【正文】 x,y)的極值的求法敘述如下： 第一步 解方程組 fx(x,y) = 0， fy(x,y) = 0， 求得一切實數(shù)解，即可求得一切駐點。 定理 1（必要條件） 設函數(shù) z = f(x,y)在點 (x0,y0)具有偏導數(shù)，且在點 (x0,y0)處有極值，則它在該點的偏導數(shù)必然為零： fx(x0,y0) = 0， fy(x0,y0) = 0。使函數(shù)取得極值的點稱為極值點。 方向?qū)?shù)與梯度 一、 方向?qū)?shù) 定理 如果函數(shù) ),( yxf 在點 ),( 00 yxP 可微分，那么函數(shù)在該點沿任一方向 l 的方向?qū)?shù)存在，且有 ?? c os),(c os),( 0000).( 00 yxfyxflf yxyx ???? 二、 梯度 jyxfiyxfyxg r a d f yx ),(),(),( 000000 ?? ?? c os),(c os),( 0000).( 00 yxfyxflf yxyx ???? = eyxgradf ?),( 00 多元函數(shù)極值的求法 一、 多 元函數(shù)的極值及最大值、最小值 定義 設函數(shù) ),( yxfz? 的定義域為 ),(, 00 yxPD O 為 D 的內(nèi)點，若存在 0p 的某個鄰域DPU ?)( 0 ,使得對于該鄰域內(nèi)異于 0P 的任何點 ),( yx ,都有 ),(),( 00 yxfyxf ? 則稱函數(shù) ),( yxf 在點 ),( 00 yx 有極大值 ),( 0 oyxf ,點 ),( oo yx 稱為函數(shù) ),( yxf 的極大值點。向量 n = {Fx（ x0， y0， z0）， Fy（ x0， y0， z0）， Fz（ x0， y0， z0） } 就是曲面 Σ 在點 M處的一個法向量。這切平面的方程是 Fx（ x0， y0， z0）（ xx0） +Fy（ x0， y0， z0）（ yy0） +Fz（ x0， y0， z0）（ zz0） = 0 通過點 M（ x0， y0， z0）而垂直于切平面的直線稱為曲面在該點的法線。則根據(jù)解析幾何，可得曲面上通過點 M的一切曲線在點M的切線都在同一個平面上。 例 求曲線 32 , tztytx ??? 在點 )1,1,1( 處的切線方程和法平面方程。 （ t0）（ yy0） +ω39。 通過點而與切線垂直的平面稱為曲線 Г 在點 M處的法平面，它是通過點 M（ x0， y0， z0）而以 T為法向量的平面 法平面的方程 φ39。 （ t0）， ω39。向量 T={φ39。在曲線 Г 上取對應于 t=t0的一點 M（ x0， y0， z0）。 例 1 04222 ???? zzyx 求22xz?? 三、 方程組的情形 隱函數(shù)存在定理 3 設 ),( vuyxF , ),( vuyxG 在點 ),( 0000 vuyxP 的某一鄰域內(nèi)具有對各個變量的連續(xù)的偏導數(shù)，又 0),( 0000 ?vuyxF ， 0),( 0000 ?vuyxG 且偏導數(shù)所組成的函數(shù)的行列式 vGuG vFuFvuGFJ???? ???????? ),( ),( 在點 ),( 0000 vuyxP 不等于零則有 。 上面公式就是隱函數(shù)的求導公式。 定理 2 如果函數(shù) ),( yxu ?? 及 ),( yxv ?? 都在點 ),( yx 具有對 x 及對 y 的偏導數(shù)，函數(shù)),( vufz? 在對應點 ),( vu 具有連續(xù)偏導數(shù)，則復合函數(shù) )],(),([ yxyxfz ??? 的兩個偏導數(shù)存在，且有 ,xv vzxu uzxz ?? ????? ????? 復合函數(shù)的中間變量 既有一元函數(shù)，又有多元的情形。 例 1 求 13 323 ???? xyxyyxz 的二階偏導數(shù) 例 2 驗證函數(shù) 22ln yxz ?? 滿足方程 02222 ?????? yzxz 全微分 全微分的概念 定義 如果函數(shù) ),( yxfz? 在點 ),( yx 的全增量 ),(),( yxfyyxxfz ??????? 可表示為 ),(?oyBxAz ?????? 其中 BA, 不依賴于 yx??, 而僅與 yx, 有關， 22 )()( yx ????? ,則稱函數(shù) ),( yxfz? 在點 ),( yx 可微分，而 .yBxA ??? 稱為函數(shù) ),( yxfz? 在點 ),( yx 的 全微分，記作 dz ,即 .yBxAdz ???? 定理 1 若函數(shù) ),( yxf 在點 ),( yx 可微，則函數(shù) ),( yxf 在點 ),( yx 的兩個偏導數(shù)存在，且 ByxfAyxf yx ?? ),(,),( 定理 2 如果函數(shù) ),( yxfz? 在點 ),( 00 yx 的兩個偏導數(shù)連續(xù)，則函數(shù) ),( yxf 在點),( 00 yx 可微 例 1 求函數(shù) 22 yyxz ?? 的全微分 全微分在近似計算中的應用 yyxfxyxfyxfyyxxf yx ????????? ),(),(),(),( 例 2 求 ) ( 43 ?? 的近似值 多元復合函數(shù)的求導法則 復合函數(shù)的中間變量均為一元函數(shù)的情形。 對于函數(shù) z=f(x,y)，求 時，只要把 y暫時看作常量而對 y求導。 一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的。 例 2 求極限xyxyI yx 11lim00 ??? ??. 有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 性質(zhì) 1（最大值和最小值定理） 在有界閉區(qū)域 D上的多元連續(xù)函數(shù)，在 D上一定有最小值和最大值 。 例 1 求 x yxyx),sin(lim)2,0(),( ? 四、多元函數(shù)的連續(xù)性 定義 設函數(shù) f(x,y)在開區(qū)域（或閉區(qū)域） D內(nèi)有定義， P0(x0,y0)是 D的內(nèi)點或邊界點且 P0∈D 。 四、直線與平面的夾角 直線與平面夾角 na na???sin 第 八 章：多元函數(shù)微分 法及其應用 本章知識點 多元函數(shù)的極限與連續(xù)性 偏導數(shù)的定義與計算 多元復合函數(shù)求導 隱函數(shù)求導 微分法在幾何上的應用 多元函數(shù)的極值 重點：全微分、多元復合函數(shù)求導、多元函數(shù)的極值 難點：多元復合函數(shù)求導 多元函數(shù)的基本概念 一、 平面點集 n 維空間 平面點集 (1)鄰域 (2)區(qū)域 (3)內(nèi)點 （ 4）外點 （ 5）聚點 (6)連通集 (7)有界集 n 維空間 ? ?niRxxxxRRRR inn ,2,1,),( 21 ??? ??????? . 二、 多元函