【正文】 二、質(zhì)心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、引力 。 用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分 ???????? ? ,s i n),(),(2 ????? ddr drrFdx dy dzzyxf 例 3 求半徑為 a 的球面與半頂角為 a 的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積。記作???? dxzyxf ),( . 三、 三重積分的計(jì)算 1． 利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重 積分 ? ?xyDyxyxzzyxzzyx ????? ),(),(),(),( 21 . ?? ),(),(21 ),(),( yxz yxz dzzyxfyxF ?? ddzzyxfdyxFD Dyxzyxzxy?? ?? ? ???????),(),(21 ),(),( ? ?bxaxyyxyyxD xy ????? ),()(),( 21 ?????? ?? ),( ),()( )( 2121 ),(),( yxz yxzxy xyba dzzyxfdydxdvzyxf 例 1 計(jì)算三重積分 ???? xdxdydz,其中 ? 為三個(gè)坐標(biāo)面及平面 12 ??? zyx 所圍成的區(qū)域。將 ? 任意分成 n 個(gè)小閉區(qū)域 , 21 nvvv ??? ? 其中 iv? 表示第 i 個(gè)小閉區(qū)域，也表示它的體積。 例 4 求球體 x2+y2+z2?4a 2圓柱面 x2+y2=2ax（ a0）所截得的（含在圓柱 面內(nèi)的部分）立體的體積。于是 。 。 由二重積分的性質(zhì) 4，閉區(qū)域 D的面積 s 可以表示為 。 按二重積分的定義有 ， 由于在直角坐標(biāo)系中 也常記作 ，所以上式又可寫成 這就是二重積分的變量從直角坐標(biāo)變換為極坐標(biāo)的變換公式為 (1)0?r?φ （ θ ）， α?θ?β 。 二、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分 有些二重積分，積分區(qū)域 D的邊界曲線用極坐標(biāo)方程來(lái)表示比較方便，且被積函數(shù)用極坐標(biāo)變量 r， θ 比較簡(jiǎn)單。 例 1 計(jì)算 ，其中 D是由直線 y = x = 2及 y = x所圍成的閉區(qū)域。 二重積分化為二次積分時(shí)，確定積分限是一個(gè)關(guān)鍵。如果積分區(qū)域 D既是 X型的，又是 Y型的，則由公式（ 1’ ）及（ 2’ ）就得 。 因此，等式（ 2）也寫成 ，（ 2’ ） 這就是把二重積分化為先對(duì) x、后對(duì) y的二次積分的公式。 類似地，如果積分區(qū)域 D可以用不等式 ψ 1（ y） ? x ? ψ 2（ y）， c?y?d 其中函數(shù) ψ 1（ y）、 ψ 2（ y）在區(qū)間 [c， d] 上連續(xù)，那末就有 。這個(gè)先對(duì) y、后對(duì) x的二次積分也常記作 。（ 1） 上 式右端的積分叫做先對(duì) y、后對(duì) x的二次積分。 一般的，過(guò)區(qū)間 [a， b] 上任一點(diǎn) x且平行于 yOz面的平面截曲頂柱體所得截面的面積為 ， 于是，得曲頂柱體的體積為 。 為計(jì)算截面面積，在區(qū)間 [a， b] 上任意取定一點(diǎn) x0，作平行于 yOz面的平面 x=x0。并設(shè)積分區(qū)域 D可以用不等式 j 1（ x） ? y ? j 2（ x）， a?x?b 其中函數(shù) j 1（ x）、 j 2（ x）在區(qū)間 [a， b] 上連續(xù)。 一、 利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分 下面用幾何的觀點(diǎn)來(lái)討論二重積分 的計(jì)算問(wèn)題。 性質(zhì) 7（二重積分的中值定理） 設(shè)函數(shù) f（ x， y）在閉區(qū)域 D上連續(xù)， s 是 D的面積，則在 D上至少存在一點(diǎn)（ x ， h ）使得下式成立： 二重積分的計(jì)算法（直角坐標(biāo)，極坐標(biāo)） 按照二重積分的定義來(lái)計(jì)算二重積分，對(duì)少數(shù)特別簡(jiǎn)單的被積函數(shù)和積分區(qū)域來(lái)說(shuō)是可行的，但對(duì)一般的函數(shù)和積分區(qū)域 來(lái)說(shuō)，這不是一種切實(shí)可行的方法。 性質(zhì) 6 設(shè) M， m分別是 f（ x， y）在閉區(qū)域 D上的最大值和最小值， s 是 D的面積，則有 。 性質(zhì) 5 如果在 D上， f（ x， y） ? j （ x， y），則有不等式 。 性質(zhì) 4 如果在 D上， f（ x， y） = 1， s 為 D的面積，則 。例如 D分為兩個(gè)閉區(qū)域 D1與 D2，則 。例如 。 二、 二重積分的性質(zhì) 二重積分與定積分有類似的性質(zhì)： 性質(zhì) 1 被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到二重積分號(hào)的外面，即 （ k為常數(shù)）。因此在直角坐標(biāo)系中，有時(shí)也把面積元素 ds 記作 dxdy，而把二重積分記作 其中 dxdy叫做直角坐標(biāo)系中的面積元素。設(shè)矩形閉區(qū)域 D s i的邊長(zhǎng)為 D xj和 D yk，則 D s = D xj（ *） 其中 f（ x， y）叫做被積函數(shù)， f（ x， y） ds 叫做被積表達(dá)式， ds 叫做面積元素，x與 y叫做積分變量， D叫做積分區(qū)域， 叫做積分和。在每個(gè) D s i上任取一點(diǎn)（ x i， h i），作乘積 f（ x i， h i） D s i（ i = 1, 2, ?, n,），并作和 。 定義 設(shè) f（ x， y）是有界閉區(qū)域 D上的有界函數(shù)。在其他學(xué)科中，由許多物理量和幾何量也可歸結(jié)為這一形式的和的極限。通過(guò)求和，取極限，便得出 。 由于曲頂柱體的高 f（ x， y）是變量，它的體積不能直接用體積公式來(lái)計(jì)算。這種立體叫做曲頂柱體。通過(guò)求和，再令 n個(gè)小區(qū)域的直徑中的最大值（記作 λ ）趨于零，取和的極限，便自然地得出薄片的質(zhì)量 M，即 。但 ρ （ x， y）是連續(xù)的，利用積分的思想，把薄片分成許多小塊后，只要小塊所占的小閉區(qū)域 D s i的直徑很小，這些小塊就 可以近似地看作均勻薄片?，F(xiàn)在要計(jì)算該薄片的質(zhì)量 M。 重點(diǎn) :重積分的計(jì)算 難點(diǎn)：重積分的 計(jì)算 二重積分的概念與性質(zhì) 一、 二重積分的概念 為引出二重積分的概念，我們先來(lái)討論兩個(gè)實(shí)際問(wèn)題。 二重積分的應(yīng)用。 第 九 章：重積分 本章知識(shí)點(diǎn) 二重積分的概念和性質(zhì)。 這方法還可以推廣到自變量多于兩個(gè)而條件多于一個(gè)的情形。 二、 條件極值 拉格朗日乘數(shù)法 拉格朗日乘數(shù)法 要找函數(shù) z = f(x,y)在附加條件 φ(x,y) = 0 下的可能極值點(diǎn) ，可以先構(gòu)成輔助函數(shù) F（ x,y） = f(x,y)+λφ(x,y) ， 其中 λ 為某一常數(shù)。 多元函數(shù)最值問(wèn)題應(yīng)用舉例 例 2某工廠用鋼板制造一個(gè)體積為 2立方米的有蓋長(zhǎng)方盒，問(wèn)怎樣選取、寬、高才最省鋼板。 第三步 定出 ACB2的符號(hào)，按定理 2的結(jié)論判定 f(x0,y0)是否是極值、是極大值還是極小值。 利用定理 2，我們把具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù) z = f(