向量代數(shù)與空間解析幾何-文庫吧資料
2024-10-08 14:46本頁面
【正文】 影已知空間曲線和平面，從上每一點作平面的垂線，所有垂線所構成的投影曲面稱為空間曲線到平面的投影柱面（）．設空間曲線的方程為 （11）我們來求曲線在坐標平面上的投影曲線的方程．從方程組（11）中消去，得到一個不含變量的方程 ，它表示母線平行于軸的柱面，而且由于曲線上的點的坐標滿足方程組（11），．于是曲線在平面上的投影曲線的方程為： . 同理，從方程組（11）中消去（或），也可以得到曲線在坐標面（或）上的投影曲線的方程． 例4 求曲線：在坐標面和上的投影曲線的方程． 解 曲線是圓錐面和母線平行于軸的柱面的交線．由曲線方程組中消去，得到，即 ，它是曲線在坐標面的投影柱面的方程，因此曲線在坐標面上的投影曲線方程為 ，這是以為圓心，為半徑的圓． 因為曲面是過曲線且母線平行于軸的柱面，所以它就是曲線在坐標平面上的投影柱面，因而曲線在坐標平面上的投影曲線的方程為 ，這是一條拋物線．。 如果柱面的母線平行于軸，并且柱面與坐標面的交線方程為,則柱面上的其它點也滿足這方程，因此，以為準線，母線平行于軸的柱面的方程就是（）.同理，和分別表示母線平行于軸和軸的柱面．一般說來，若一個方程中缺少一個坐標，則這個方程所表示的軌跡是一個柱面，它的母線平行于所缺少的那個坐標的坐標軸，它的準線就是與母線垂直的坐標平面上，原方程所表示的平面曲線．例如 在平面上表示一個圓，而在空間中則表示一個以此圓為準線，母線平行于軸的柱面（），又如表示以此拋物線為準線，母線平行于軸的拋物柱面（）．：設為一條已知平面曲線，為所在平面外的一個固定點，過點引直線與相交，直線繞點沿移動所構成的曲面叫做錐面，點稱作頂點，動直線叫做錐面的母線，叫做準線．準線是圓的錐面叫做圓錐面（）．若圓錐頂點與準線的中心的連線與準線所在的平面垂直，這個圓錐面就叫做正圓錐面．ACOL(a)(b) 設為一直角三角形，我們以直角邊為軸，斜邊繞軸旋轉，為軸，建立一個直角坐標系，設，則點坐標為，設為母線上任一點，因∥，所以與成比例，故有，因 ，得 ，即 ．5．旋轉曲面(1)定義；一已知平面曲線繞平面上一定直線旋轉所成的曲面叫做旋轉曲面，定直線叫做旋轉曲面的軸，曲線的每一位置叫做這旋轉曲面的一條母線．軸母線軸母線軸母線（2）方程：面上一條曲線的方程為 ，這條曲線繞軸旋轉，就得到一個以軸為軸的旋轉曲面． 設為曲線上任一點（），則，當曲線繞軸旋轉時，點也繞軸旋轉到另一點，這時保持不變，且與軸的距離恒等于，即，因此， ．同理，曲線繞軸旋轉所成的旋轉曲面的方程為： 例2 橢圓 繞軸旋轉所成的曲面方程為 ．若以同一橢圓繞軸旋轉，則所成的曲面方程為 例3 拋物線 繞軸旋轉所成的曲面的方程是6．橢球面： 由方程acO （４）所確定的曲面叫做橢球面．這里都是正數(shù)（）． 橢球面的性質： 1）對稱性：橢球面對于坐標平面、坐標軸和坐標原點都對稱。 2．直線方程：設已知直線上一點與這條直線的方向向量，我們來建立這條直線的方程． 設是直線上任一點（），作向量，顯然與直線的方向向量平行．根據(jù)數(shù)乘向量的定義，可找到數(shù)，使其中是參數(shù)，因為 ，所以 ，于是 ， （4）（空間直線的參數(shù)方程）從（4）消去，得 ，（5）（標準方程或空間直線的點向式方程）．例1 求過點且平行于直線的直線的方程． 解 直線的方向量，因為所求直線與它平行，所以向量就是其方向向量，因此所求的方程為． 例2 求過兩點與的直線方程． 解 向量就是所求直線的方向向量，因此所求直線方程為 .（6）（空間直線的兩點
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