【正文】 dxdy???，其中 { ( , ) | | | 1 , 0 2 }D x y x y? ? ? ? 。 解 1. 作出該立體的簡(jiǎn)圖 , 并確定它在 xoy 面上的投影區(qū)域 90 吉林建筑工程學(xué)院城建學(xué)院高等數(shù)學(xué)同濟(jì) 六版講義 圖 927 消去變量 z 得一垂直于 xoy 面的柱面 222xy??,立體鑲嵌在其中 ,立體在 xoy 面的投影區(qū)域就是該柱面在 xoy 面上所圍成的區(qū)域 D x y: 2 2 2? ? 2. 列出體積計(jì)算的表達(dá)式 V x y x y dD? ? ? ? ??? [ ( ) ( ) ]6 2 22 2 2 2 ? ? ??? ( )6 3 32 3x y dD ? 3. 配置積分限 , 化二重積分為二次積分并作定積分計(jì)算 圖 928 V d x d y dD D D? ? ??? ?? ??6 3 32 2? ? ? 而 2D d????? 由 ,xy的對(duì)稱(chēng)性有 x d y dD D2 2? ??? ??? x d x dx dy x x dxD xx2 22222 2 22222 2 2??? ? ? ?? ? ?? ? ??? 91 吉林建筑工程學(xué)院城建學(xué)院高等數(shù)學(xué)同濟(jì)六版講義 ? ? ?? ?4 2 4 42 20 2 2 20 2x x dx s i n c o s? ?? ? ? ? ?? ?16 2 1 2 12 2 2( ) !!( ) !!( ) !! ?? ? ?? ?16 1 14 2 2??? 所求立體的體積為 V ? ? ?12 6 6? ? ? 例 4計(jì)算2D x yd???，其中 D 為 2 2 2 , 0 , 0x y a x y? ? ? ?。這里 ,我們介紹配置二次積分限的方法 幾何法。 例 1 計(jì)算 I x d D x y x yD? ? ? ? ? ? ? ??? ( ) {( , ) | , }1 1 1 0 22 ? ? ? dxyxdyxdxI 2020 220 211 )1()1( ??? ?? ???? 88 吉林建筑工程學(xué)院城建學(xué)院高等數(shù)學(xué)同濟(jì)六版講義 38322)1(2113112 ????????xxdxx 類(lèi)似地 ,如果積分區(qū)域 D 可以用下述不等式 c y d y x y? ? ? ?, ( ) ( )? ?1 2 表示 , 且 函 數(shù) ?1( )y , ?2( )y 在 [ , ]c d 上 連 續(xù) , ? ?,f x y 在 D 上 連 續(xù) , 則f x y d f x y dx dy dy f x y dxD yycdcdyy( , ) ( , ) ( , )( )( )( )( )??????? ?? ? ?? ???????? ?1212 (2) 圖 924 圖 925 顯然 ,(2)式是先對(duì) x ,后對(duì) y 的二次積分。 圖 921 圖 922 據(jù)二重積分的幾何意義可知 , ? ?,D f x y d???的值等于以 D 為底 ,以曲面 ? ?,z f x y?為頂?shù)?曲頂柱體 的體積。 作業(yè)： 79 頁(yè) 4（ 2）（ 4）； 5（ 2） 86 吉林建筑工程學(xué)院城建學(xué)院高等數(shù)學(xué)同濟(jì)六版講義 167。 4. 若在 D 上 , ? ? ? ?,f x y x y?? ,則有不等式 ???? ? DD dyxdyxf ??? ),(),( 特別地 ,由于 ? ? ? ? ? ?,f x y f x y f x y? ? ?，有 ?? dyxfdyxf DD ???? ? ),(),( 5. 估值不等式 設(shè) M 與 m 分別是 ? ?,f x y 在閉區(qū)域 D 上最大值和最小值 ,? 是 M 的面積 ,則 ?? ???? D Mdyxfm ??? ),( 6. 二重積分的中值定理 設(shè)函數(shù) ? ?,f x y 在閉區(qū)域 D 上連續(xù) , ? 是 D 的面積 ,則在 D 上至少存在一點(diǎn) ? ?,?? ,使得 ?? ??D fdyxf ???? ),(),( 例 1 估計(jì)二重積分 ? ?2249D x y d?????的值 ,D 是圓域 x y2 2 4? ? 。 圖 913 由于二重積分的定義中對(duì)區(qū)域 D 的劃分是任意的 ,若用一組平行于坐標(biāo)軸的直線(xiàn)來(lái)劃分區(qū)域 D ,那么除了靠近邊界曲線(xiàn)的一些小區(qū)域之 外 ,絕大多數(shù)的小區(qū)域都是矩形 ,因此 ,可以將 d? 記作 dxdy (并稱(chēng) dxdy 為直角坐標(biāo)系下的 面積元素 ),二重積分也可表示成為 ? ?,D f x y d??? 。 即 ? ?,D f x y d? ??? ? ?0 1lim ,n i i ii f? ? ? ?? ? ?? 其中 : ? ?,f x y 稱(chēng)之為被積函數(shù) , ? ?,f x y d? 稱(chēng)之為被積表達(dá)式 ,d? 稱(chēng)之為面積元素 , ,xy稱(chēng)之為積分變量 ,D 稱(chēng)之為積分區(qū)域 , ? ?1 ,ni i ii f ? ? ?? ??稱(chēng)之為積分和式。 82 吉林建筑工程學(xué)院城建學(xué)院高等數(shù)學(xué)同濟(jì)六版講義 當(dāng) ? ?1max iin?????很小時(shí) , 由于 ? ?,xy? 連續(xù) , 每小片區(qū)域的質(zhì)量可近似地看作是均勻的 , 那么第 i 小塊區(qū)域的近似質(zhì)量可取為 ? ? ? ? ? ? ?( , ) ( , )i i i i i i? ?? ? 于是 ?? ??ni iiiM 1 ),( ???? M i i ii n? ? ??lim ( , )? ? ? ? ?0 1 ? 兩種實(shí)際意義完全不同的問(wèn)題 , 最終都?xì)w結(jié)同一形式的極限問(wèn)題。為此 ,我們引入?yún)^(qū)域直徑的概念 : 一個(gè)閉區(qū)域的直徑是指區(qū)域上任意兩點(diǎn)距離的最大者。 曲頂柱體的體積 V 可以這樣來(lái)計(jì)算 : (1) 用任意一組曲線(xiàn)網(wǎng)將區(qū)域 D 分成 n 個(gè)小區(qū)域 1?? ， 2?? ， ， n?? ，以這些小區(qū)域的邊界曲線(xiàn)為準(zhǔn)線(xiàn) ,作母線(xiàn)平行于 z 軸的柱面 ,這些柱面將原來(lái)的曲頂柱體 ? 分劃成 n 個(gè)小曲頂柱體 1?? ， 2?? ， ， n?? 。 80 吉林建筑工程學(xué)院城建學(xué)院高等數(shù)學(xué)同濟(jì)六版講義 第九章 重積分 167。 （假設(shè) i?? 所對(duì)應(yīng)的小曲頂柱體為 i?? ,這里 i?? 既代表第 i 個(gè)小區(qū) 域 ,又表示它的面積值 , i?? 既代表第 i 個(gè)小曲頂柱體 ,又代表它的體積值。 所謂讓區(qū)域向一點(diǎn)收縮性地變小 ,意指讓區(qū)域的直徑趨向于零。因此 ,有必要撇開(kāi)這類(lèi)極限問(wèn)題的實(shí)際背景 , 給出一個(gè)更廣泛、更抽象的數(shù)學(xué)概念 ,即 二重積分 。 2． 幾個(gè)事實(shí) 83 吉林建筑工程學(xué)院城建學(xué)院高等數(shù)學(xué)同濟(jì)六版講義 (1) 二重積分的存在定理 若 ? ?,f x y 在閉區(qū)域 D 上連續(xù) , 則 ? ?,f x y 在 D 上的二重積分 存在。 (3) 若 ? ?,0f x y ? ,二重積分表示以 ? ?,f x y 為曲頂 ,以 D 為底的曲頂柱體的體積。 解 求被積函數(shù) ? ? 22, 4 9f x y x y? ? ?在區(qū)域 D 上可能的最值 ???????????0802yyfxxf???? ? ?0,0 是駐點(diǎn) ,且 ? ?0,0 9f ? ； 在邊界上 , )22(3259)4(4),( 222 ????????? xxxxyxf 25),(13 ?? yxf 85 吉林建筑工程學(xué)院城建學(xué)院高等數(shù)學(xué)同濟(jì)六版講義 25max ?f , 9min ?f , 于是有 ???? 1 0 04254936 ?????? I 例 2 比較 下列各對(duì)二重積分的大小 （ 1）2()D x y d????與3()D x y d????，其中 D 是由 x 軸， y 軸與直線(xiàn) 1xy??所圍成。９ 2 二重積分的計(jì)算法 利用二重積分的定義來(lái)計(jì)算二重積分顯然是不實(shí)際的 ,二重積分的計(jì)算是通過(guò)兩個(gè)定積分的計(jì)算 (即 二次積分 )來(lái)實(shí)現(xiàn)的。 圖 923 在區(qū)間 ? ?,ab 上任意取定一個(gè)點(diǎn) 0x ,作平行于 yoz 面的平面 0xx? ,這平面截曲頂柱體所得截面是一個(gè)以區(qū)間 ? ? ? ?1 0 2 0,xx??????為底 ,曲線(xiàn) ? ?0 ,z f x y?為曲邊的曲邊梯形 ,其面 87 吉林建筑工程學(xué)院城建學(xué)院高等數(shù)學(xué)同濟(jì)六版講義 積為 ? ? ? ?? ?? ?202000 ,xxA x f x y d y??? ? 一般地 ,過(guò)區(qū)間 ? ?,ab 上任一點(diǎn) x 且平行于 yoz 面的平面截曲頂柱體所得截面的面積為 ? ? ? ?? ?? ?21 ,xxA x f x y d y??? ? 利用計(jì)算平行截面面積為已知的立體之體積的方法 ,該曲頂柱體的體積為 V A xadx f x y dy dxbxxab? ? ???? ????? ??( ) ( , )( )( )??12 從而有 dxdyyxfdyxf baxxD? ??? ???????????)(2)(1),(),(??? (1) 上述積分叫做 先對(duì) Y ,后對(duì) X 的二次積分 ,即先把 x 看作常數(shù) , ),( yxf 只看作 y 的函數(shù) ,對(duì) ),( yxf 計(jì)算從 )(1 x? 到 )(2 x? 的定積分 ,然后把所得的結(jié)果 ( 它是 x 的函數(shù) )再對(duì)x 從 a 到 b 計(jì)算定積分。 2． 二重積分化二次積分時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題 （ 1） . 積分區(qū)域的形狀 前面所畫(huà)的兩類(lèi)積分區(qū)域的形狀具有一個(gè)共同點(diǎn) : 對(duì)于 I型 (或 II型 )區(qū)域 , 用平行于 y 軸 (x 軸 )的直線(xiàn)穿過(guò)區(qū)域內(nèi)部 ,直線(xiàn)與區(qū)域的邊界相交不多于兩點(diǎn)。 畫(huà)出積分區(qū)域 D 的圖形 (假設(shè)的圖形如下 ) 89 吉林建筑工程學(xué)院城建學(xué)院高等數(shù)學(xué)同濟(jì)六版講義 圖 926 在 ? ?,ab 上任取一點(diǎn) x ,過(guò) x 作平行于 y 軸的直線(xiàn) ,該直線(xiàn)穿過(guò)區(qū)域 D ,與區(qū)域 D 的邊界有兩個(gè)交點(diǎn) ))(,( 1 xx ? 與 ))(,( 2 xx ? ,這里的 )(1 x? 、 )(2 x? 就是將 x ,看作常數(shù)而對(duì)y 積分時(shí)的下限和上限；又因 x 是在區(qū)間 ? ?,ab 上任意取的 ,所以再將 x 看作變量而對(duì) x 積分時(shí) ,積分的下限為 a 、上限為 b 。 51[]15a 。 46[]15 4． 更換積分次序 例 8 更換二次積分的次序 （ 1） 100 ( , )yedy f x y dx?? ；（ 2） 21 2 02 0 1 0( , ) ( , )yyd y f x y d x d y f x y d x???? ?? ? ? ? 例 9將 二重積分 ( , )DI f x y dxdy? ??化為二次積分（兩種積分次序都要）其中 D 是 22x y y??。 用以極點(diǎn) 0 為中心的一族同心圓 r? 常數(shù) 以及從極點(diǎn)出發(fā)的一族射線(xiàn) ?? 常數(shù) ,將 D剖分成個(gè)小閉區(qū)域。 (1) 積分區(qū)域 D 可表示成下述形式 ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?1 2( ) ( )r 其中 函數(shù) ? ?1??, ? ?2??在 ? ?,?? 上連續(xù)。 51[]15a 。 利用此題 推出概率積 分 20 2xe dx??? ? ?? 9