華科線性代數(shù)復(fù)習(xí)重點-資料下載頁
2025-08-05 03:43本頁面
【正文】 ；（矩陣方程）3. 矩陣與行向量組等價的充分必要條件是：齊次方程組和同解；(例14)4. ；(例15)5. 維向量線性相關(guān)的幾何意義：①、線性相關(guān) ；②、線性相關(guān) 坐標(biāo)成比例或共線（平行）；③、線性相關(guān) 共面；6. 線性相關(guān)與無關(guān)的兩套定理：若線性相關(guān)，則必線性相關(guān)；若線性無關(guān)，則必線性無關(guān)；（向量的個數(shù)加加減減，二者為對偶）若維向量組的每個向量上添上個分量，構(gòu)成維向量組：若線性無關(guān)，則也線性無關(guān)；反之若線性相關(guān)，則也線性相關(guān)；（向量組的維數(shù)加加減減）簡言之：無關(guān)組延長后仍無關(guān)，反之，不確定；7. 向量組（個數(shù)為）能由向量組（個數(shù)為）線性表示，且線性無關(guān)，則；向量組能由向量組線性表示，則； 向量組能由向量組線性表示有解； 向量組能由向量組等價8. 方陣可逆存在有限個初等矩陣，使；①、矩陣行等價：（左乘，可逆）與同解②、矩陣列等價：（右乘，可逆）；③、矩陣等價：（、可逆）；9. 對于矩陣與：①、若與行等價，則與的行秩相等；②、若與行等價，則與同解，且與的任何對應(yīng)的列向量組具有相同的線性相關(guān)性；③、矩陣的初等變換不改變矩陣的秩；④、矩陣的行秩等于列秩；10. 若，則：①、的列向量組能由的列向量組線性表示，為系數(shù)矩陣；②、的行向量組能由的行向量組線性表示，為系數(shù)矩陣；（轉(zhuǎn)置）11. 齊次方程組的解一定是的解，考試中可以直接作為定理使用，而無需證明；①、 只有零解只有零解；②、 有非零解一定存在非零解；12. 設(shè)向量組可由向量組線性表示為： （） 其中為，且線性無關(guān)，則組線性無關(guān)；（與的列向量組具有相同線性相關(guān)性）（必要性：；充分性：反證法） 注：當(dāng)時，為方陣，可當(dāng)作定理使用；13. ①、對矩陣，存在， 、的列向量線性無關(guān)； ②、對矩陣，存在， 、的行向量線性無關(guān)；14. 線性相關(guān)存在一組不全為0的數(shù)，使得成立；（定義）有非零解，即有非零解；，系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)的個數(shù)；15. 設(shè)的矩陣的秩為，則元齊次線性方程組的解集的秩為：；16. 若為的一個解，為的一個基礎(chǔ)解系，則線性無關(guān)； 相似矩陣1. 正交矩陣或（定義），性質(zhì)：①、的列向量都是單位向量，且兩兩正交，即；②、若為正交矩陣，則也為正交陣，且；③、若、正交陣，則也是正交陣； 注意：求解單位正交陣，千萬不要忘記施密特正交化和單位化；2. 施密特正交化：； 。3. 對于普通方陣，不同特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)；對于實對稱陣，不同特征值對應(yīng)的特征向量正交；
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