【正文】 Am+Bn+Cp=0. 例3 求過點(1, 2, 4)且與平面2x3y+z4=0垂直的直線的方程. 解 平面的法線向量(2, 3, 1)可以作為所求直線的方向向量. 由此可得所求直線的方程為 . 五、雜例 例4 求與兩平面 x4z=3和2xy5z=1的交線平行且過點(3, 2, 5)的直線的方程. 解 平面x4z=3和2xy5z=1的交線的方向向量就是所求直線的方向向量s , 因為 , 所以所求直線的方程為 . 例5 求直線與平面2x+y+z6=0的交點. 解 所給直線的參數(shù)方程為 x=2+t, y=3+t, z=4+2t, 代入平面方程中, 得 2(2+t)+(3+t)+(4+2t)6=0. 解上列方程, 得t=1. 將t=1代入直線的參數(shù)方程, 得所求交點的坐標為 x=1, y=2, z=2. 例6 求過點(2, 1, 3)且與直線垂直相交的直線的方程. 解 過點(2, 1, 3)與直線垂直的平面為 3(x2)+2(y1)(z3)=0, 即3x+2yz=5. 直線與平面3x+2yz=5的交點坐標為. 以點(2, 1, 3)為起點, 以點為終點的向量為 . 所求直線的方程為 . 例6162。. 例2 求直線L1:和L2:的夾角. 解 兩直線的方向向量分別為s1 = (1, 4, 1)和s2 = (2, 2, 1). 設兩直線的夾角為j , 則 , 所以. 四、直線與平面的夾角 當直線與平面不垂直時, 直線和它在平面上的投影直線的夾角j稱為直線與平面的夾角, 當直線與平面垂直時, 規(guī)定直線與平面的夾角為. 設直線的方向向量s=(m, n, p), 平面的法線向量為n=(A, B, C), 直線與平面的夾角為j , 那么, 因此. 按兩向量夾角余弦的坐標表示式, 有. 因為直線與平面垂直相當于直線的方向向量與平面的法線向量平行, 所以, 直線與平面垂直相當于 . 因為直線與平面平行或直線在平面上相當于直線的方向向量與平面的法線向量垂直, 所以, 直線與平面平行或直線在平面上相當于 Am+Bn+Cp=0. 設直線L的方向向量為(m, n, p), 平面P的法線向量為(A, B, C) , 則 L^P 219。m1m2+n1n2+p1p2=0。0時, 這方程組應理解為 . 直線的任一方向向量s的坐標m、n、p叫做這直線的一組方向數(shù), 而向量s的方向余弦叫做該直線的方向余弦. 由直線的對稱式方程容易導出直線的參數(shù)方程. 設, 得方程組 . 此方程組就是直線的參數(shù)方程. 例1 用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線. 解 先求直線上的一點. 取x=1, 有 . 解此方程組, 得y=2, z=0, 即(1, 2, 0)就是直線上的一點. 再求這直線的方向向量s. 以平面x+y+z=1和2xy+3z=4的法線向量的向量積作為直線的方向向量s : s=(i+j+k)180。0時, 這方程組應理解為 。 n2. 因為 , 所以所求平面方程為 2(x1)(y1)(z1)=0, 即 2xyz=0. 例7 設P0(x0, y0, z0)是平面Ax+By+Cz+D=0外一點, 求P0到這平面的距離. 解 設en是平面上的單位法線向量. 在平面上任取一點P1(x1, y1, z1), 則P0到這平面的距離為 .提示: , , 例8 求點(2, 1, 1)到平面 x+yz+1=0的距離. 解 . 167。0). 解 設所求平面的方程為 Ax+By+Cz+D=0. 因為點P(a, 0, 0)、Q(0, b, 0)、R(0, 0, c)都在這平面上, 所以點P、Q、R的坐標都滿足所設方程, 即有 由此得 , , . 將其代入所設方程, 得 , 即 . 上述方程叫做平面的截距式方程, 而a、b、c依次叫做平面在x、y、z軸上的截距. 三、兩平面的夾角 兩平面的夾角: 兩平面的法線向量的夾角(通常指銳角)稱為兩平面的夾角. 設平面P1和P2的法線向量分別為n1=(A1, B1, C1)和n2=(A2, B2, C2), 那么平面P1和P2的夾角q 應是和兩者中的銳角, 因此, . 按兩向量夾角余弦的坐標表示式, 平面P1和P2的夾角q 可由 .來確定. 從兩向量垂直、平行的充分必要條件立即推得下列結論: 平面P1和P2垂直相當于A1 A2 +B1B2 +C1C2=0。0, b185。 另一方面表明 它必通過原點, 即D=0. 因此可設這平面的方程為 By+Cz=0. 又因為這平面通過點(4, 3, 1), 所以有 3BC=0, 或 C=3B . 將其代入所設方程并除以B (B185。 By+Cz+D=0, Ax+Cz+D=0, Ax+By+D=0。1. : 167。q163。j163。j163。q163。t163。t163。=vt .因此螺旋線的參數(shù)方程為 , 也可以用其他變量作參數(shù)。|sin∠AOM162。|cos∠AOM162。的坐標為x, y,0. 由于動點在圓柱面上以角速度w 繞 z 軸旋轉, 所以經(jīng)過時間t,∠AOM162。 隨著t的變動便得曲線C上的全部點. 方程組(2)叫做空間曲線的參數(shù)方程. 例3 如果空間一點M 在圓柱面x2+y2=a2 上以角速度w繞z軸旋轉, 同時又以線速度v 沿平行于z軸的正方向上升(其中w、v都是常數(shù)), 那么點M構成的圖形叫做螺旋線. 試建立其參數(shù)方程. 解 取時間t為參數(shù). 設當t=0時, 動點位于x軸上的一點A(a, 0, 0)處. 經(jīng)過時間t, 動點由A運動到M(x, y, z)(圖744). 記M在xOy 面上的投影為M162。7. 4 空間曲線及其方程 一、空間曲線的一般方程 空間曲線可以看作兩個曲面的交線. 設　　　　　　　　　　F(x, y, z)=0和G(x, y, z)=0是兩個曲面方程, 它們的交線為C. 因為曲線C上的任何點的坐標應同時滿足這兩個方程, 所以應滿足方程組. 反過來, 如果點M不在曲線C上, 那么它不可能同時在兩個曲面上, 所以它的坐標不滿足方程組. 因此, 曲線C可以用上述方程組來表示. 上述方程組叫做空間曲線C的一般方程. 例1 方程組表示怎樣的曲線? 解 方程組中第一個方程表示母線平行于z軸的圓柱面, 其準線是xOy 面上的圓, 圓心在原點O, 半行為1. 方程組中第二個方程表示一個母線平行于y軸的柱面, 由于它的準線是zOx 面上的直線, 因此它是一個平面. 方程組就表示上述平面與圓柱面的交線. 例2 方程組表示怎樣的曲線? 解 方程組中第一個方程表示球心在坐標原點O, 半行為a的上半球面. 第二個方程表示母線平行于z軸的圓柱面, 它的準線是xOy 面上的圓, 這圓的圓心在點, 半行為. 方程組就表示上述半球面與圓柱面的交線. 例2162。 再沿y軸方向伸縮倍, 即得單葉雙曲面. (4)雙葉雙曲面 由方程所表示的曲面稱為雙葉雙曲面. 把zOx面上的雙曲線繞x軸旋轉, 得旋轉雙葉雙曲面。0時, 得平面z=t上的橢圓 . 當t變化時, 上式表示一族長短軸比例不變的橢圓, 當|t|從大到小并變?yōu)?時, 這族橢圓從大到小并縮為一點. 綜合上述討論, 可得橢圓錐面的形狀如圖. (2)橢球面 由方程所表示的曲面稱為橢球面. 球面在x軸、y軸或z軸方向伸縮而得的曲面. 把x2+y2+z2=a2沿z軸方向伸縮倍, 得旋轉橢球面。的方程. 例如，把圓錐面沿y軸方向伸縮倍, 所得曲面的方程為, 即. (1)橢圓錐面 由方程所表示的曲面稱為橢圓錐面. 圓錐曲面在y軸方向伸縮而得的曲面. 把圓錐面沿y軸方向伸縮倍, 所得曲面稱為橢圓錐面. 以垂直于z軸的平面z=t截此曲面, 當t=0時得一點(0, 0, 0)。S162。S162。S162。是將曲面S沿x軸方向伸縮l倍所得的曲面. 顯然, 若(x, y, z)206。 (2) 已知坐標x、y和z間的一個方程時, 研究這方程所表示的曲面的形狀. 例3 方程x2+y2+z22x+4y=0表示怎樣的曲面？ 解 通過配方, 原方程可以改寫成 (x1)2+(y+2)2+z2=5. 這是一個球面方程, 球心在點M0(1, 2, 0)、半徑為. 一般地, 設有三元二次方程 Ax2+Ay2+Az2+Dx+Ey+Fz+G=0, 這個方程的特點是缺xy , yz , zx 各項, 而且平方項系數(shù)相同, 只要將方程經(jīng)過配方就可以化成方程(xx0)2+(yy0)2+(zz0)2=R2. 的形式, 它的圖形就是一個球面. 二、旋轉曲面 以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面叫做旋轉曲面, 這條定直線叫做旋轉曲面的軸. 設在yO z 坐標面上有一已知曲線C, 它的方程為f (y, z) =0, 把這曲線繞z軸旋轉一周, 就得到一個以z軸為軸的旋轉曲面. 它的方程可以求得如下: 設M(x, y, z)為曲面上任一點, 它是曲線C上點M1(0, y1, z1)繞z軸旋轉而得到的. 因此有如下關系等式, , , 從而得 , 這就是所求旋轉曲面的方程. 在曲線C的方程f(y, z)=0中將y改成, 便得曲線C繞z 軸旋轉所成的旋轉曲面的方程. 同理, 曲線C繞y 軸旋轉所成的旋轉曲面的方程為. 例4 直線L繞另一條與L相交的直線旋轉一周, 所得旋轉曲面叫做圓錐面. 兩直線的交點叫做圓錐面的頂點, 兩直線的夾角a ()叫做圓錐面的半頂角. 試建立頂點在坐標原點O, 旋轉軸為z軸, 半頂角為a的圓錐面的方程. 解 在yO z 坐標面內(nèi), 直線L的方程為 z=ycot a , 將方程z=ycota 中的y改成, 就得到所要求的圓錐面的方程 , 或 z2=a2 (x2+y2), 其中a=cot a . 例5. 將zOx坐標面上的雙曲線分別繞x軸和z軸旋轉一周, 求所生成的旋轉曲面的方程. 解 繞x軸旋轉所在的旋轉曲面的方程為。7. 3 曲面及其方程 一、曲面方程的概念 在空間解析幾何中, 任何曲面都可以看作點的幾何軌跡. 在這樣的意義下, 如果曲面S與三元方程F(x, y, z)=0有下述關系: (1) 曲面S上任一點的坐標都滿足方程F(x, y, z)=0。r. 。b . 解 =2ij2kk4ji =i5j 3k. 例5 已知三角形ABC的頂點分別是A (1, 2, 3)、B (3, 4, 5)、C (2, 4, 7), 求三角形ABC的面積