【導(dǎo)讀】例1試證，正交向量組一定是線性無關(guān)的。例2填空：已知n階方陣A的特征值為n???，對(duì)應(yīng)的特征向量為nxxx,,,21?，對(duì)塑料布的特征向量為。設(shè)ＡＢ是正交矩陣，由數(shù)學(xué)歸納法易證*A是正效矩陣。yx，故（０，０）是零元，同理，為求??其余幾條均可驗(yàn)證成立，故Ｖ構(gòu)成Ｒ上的線性空間。通常的運(yùn)算，則相應(yīng)的零元與負(fù)元可能與我們熟悉的形式不同。R的下列子集是否構(gòu)成子空間？如果能構(gòu)成子空間，證明之；如果不能，舉出反例。是V的子空間，因210,0WW??則它們均為R2的子空間，取????不是R2的子空間。是V的子空間，這是因?yàn)?，?0W?解設(shè)實(shí)數(shù)4321,,,kkkk使得,044332211????

　　

【正文】 上線性空間 V 的線性變換， VP ?? ?? ,0 ，如果（ ），則 ? 是 A 的屬于特征值 0? 的特征向量。 26 A 是線性空間 V 的線性變換， )0(1A 是線性變換 A 的核，那么 ?)0(1A（ ） 27 設(shè) A 是線性空間 V 的線性變換，0?V是 A 的關(guān)于特征值 0? 的特征子空間，那么 ??? )(,0 ?? ? AV （ ）。 28．設(shè) A 是線性空間 V 的線性變換， A 的不變因子是 ,1)(1 ??d ,1)(2 ??d 23 )2)(1()( ??? ???d ，則 A 的初等因子是 ( )。 29．設(shè) gf, 是數(shù)域 P 上線性空間 V 的線性函數(shù)， gfV ??? ,? 作用于向量 ? 的結(jié)果是（ ） 30．設(shè)二次型 Axxxxxf n ??),( 21 ? 經(jīng)過可逆線性變換 Cyx? 化為二次型 Byy? ，那么矩 陣 B =（ ）。 31．設(shè) A 是數(shù)域 P上線性空間 V的線性變換， 0,0 ??? ??? VP ，如果（ ），則0? 是 A 的特征值。 32．設(shè) A 是線性空間 V 的線性變換，則 A 的值 域 ?VA （ ）。 33．設(shè) A 是線性空間 V 的線性變換， )0(1A 是 A 的核，那么 )0(1A??? ， ?)(?A （ ）。 34．設(shè) A 是數(shù)域 P 上 3 階矩陣，如果 A 的初等因子是 2)2(,1 ?? ?? ，則 A 的不變因子是（ ）。 35．設(shè) f 是數(shù)域 P 上線性空間 V 的線性函數(shù)， kfVPk , ??? ? 作用于向量 ? 的結(jié)果是（ ）。 36．設(shè) A是對(duì)稱矩陣， C 是可逆矩陣， ACCB ?? ，那么二次型 Axx? 經(jīng)過可逆線性變換（ ）化為二 Byy? 。 三 判斷題 （ ）設(shè) Axxxxxf n ??),( 21 ? 是正定二次型， s 是二次型的符號(hào)差，則 s 總是正數(shù)。 （ ） aaf 2: ? 到 R 到 R 的映射， bbg 2log: ? 是 R 到 R 的是映射，則 gf, 可逆 判別下面定義的映射，哪些是線性的，哪些不是：設(shè) P 是數(shù)域 （ ） 1） ? ? ? ? ? ?2332213321 ,, xxxxRPxxx ???? ?? （ ） 2） ? ? ? ? ?? ? ? ?3],[0111 fxfRxePaxaxaxaxf xnnn ?????? ?? ? （ ） 3） ? ? B X CXRPXPCB nmnm ???? ?? , （ ）設(shè) V 是 W 都是數(shù)域 P 上線性空間， R 是 V 和 V 的線性映射， m??? , 21 ? 是V 中 量，如果 m??? , 21 ? 線性相關(guān)， ? ? ? ? ? ?mRRR ??? , 21 ?也線性相關(guān)。 （ ）設(shè) V 是 W 都是數(shù)域 P 上線性空間， R 是 V和 V 的線性映射， m??? , 21 ? 是 V 中量，如果 m??? , 21 ? 線性無關(guān)， ? ? ? ? ? ?mRRR ??? , 21 ?也線性無關(guān)。 （ ）設(shè) P 是數(shù)域， ? ?PcbacbxaxV ???? ,2 ， V與 4P 的同構(gòu)。 （ ） 設(shè) P 是數(shù)域，數(shù)域上 P 上 nm? 矩陣組成的線性空間 mnnm PP 與? 同構(gòu)。 別以下定義的線性空間 V的變換，其中哪些是線性變換，哪些不是？ （ ） 1） V?? 是 一個(gè)固定向量， ???? xxRVx ?:, （ ） 2） V?? 是一個(gè)固定向量， ??xRVx :,?? （ ） 3） n??? , 21 ? 是 V 的基， nnaaa ???? ???? ?2211 112211: ????? nnaaaaR ??? ?? 11: ?aaR ? （ ）設(shè) ?,R 都是數(shù)域 P 上線性空間 V 的線性變換，并且 ?? ?? 22 ,RR ，那么由? ? ?? ??? RR 2 可以得到到 ???R （ ）設(shè) A 是線性空間 V 的線性變換，當(dāng) m、 n 是正整數(shù)時(shí)， nmnm RRR ?? ，當(dāng)m、 n 為任意數(shù)時(shí)這個(gè)結(jié)論仍成立。 1設(shè) A是線性空間 V 的線性變換， W1， W2 都是 A子空間，以下說法正確嗎？ （ ） 1） ? ?。0, 121 ??? RWRVW （ ） 2） 21 WW? 是 R子空 間； （ ） 3） 21 WW? 是 R子空間； （ ） 4） V 只有兩個(gè) R子空間； 1 V 是歐氏空間， V 的以下變換哪些是正交變換？哪些不是？ （ ） 1） ? ? ? ? ?? ????? ????? , RaRV （ ） 2） ? ? ??? ??? RV , （ ） 3） ? ? ? ?? ? ? ??????? , ????? RRV （ ） 4） R 在某組基下的矩陣是正交矩陣； （ ） 5） R 在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是正交矩陣。 13（ ）設(shè) R 是數(shù)域 P 上線性空間 V 的線性變換， 0? 是 R 的一個(gè)特征值。 ? ? ? ?? ?00 ???? alVRVW k?? W 是 R子空間。 1 ( ). 數(shù)域 P 上的全體 n 次多項(xiàng)式構(gòu)成數(shù)域 P 上的線性空間 . 1（ ）設(shè) A是 n 維歐氏空間的正交變換，則 A是可逆線性變換。 1設(shè) A 是歐氏空間 V 的正交變換， A 在基 ??? , 21 ? 下的矩陣為 A，以下說法正確的是： （ ） A是正交矩陣； （ ）當(dāng) ??? , 21 ? 是標(biāo)準(zhǔn) 正交基時(shí)， A是正交矩陣。 17（ ）設(shè) A是歐氏空間 V 的對(duì)稱變換， W 是 A子空間，則 ?W 也是 A子空間。 1（ ） A是歐氏空間 V 的可逆對(duì)稱變換， A是 V 的自同構(gòu)映射。 1（ ）設(shè) A 是數(shù)域 P 上的 n 階方陣，如果存在 ? ?jiaij ??0 ，則 AE?? 的標(biāo)準(zhǔn)形中 ? ? 11 ??d （ ）設(shè) A是數(shù)域 P 上 nn? 矩陣，則 AE?? 的標(biāo)準(zhǔn)形中主對(duì)角線上的元素都不為零 21 ( )取 ? ? VxxxPV nn ???? , 21 ?? ，定義 ? ? 31 ?? xf ? 判斷 f 是不是 V 上的線性函 22（ ）同一雙線性函數(shù)在不同基下的度量矩陣相同，這種說法對(duì)嗎 23（ ）與單位矩陣合同的矩陣都是可逆矩陣。 2（ ）已知某四維線性空間 V 上的雙線性函數(shù)在 4321 , ???? 下的坐標(biāo)表達(dá)式為 ? ? 3443323121 23, yxpxyxyxyxf ??????? 其中 43214321 ,, yyyyxxxx 分別是 V 量 ??與 的坐標(biāo)，判斷 f 是不是對(duì)稱雙線性函數(shù)。 2（ ） n 維線性空間 V 上的對(duì)稱雙線性函數(shù) f 在基某基下的坐標(biāo)表達(dá)式為 nnn yxdyxdyxd ??? ?222111 其中 0?id ? ?ni ,2,1 ?? ，則 f 為非退化的。 2（ ）與對(duì)稱矩陣合同的矩陣必為對(duì)稱陳，這個(gè)結(jié)論對(duì)嗎？ 27 ( )設(shè) A是一個(gè) 3 階實(shí)對(duì)稱矩陣，由 A確定的二次型 ? ? ? ? ???????????321321321 ,xxxAxxxxxxf 經(jīng) 可 逆 線 性 可 化 為 標(biāo) 準(zhǔn) 形? ? 2221321 2, yyxxxf ?? ，則 A的特征值是 1， 2， 0，這個(gè)結(jié)論對(duì)嗎？ 2（ ） 矩陣 BA與 相似的充分必要條件是它們有相同的不變因子 . 29 （ ）設(shè) A 為 n 階實(shí)矩陣，且 0?A ， AxAx 11 是正定二次型。 （ ）正定矩陣主對(duì)角線上的元素全大于零。 31（ ）當(dāng)對(duì)任意 ? ?121 , nxxxx ?? ，其中 0,0,0 21 ??? nxxx ?，都有二次型? ? 0, 121 ?? Axxxxxf n? ，則 ? ?nxxxf , 21 ? 正定。 32（ ）如果 A是正定矩陣，那么 1?A 也是正定矩陣。 33（ ）二次型 4121232221 44756 xxxxxxx ???? 是否正定。 34 （ ）設(shè) f 是線性空間 V 上的雙線性函數(shù)，如果 f 在某組基下的度量矩陣是可逆矩陣，則 f 是非退化的雙線性函數(shù)。 35．（ ）設(shè) Axxxxxf n ??),( 21 ? 是正定二次型， s 是二次型的符號(hào)差，則 s 總是正數(shù)。 36．（ ）正交變換在任一組基下的矩陣都是正交矩陣。 37．（ ）特征多項(xiàng)式相同的矩 陣相似。 38．（ ）設(shè) A是 nn? 矩陣 )1( ?n ， A的最小多項(xiàng)式是 12?x ，則 12?A . 39 （ ） 設(shè) 1? 和 2? 是 3 維幾何空間的兩個(gè)平面，它們的方程是 .0: ,0: 22222 11111 ???? ???? DzCyBxA DzCyBxA?? 如果 21//?? ，則 .21212121 DDCCBBAA ??? （ ）設(shè) 1? 和 2? 是 3 維幾何空間的兩個(gè)平面，它們的方程是 .0: ,0: 22222 11111 ???? ???? DzCyBxA DzCyBxA?? 如果21212121 DDCCBBAA ??? ，則 21//?? . 41．（ ）設(shè) f 是線性空間 V上的雙線性函數(shù)，如果 f 在某組基下的度量矩陣是可逆矩陣，則 f 是退化的雙線性函數(shù)。 42．（ ）設(shè) Axxxxxf n ??),( 21 ? 是正定二次型，則二次型的秩等于 .n 43．（ ）對(duì)稱變換在任意一組基下的矩陣是對(duì)稱矩陣 44．（ ）設(shè) A 是 nn? 矩陣， A 的最小多項(xiàng)式是 12?x ，則 A 相似于 對(duì)角矩陣。 四 解答題 求過點(diǎn)（ 1， 0， 0），（， 2， 0）和（ 0， 0， 1）的平面方程。 求過點(diǎn) ? ? ? ?1,2,1,1,1,1 21 MM 和 ? ?3,2,13M 的平面方程。 求過點(diǎn)、 ? ?1,1,31 ?M 和 ? ?0,1,12 ?M 且平行于失量（ 1， 0， 2）的平面方程。 ．設(shè)線性空間 V 的線性變換 A 在基 4321 , ???? 下的矩陣 ???????????????2020120000200012A 求： （ 1） A 的各級(jí)行列式因子； （ 2） A 的最小多項(xiàng)式。 設(shè)實(shí)二次型 434231214321 2662),( xxxxxxxxxxxxf ????， （ 1）寫出該二次型的矩陣； （ 2 用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出變換的矩陣和標(biāo)準(zhǔn)形。 設(shè)線性變換 A 在基 321 , ??? 下的矩陣 ??????????????10142681330A 求：（ 1） A 的初等因子； （ 2） A 的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形。 設(shè)實(shí)二次型 4342324131214321 222222),( xxxxxxxxxxxxxxxxf ??????， （ 1）寫出該二次型的矩陣； （ 2）用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出變換的矩陣和標(biāo)準(zhǔn)形。 求與平面 0325 ???? zyx 的垂直且通過 x 軸的平面方程。 求過原點(diǎn)且與平面 0138 ???? zyx 平行的平面方程。 將平面方程 0352 ???? zyx 化為法式方程并求原點(diǎn)到該平面的距離。 1 求與原點(diǎn)距離為 6 個(gè)單位，且在三坐檔軸 ozoyox , 上的截距之比為2:3:1:: ??cba 的平面方程。 1求通過點(diǎn) ? ?5,3,2 ??M 且與平面 02536 ???? zyx 的垂直的直線。 1 在直線 3 81 82 1 ????? zyx 上與原點(diǎn)相距 25 個(gè)單 位的點(diǎn)的坐標(biāo)。 1 求通