向量代數(shù)與空間解析幾何(參考版)
2024-10-06 14:46本頁面
【正文】 （切截法） , , ,用平行于坐標(biāo)面的平面（）截橢球面，截痕為橢圓 ,此橢圓的半軸為，,如果，則截痕縮為兩點(diǎn)：與． 至于平行于其它兩個(gè)坐標(biāo)面的平面截此橢球面時(shí)，所得到的結(jié)果完全類似．O 3）如果，則方程（４）表示一個(gè)球面．7. 單葉雙曲面由方程 ， ， ,所確定的曲面叫做單葉雙曲面，其中均為正數(shù)，叫做雙曲面的半軸． 以（5）為例，（）． 顯然，它對(duì)于坐標(biāo)面、坐標(biāo)軸和坐標(biāo)原點(diǎn)都是對(duì)稱的． 1) 用平行于坐標(biāo)面的平面截曲面（5），其截痕是一橢圓 ，半軸為 ，．當(dāng)時(shí)（面），半軸最?。? 2）用平行于坐標(biāo)面的平面截曲面（5）的截痕是 ，若，則為實(shí)軸平行于軸，虛軸平行于軸的雙曲線；若，則為實(shí)軸平行于軸，虛軸平行于軸的雙曲線；若，則上述截痕方程變成，這表示平面 與其的截痕是一對(duì)相交的直線，交點(diǎn)為和． 3）坐標(biāo)面和平行于的平面截曲面（5）的截痕與2）類似． 4）若，則（5）變成單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面．8．雙葉雙曲面由方程，確定的曲面叫雙葉雙曲面，這里為正數(shù)． 我們只討論 （6） 1）對(duì)于坐標(biāo)面、坐標(biāo)軸和原點(diǎn)都對(duì)稱，它與面和面的交線都是雙曲線． 和， 2）用平行于面的平面（）去截它，當(dāng)時(shí)，截痕是一個(gè)橢圓，它的半軸隨的增大而增大，當(dāng)時(shí)，截痕是一個(gè)點(diǎn)；時(shí)，沒有交點(diǎn)．顯然雙葉雙曲面有兩支，位于坐標(biāo)面兩側(cè)，無限延伸（）．橢圓拋物面由方程 （7）確定的曲面叫做橢圓拋物面．它對(duì)于坐標(biāo)面和坐標(biāo)面對(duì)稱，對(duì)于軸也對(duì)稱，但是它沒有對(duì)稱中心，它與對(duì)稱軸的交點(diǎn)叫頂點(diǎn)，因，故整個(gè)曲面在面的上側(cè)，它與坐標(biāo)面和坐標(biāo)面的交線是拋物線 和 ，這兩條拋物線有共同的頂點(diǎn)和軸． 用平行于面的平面（）去截它，截痕是一個(gè)橢圓 ，這個(gè)橢圓的半軸隨增大而增大（）． 10．雙曲拋物面 由方程 （8）確定的曲面叫做雙曲拋物面．它對(duì)于坐標(biāo)面和是對(duì)稱的，對(duì)軸也是對(duì)稱的，但是它沒有對(duì)稱中心，它與坐標(biāo)面和坐標(biāo)面的截痕是拋物線（）． 和 ，這兩條拋物線有共同的頂點(diǎn)和軸，但軸的方向相反．用平行于面的平面去截它，截痕是 ，當(dāng)時(shí)，截痕總是雙曲線：若，雙曲線的實(shí)軸平行于軸；若，雙曲線的實(shí)軸平行于軸． 二、空間曲線 聯(lián)立方程組 （9）是空間曲線的一般方程． 例1 方程組 ，表示怎樣的曲線？ 解 第一個(gè)方程表示母線平行于軸的圓柱面，第二個(gè)方程表示一個(gè)平面，因此，方程組表示上述圓柱面與平面的交線（）. 例2 方程組 ，表示怎樣的曲線？ 解 第一個(gè)方程表示球心在坐標(biāo)原點(diǎn)、半徑為的上半球面，第二個(gè)方程表示母線平行于軸的圓柱面，因此方程組就表示上述半球面與圓柱面的交線（）. 2. 空間曲線的參數(shù)方程 （10）其中為參數(shù) （空間曲線的參數(shù)方程） 例3 空間一動(dòng)點(diǎn)在圓柱面上以角速度繞軸旋轉(zhuǎn)，同時(shí)又以線速度沿平行于軸的方向上升（這里與都是常數(shù))，動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡稱為螺線（），試建立其參數(shù)方程． 解 取時(shí)間為參數(shù)，當(dāng)時(shí)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)在軸的點(diǎn)上，經(jīng)過時(shí)間，動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，從點(diǎn)作坐標(biāo)平面的垂線與坐標(biāo)面相交于點(diǎn)，坐標(biāo)為，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)在圓柱面上以角速度繞軸旋轉(zhuǎn)，所以，從而 , ,又因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)同時(shí)以線速度沿平行于軸的方向上升，所以,因此，螺旋線的參數(shù)方程為 .若取作為參數(shù)，則螺旋線的參數(shù)方程寫為 ,其中.3. 空間曲線在坐標(biāo)平面上的投
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