàng)都相應(yīng)有點(diǎn)對應(yīng)它。如果將 nx 依次在數(shù)軸上描出點(diǎn)的位置，限我們能否發(fā)現(xiàn)點(diǎn)的位置的變化趨勢呢？顯然，???????????? nn 1,21是無限接近于 0 的； ??n2 是無增大的；? ?1)1( ?? n 的項(xiàng)是在 1 與 1? 兩點(diǎn)跳動的，不接近于某一常數(shù)； ?????? ?nn 1 無限接近常數(shù) 1。 對于數(shù)列來說，最重要的是研究其在變化過程中無限接近某一常數(shù)的那種漸趨穩(wěn)定的狀態(tài)，這就是常說的數(shù)列的極限 問題。 二、數(shù)列的極限 定義 ：若對 0??? （不論 ? 多么?。?，總 ? 自然數(shù) 0?N ，使得當(dāng) Nn? 時(shí)都有 ???axn 成立，這是就稱常數(shù) a 是數(shù)列 nx 的極限，或稱數(shù)列 nx 收斂于 a ，記為 axnn ???lim，或 axn?（ ??n ）。如果數(shù)列沒有極限，就說數(shù)列是發(fā)散的。 注 1： ? 是衡量 nx 與 a 的接近程度的，除要求為正以外，無任何限制。然而，盡管 ? 具 有任意性，但一經(jīng)給出，就應(yīng)視為不變。（另外， ? 具有任意性，那么 2,2,2 ??? 等也具有任意性，它們也可代替 ? ） 2： N 是隨 ? 的變小而變大的，是 ? 的函數(shù)，即 N 是依賴于 ? 的。在解題中， N 等于多少關(guān)系不大，重要的是它的存在性，只要存在一個(gè) N ，使得當(dāng) Nn? 時(shí)，有 ???axn 就行了，而不必求最小的 N 。 3：有時(shí)找 N 比較困難，這時(shí)我們可把 axn? 適當(dāng)?shù)刈冃巍⒎糯螅ㄇf不可縮?。。?，若放大后小于 ? ，那么必有 ???axn 。 收斂數(shù)列的有關(guān)性質(zhì) ： 定理 1： （唯一性）數(shù)列 nx 不能收斂于兩個(gè)不同的極限。 定理 2： （有界性）若數(shù)列 nx 收斂，那么它一定有界，即：對于數(shù)列 nx ，若 ? 正數(shù) M ，對一切n ，有 Mxn ? 。 注 ：本定理的逆定理不成立，即有界未必收斂。例如數(shù)列 1)1( ??? nnx 是有界的（ 1?nx ），但數(shù)列不收斂。 第三節(jié) 函數(shù)的極限 教學(xué)目的：使學(xué)生理解函數(shù)極限的概念 ；理解函數(shù)左右極限的概念，以及函數(shù)極限存在與左、右 極限之間的關(guān)系。理解函數(shù)極限的性質(zhì)。 教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)極限的概念。 一、復(fù)習(xí)數(shù)列極限的定義及性質(zhì) 二、導(dǎo)入新課： 由上節(jié)知，數(shù)列是自變量取自然數(shù)時(shí)的 函數(shù)， )(nfxn ? ，因此，數(shù)列是函數(shù)的一種特殊情況。對于函數(shù)，自變量的變化主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面： 一、 自變量 x 任意接近于有限值 0x ，記為 0xx? ，相應(yīng)的函數(shù)值 )(xf 的變化情況。 二、當(dāng)自變量 x 的絕對值 x 無限增大，記 ??x ，相應(yīng)的函數(shù)值 )(xf 的變化情況。 三、講授新課： （一）自變量趨向有限值 0x 時(shí)函數(shù)的極限 與數(shù)列極限的意義相仿，自變量趨于有限值 0x 時(shí)的函數(shù)極限可理解為：當(dāng) 0xx? 時(shí)， Axf ?)(（ A 為某常數(shù)），即當(dāng) 0xx? 時(shí)， )(xf 與 A 無限地接近，或說 Axf ?)( 可任意小，亦即對于預(yù)先任意給定的正整數(shù) ? （不論多么?。?，當(dāng) x 與 0x 充分接近時(shí)，可使得 Axf ?)( 小于 ? 。用數(shù)學(xué)的語言說，即 定義 1：如果對 0??? （不論它多么?。?0??? ，使得對于適合不等式 ???? 00 xx 的一切 x 所對應(yīng)的函數(shù)值 )(xf 滿足： ??? Axf )( ，就稱常數(shù) A 為函數(shù) )(xf 當(dāng) 0xx? 時(shí)的極限， 記為 Axfn ??? )(lim ，或 Axf ?)( （當(dāng) 0xx? 時(shí)） 注 1：“ x 與 0x 充分接近”在定義中表現(xiàn)為： 0??? ，有 ???? 00 xx ，即 ),( 0 ??? xUx 。顯然 ? 越小， x 與 0x 接近就越好，此 ? 與數(shù)列極限中的 N 所起的作用是一樣的，它也依 賴于 ? 。一般地， ? 越小， ? 相應(yīng)地也小一些。 2：定義中 00 xx?? 表示 0xx? ，這 說明當(dāng) 0xx? 時(shí)， )(xf 有無限與 )( 0xf 在 0x 點(diǎn)（是否有）的定義無關(guān)（可以無定義，即使有定義，與 )( 0xf 值也無關(guān)）。 3：幾何解釋：對 0??? ，作兩條平行直線 ?? ???? AyAy , 。由定義，對此 0, ???? ，當(dāng) ?? ???? 00 xxx ，且 0xx? 時(shí)，有 ?? ???? AxfA )( 。即函數(shù) )(xfy? 的圖形夾在直線 ?? ???? AyAy , 之間（ )( 0xf 可能除外）。換言之：當(dāng) ),( 0 ??? xUx 時(shí)， ),()( ?AUxf ? 。從圖中也可見 ? 不唯一！ （二）左、右極限 在函數(shù)極限的定義中， x 是既從 0x 的左邊（即從小于 0x 的方向）趨于 0x ，也從 0x 的右邊（即從大于 0x 的方向）趨于 0x 。但有時(shí)只能或需要 x 從 0x 的某一側(cè)趨于 0x 的極限。如分段函數(shù)及在區(qū)間的端點(diǎn)處等等。這樣，就有必要引進(jìn)單側(cè)極限的定義： 定義 2： 對 0??? ， 0??? ，當(dāng) 00 xxx ??? ? 時(shí)， [當(dāng) ???? 00 xxx 時(shí) ]，有 ??? Axf )( .這時(shí)就稱 A 為 )(xf 當(dāng) 0xx? 時(shí)的左 [右 ]極限，記為 Axfxx ??? )(lim 00 或 Axf ?? )0( 。 [ Axfxx ??? )(lim 00或 Axf ?? )0( 0 ]。 定理： AxfxfAxfxxxxxx ???? ????? )(l i m)(l i m)(l i m 00 000。 （三）自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限 定義 3： 設(shè) )(xf 當(dāng) )0( ?? aax 時(shí)是有定義的，若對 )(,0 aX ????? ，當(dāng) Xx? 時(shí)，有??? Axf )( ，就稱 A 為 )(xf 當(dāng) ??x 時(shí)的極限，記為 Axfx ??? )(lim 或 Axf ?)(（當(dāng) ??x 時(shí)） 。 注 1：設(shè) )(xf 在 ]),((),[ ba ???? 上有定義，若對 0,0 ???? X? ，當(dāng) )( XxXx ??? 時(shí)，有 ??? Axf )( ，就稱 A 為 )(xf 當(dāng) )( ?????? xx 時(shí)的極限，記為 Axfx ???? )(lim，或 Axf ?)( （當(dāng) ???x ）（ Axfx ???? )(lim，或 Axf ?)( （當(dāng) ???x ））。 2： AxfxfAxfxxx ???? ???????? )(l i m)(l i m)(l i m。 3：若 Axfx ??? )(lim，就稱 Ay? 為 )(xfy? 的圖形的水平漸近線（若 Axfx ???? )(lim或Axfx ???? )(lim ，有類似的漸近線）。 （四）函數(shù)極限的性質(zhì) 定理（保號性） ：設(shè) Axfxx ?? )(lim0， （ i） 若 )0(0 ?? AA ，則 0??? ，當(dāng) ),( 0 ??? xUx 時(shí)， 0)( ?xf )0)(( ?xf 。 （ ii） 若 )0)((0)( ?? xfxf ，必有 )0(0 ?? AA 。 第四節(jié) 無窮小與無窮大 教學(xué)目的： 1. 使學(xué)生理解無窮小的概念及性質(zhì)； 2. 使學(xué)生理解無窮大的概念，無窮大與無窮小的關(guān)系 。 3. 掌握無窮小的比較方法 . （一） 無窮小 若 )(xf 當(dāng) 0xx? 或 ???x 時(shí)的極限為零，就稱 )(xf 為當(dāng) 0xx? 或 ???x 時(shí)的無窮小，即有 定義 1： 對 ,0??? 若 )0(0 ??? X? ，使得當(dāng) )(0 0 Xxxx ???? ? 時(shí)，有 ??)(xf 成立，就稱 )(xf 為當(dāng) )(0 ???? xxx 時(shí)的無窮小，記為 )0)(lim(0)(lim0 ?? ???? xfxf xxx。 注 1：除上兩種之外，還有 0,0, 00 ?????????? xxxxxx 的情形。 2：無窮小不是一個(gè)數(shù)，而是一個(gè)特殊的函數(shù)（極限為 0），不要將其與非常小的數(shù)混淆，因?yàn)槿我怀?shù)不可能任意地小，除非是 0函數(shù)，由此得： 0是唯一可作為無窮小的常數(shù)。 定理： 當(dāng)自變量在同一變化過程 0xx? （或 ??x ）中時(shí)： （ i） 具有極限的函數(shù)等于其極限與一個(gè)無窮小之和，即： A 為 )(xf 的極限 Axf ?? )( 為無窮小。 （ ii） 若一函數(shù)可表示為一常數(shù)與無窮小之和，那么該常數(shù)就是其極限。 定理 ：有限個(gè)無窮小的和仍為無窮小，即設(shè) 0)l i m (0l i m,0l i m ????? ???? 。 定理： 有界函數(shù)與無窮小的乘積仍為無窮小，即設(shè) u 有界， 0lim0lim ??? ?? u。 注 1： u 與 ? 都表示函數(shù) )(xu 與 )(x? ，而不是常數(shù)。 2： “ lim ”下放沒標(biāo)自變量的變化過程，這說明對 0xx? 及 ??x 均成立，但須同一過程 推論 1：常數(shù)與無窮小的乘積仍為無窮小，即若 k 為常數(shù)， 0lim0lim ??? ?? k。 推論 2：有限個(gè)無窮小的乘積仍為無窮小，設(shè) 0)l i m (0l i ml i ml i m 2121 ?????? nn ?????? ????。 二、無窮大 若當(dāng) 0xx? 或 ??x 時(shí) ??)(xf ，就稱 )(xf 為當(dāng) 0xx? 或 ??x 時(shí)的無窮大。 定義 2：若對 )0(0,0 ????? XM ? ，使得當(dāng) )(0 0 Xxxx ???? ? 時(shí)，有 Mxf ?)( ，就稱 )(xf 當(dāng) )(0 ??? xxx 時(shí)的無窮大，記作 : ))(lim()(lim0 ???? ??? xfxf xxx。 注 1：同理還有 ?????? )(,)( xfxf 時(shí)的定義。 2：無窮大也不是一個(gè)數(shù)，不要將其與非常大的數(shù)混淆。 3：若 ??? )(lim0 xfxx或 ???? )(lim xfx，按通常意義將， )(xf 的極限不存在。 定理 ：當(dāng)自變量在同一變化過 程中時(shí)， （ i） 若 )(xf 為無窮大，則)(1xf為無窮小。 （ ii） 若 )(xf 為無窮小，且 0)( ?xf ，則)(1xf為無窮大。 第五節(jié) 極限四則運(yùn)算法則 教學(xué)目的：使學(xué)生掌握極限的四則運(yùn)算法則，并會利用它們求極限； 教學(xué)重點(diǎn)：有理函數(shù)極限的計(jì)算； 極限四