【正文】 ???? ,? 五、向量的模、方向角、投影 向量的模與兩點間的距離公式 向量的模 222 zyxa ??? 點間距離 ? ? 231221221 )()( zzyyxxd ?????? 向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示式 1） 方向余弦 0321321 1},{1,}c os,c os,{ c o s aaaaaaaaaaaaa ????????????????? 2） 兩非零向量夾角余弦的計算公式ba babababa 332211,c os ??? 例 1 已知兩點 )2,2,2(1M 和 )0,3,1(2M ,計算向量 ?21MM 的模、方向余弦和方向角 向量在軸上的投影 （ 1） 定義 向量 a 在向量 u 上的投影 uaaa u ,cos)( ? （ 2）性質(zhì) 數(shù)量積 向量積 一、兩向量的數(shù)量積 bababa ,cos?? (1) 2aaa ?? (2)對非零向量 baba ?, 的充要條件是 0??ba (3) 非零向量 a 與 b 垂直的充要條件是 0332211 ????? babababa 例 1 試用向量證明余弦定理 例 2 已知三點 )2,1,2(),1,2,2(),1,1,1( BAM ,求 AMB? 二、 向量的向量積 bababa ,sin?? 兩非零向量平行的充要條件是 0??ba 向量叉乘運算律 （ 1） abba ???? （ 2）)()( )()( baba baba ??? ??? ?? ?? （ 3）bcacbac cbcacba ?????? ?????? )( )( 若 },{},{ 321321 bbbBaaa ? ,則321321bbbaaakjiba ?? 例 3 }1,1,2{ ??a 和 }2,1,1{ ??b ，計算 ba? 例 求直線??? ???? ???? 012 012: zyx zyxl與平面012: ???? zyxS 的夾角 ? 曲面及其方程 一、 曲面方程的概念 如果曲面 S與三元方程 0),( ?zyxF (1) 有下述關(guān)系： 1. 曲面 S上任一點的坐標(biāo)都滿足方程 (1)； 2. 不在曲面 S上的點的坐標(biāo)都不滿足方程 (1)， 那末，方程 (1)就叫做曲面 S的方程，而曲面 S就叫做方程 (1)的圖形。 3 雙曲拋物面 方程 （ p 和 q 同號）所表示的曲面叫做雙曲拋物面。 二、 空間曲線的參數(shù)方程 1. t為參數(shù) . 1. 方程組 表示怎樣的曲線 ? 三、 曲線在坐標(biāo)面上的投影 設(shè)空間曲線 C的一般方程為 由上述方程組消去變量 z， x， y后所得的方程分別為： H( x , y )=0 R( y , z )=0 T( x , z )=0 表示曲線 C在 xOy面上的投影 , 表示曲線 C在 yOz面上的投影 , 表示曲線 C在 xOz面上的投影。 例 2 求極限xyxyI yx 11lim00 ??? ??. 有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 性質(zhì) 1（最大值和最小值定理） 在有界閉區(qū)域 D上的多元連續(xù)函數(shù)，在 D上一定有最小值和最大值 。 定理 2 如果函數(shù) ),( yxu ?? 及 ),( yxv ?? 都在點 ),( yx 具有對 x 及對 y 的偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)),( vufz? 在對應(yīng)點 ),( vu 具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù) )],(),([ yxyxfz ??? 的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在，且有 ,xv vzxu uzxz ?? ????? ????? 復(fù)合函數(shù)的中間變量 既有一元函數(shù)，又有多元的情形。向量 T={φ39。 例 求曲線 32 , tztytx ??? 在點 )1,1,1( 處的切線方程和法平面方程。 方向?qū)?shù)與梯度 一、 方向?qū)?shù) 定理 如果函數(shù) ),( yxf 在點 ),( 00 yxP 可微分，那么函數(shù)在該點沿任一方向 l 的方向?qū)?shù)存在，且有 ?? c os),(c os),( 0000).( 00 yxfyxflf yxyx ???? 二、 梯度 jyxfiyxfyxg r a d f yx ),(),(),( 000000 ?? ?? c os),(c os),( 0000).( 00 yxfyxflf yxyx ???? = eyxgradf ?),( 00 多元函數(shù)極值的求法 一、 多 元函數(shù)的極值及最大值、最小值 定義 設(shè)函數(shù) ),( yxfz? 的定義域為 ),(, 00 yxPD O 為 D 的內(nèi)點，若存在 0p 的某個鄰域DPU ?)( 0 ,使得對于該鄰域內(nèi)異于 0P 的任何點 ),( yx ,都有 ),(),( 00 yxfyxf ? 則稱函數(shù) ),( yxf 在點 ),( 00 yx 有極大值 ),( 0 oyxf ,點 ),( oo yx 稱為函數(shù) ),( yxf 的極大值點。 第三步 定出 ACB2的符號，按定理 2的結(jié)論判定 f(x0,y0)是否是極值、是極大值還是極小值。 第 九 章：重積分 本章知識點 二重積分的概念和性質(zhì)。但 ρ （ x， y）是連續(xù)的，利用積分的思想，把薄片分成許多小塊后，只要小塊所占的小閉區(qū)域 D s i的直徑很小，這些小塊就 可以近似地看作均勻薄片。通過求和，取極限，便得出 。（ *） 其中 f（ x， y）叫做被積函數(shù)， f（ x， y） ds 叫做被積表達(dá)式， ds 叫做面積元素，x與 y叫做積分變量， D叫做積分區(qū)域， 叫做積分和。例如 。 性質(zhì) 6 設(shè) M， m分別是 f（ x， y）在閉區(qū)域 D上的最大值和最小值， s 是 D的面積，則有 。 為計算截面面積，在區(qū)間 [a， b] 上任意取定一點 x0，作平行于 yOz面的平面 x=x0。 類似地，如果積分區(qū)域 D可以用不等式 ψ 1（ y） ? x ? ψ 2（ y）， c?y?d 其中函數(shù) ψ 1（ y）、 ψ 2（ y）在區(qū)間 [c， d] 上連續(xù)，那末就有 。 例 1 計算 ，其中 D是由直線 y = x = 2及 y = x所圍成的閉區(qū)域。 。記作???? dxzyxf ),( . 三、 三重積分的計算 1． 利用直角坐標(biāo)計算三重 積分 ? ?xyDyxyxzzyxzzyx ????? ),(),(),(),( 21 . ?? ),(),(21 ),(),( yxz yxz dzzyxfyxF ??