向量代數(shù)與空間解析幾何-資料下載頁
2025-09-25 14:46本頁面
【正文】 交的直線，交點為和． 3）坐標面和平行于的平面截曲面（5）的截痕與2）類似． 4）若，則（5）變成單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面．8．雙葉雙曲面由方程，確定的曲面叫雙葉雙曲面，這里為正數(shù)． 我們只討論 （6） 1）對于坐標面、坐標軸和原點都對稱，它與面和面的交線都是雙曲線． 和， 2）用平行于面的平面（）去截它，當時，截痕是一個橢圓，它的半軸隨的增大而增大，當時，截痕是一個點；時，沒有交點．顯然雙葉雙曲面有兩支，位于坐標面兩側(cè)，無限延伸（）．橢圓拋物面由方程 （7）確定的曲面叫做橢圓拋物面．它對于坐標面和坐標面對稱，對于軸也對稱，但是它沒有對稱中心，它與對稱軸的交點叫頂點，因，故整個曲面在面的上側(cè)，它與坐標面和坐標面的交線是拋物線 和 ，這兩條拋物線有共同的頂點和軸． 用平行于面的平面（）去截它，截痕是一個橢圓 ，這個橢圓的半軸隨增大而增大（）． 10．雙曲拋物面 由方程 （8）確定的曲面叫做雙曲拋物面．它對于坐標面和是對稱的，對軸也是對稱的，但是它沒有對稱中心，它與坐標面和坐標面的截痕是拋物線（）． 和 ，這兩條拋物線有共同的頂點和軸，但軸的方向相反．用平行于面的平面去截它，截痕是 ，當時，截痕總是雙曲線：若，雙曲線的實軸平行于軸；若，雙曲線的實軸平行于軸． 二、空間曲線 聯(lián)立方程組 （9）是空間曲線的一般方程． 例1 方程組 ，表示怎樣的曲線？ 解 第一個方程表示母線平行于軸的圓柱面，第二個方程表示一個平面，因此，方程組表示上述圓柱面與平面的交線（）. 例2 方程組 ，表示怎樣的曲線？ 解 第一個方程表示球心在坐標原點、半徑為的上半球面，第二個方程表示母線平行于軸的圓柱面，因此方程組就表示上述半球面與圓柱面的交線（）. 2. 空間曲線的參數(shù)方程 （10）其中為參數(shù) （空間曲線的參數(shù)方程） 例3 空間一動點在圓柱面上以角速度繞軸旋轉(zhuǎn)，同時又以線速度沿平行于軸的方向上升（這里與都是常數(shù))，動點運動的軌跡稱為螺線（），試建立其參數(shù)方程． 解 取時間為參數(shù)，當時，設(shè)動點在軸的點上，經(jīng)過時間，動點運動到點，從點作坐標平面的垂線與坐標面相交于點，坐標為，因為動點在圓柱面上以角速度繞軸旋轉(zhuǎn)，所以，從而 , ,又因為動點同時以線速度沿平行于軸的方向上升，所以,因此，螺旋線的參數(shù)方程為 .若取作為參數(shù)，則螺旋線的參數(shù)方程寫為 ,其中.3. 空間曲線在坐標平面上的投影已知空間曲線和平面，從上每一點作平面的垂線，所有垂線所構(gòu)成的投影曲面稱為空間曲線到平面的投影柱面（）．設(shè)空間曲線的方程為 （11）我們來求曲線在坐標平面上的投影曲線的方程．從方程組（11）中消去，得到一個不含變量的方程 ，它表示母線平行于軸的柱面，而且由于曲線上的點的坐標滿足方程組（11），．于是曲線在平面上的投影曲線的方程為： . 同理，從方程組（11）中消去（或），也可以得到曲線在坐標面（或）上的投影曲線的方程． 例4 求曲線：在坐標面和上的投影曲線的方程． 解 曲線是圓錐面和母線平行于軸的柱面的交線．由曲線方程組中消去，得到，即 ，它是曲線在坐標面的投影柱面的方程，因此曲線在坐標面上的投影曲線方程為 ，這是以為圓心，為半徑的圓． 因為曲面是過曲線且母線平行于軸的柱面，所以它就是曲線在坐標平面上的投影柱面，因而曲線在坐標平面上的投影曲線的方程為 ，這是一條拋物線．
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