【正文】 相似對角化的充要條件（1）A有n個線性無關的特征向量（2）A的k重特征值有k個線性無關的特征向量1相似對角化的充分條件：（1）A有n個不同的特征值（不同特征值的特征向量線性無關）（2）A為實對稱矩陣1重要結論：（1）若A可相似對角化，則r（A）為非零特征值的個數，nr（A）為零特征值的個數（2）若A不可相似對角化，r（A）不一定為非零特征值的個數（四）實對稱矩陣1性質（1）特征值全為實數（2）不同特征值的特征向量正交（3）A可相似對角化，即存在可逆矩陣P使得P1AP=Λ（4）A可正交相似對角化，即存在正交矩陣Q，使得Q1AQ=QTAQ=Λ二次型（一）二次型及其標準形二次型：（1）一般形式（2）矩陣形式（常用）標準形：如果二次型只含平方項，即f（x1，x2，…，xn）=d1x12+d2x22+…+dnxn2這樣的二次型稱為標準形（對角線）二次型化為標準形的方法：（1）配方法：通過可逆線性變換x=Cy（C可逆），將二次型化為標準形。其中，可逆線性變換及標準形通過先配方再換元得到。★（2）正交變換法：通過正交變換x=Qy，將二次型化為標準形λ1y12+λ2y22+…+λnyn2其中，λ1，λ2，…，λn是A的n個特征值，Q為A的正交矩陣注:正交矩陣Q不唯一，γi與λi對應即可。（二）慣性定理及規(guī)范形定義：正慣性指數：標準形中正平方項的個數稱為正慣性指數，記為p；負慣性指數：標準形中負平方項的個數稱為負慣性指數，記為q；規(guī)范形：f=z12+…zp2zp+12…zp+q2稱為二次型的規(guī)范形。慣性定理：二次型無論選取怎樣的可逆線性變換為標準形，其正負慣性指數不變。注：（1）由于正負慣性指數不變，所以規(guī)范形唯一。（2）p=正特征值的個數，q=負特征值的個數，p+q=非零特征值的個數=r（A）（三）合同矩陣定義：A、B均為n階實對稱矩陣，若存在可逆矩陣C，使得B=CTAC，稱A與B合同△總結：n階實對稱矩陣A、B的關系（1）A、B相似（B=P1AP）←→相同的特征值（2）A、B合同（B=CTAC）←→相同的正負慣性指數←→相同的正負特征值的個數（3）A、B等價（B=PAQ）←→r（A）=r（B）注：實對稱矩陣相似必合同，合同必等價（四）正定二次型與正定矩陣正定的定義二次型xTAx，如果任意x≠0，恒有xTAx＞0，則稱二次型正定，并稱實對稱矩陣A是正定矩陣。n元二次型xTAx正定充要條件：（1）A的正慣性指數為n（2）A與E合同，即存在可逆矩陣C，使得A=CTC或CTAC=E（3）A的特征值均大于0（4）A的順序主子式均大于0（k階順序主子式為前k行前k列的行列式）n元二次型xTAx正定必要條件：（1）aii＞0（2）|A|＞01總結：二次型xTAx正定判定（大題）（1）A為數字：順序主子式均大于0（2）A為抽象：①證A為實對稱矩陣：AT=A；②再由定義或特征值判定1重要結論：（1）若A是正定矩陣，則kA（k＞0），Ak，AT，A1，A*正定（2）若A、B均為正定矩陣，則A+B正定第三篇：線性代數概念總結 每一個mn 矩陣總可經過有限次初等行變換化成行階梯陣與行簡化階梯陣，且行階梯陣中的非零行數是唯一確定的，行簡化階梯陣也是唯一確定的。 初等矩陣都是可逆的。且初等矩陣的逆矩陣仍是初等矩陣。 對矩陣Amn 做一次初等變換相當于在矩陣Amn 的左側乘以相應的m階初等矩陣；對矩陣Amn 做一次初等列變換想到與在矩陣Amn 右側乘以相應的n階初等矩陣。 n階可逆矩陣的行簡化階梯陣一定是單位矩陣。 方正A可逆的充分必要條件是A可以寫成有限個初等矩陣的乘積。第四篇：線性代數復習總結自考線性代數復習總結概念多、定理多、符號多、運算規(guī)律多、內容相互縱橫交錯，知識前后緊密聯系是線性代數課程的特點，故考生應充分理解概念，掌握定理的條件、結論、應用，熟悉符號意義，掌握各種運算規(guī)律、計算方法，并及時進行總結，抓聯系，使學知識能融會貫通，舉一反三，根據考試大綱的要求，這里再具體指出如下：行列式的重點是計算，利用性質熟練準確的計算出行列式的值。矩陣中除可逆陣、伴隨陣、分塊陣、初等陣等重要概念外，主要也是運算，其運算分兩個層次，一是矩陣的符號運算，二是具體矩陣的數值運算。例如在解矩陣方程中，首先進行矩陣的符號運算，將矩陣方程化簡，然后再代入數值，算出具體的結果，矩陣的求逆（包括簡單的分塊陣）（或抽象的，或具體的，或用定義，或是用公式A1= 1 A*，或A用初等行變換），A和A*的關系，矩陣乘積的行列式，方陣的冪等也是?？嫉膬热葜弧ｊP于向量，證明（或判別）向量組的線性相關（無關），線性表出等問題的關鍵在于深刻理解線性相關（無關）的概念及幾個相關定理的掌握，并要注意推證過程中邏輯的正確性及反證法的使用。向量組的極大無關組，等價向量組，向量組及矩陣的秩的概念，以及它們相互關系也是重點內容之一。用初等行變換是求向量組的極大無關組及向量組和矩陣秩的有效方法。在Rn中，基、坐標、基變換公式，坐標變換公式，過渡矩陣，線性無關向量組的標準正交化公式，應該概念清楚，計算熟練，當然在計算中列出關系式后，應先化簡，后代入具體的數值進行計算。行列式、矩陣、向量、方程組是線性代數的基本內容，它們不是孤立隔裂的，而是相互滲透，緊密聯系的，例如∣A∣≠0〈===〉A是可逆陣〈===〉r（A）=n（滿秩陣）〈===〉A的列（行）向量組線性無關〈===〉AX=0唯一零解〈===〉AX=b對任何b均有（唯一）解〈===〉A=P1 P2…PN，其中PI（I=1，2，…，N）是初等陣〈===〉r（AB）=r（B）A初等行變換 I〈===〉A的列（行）向量組是Rn的一個基〈===〉A可以是某兩個基之間的過渡矩陣等等。這種相互之間的聯系綜合命題創(chuàng)造了條件，故對考生而言，應該認真總結，開拓思路，善于分析，富于聯想使得對綜合的，有較多彎道的試題也能順利地到達彼岸。關于特征值、特征向量。一是要會求特征值、特征向量，對具體給定的數值矩陣，一般用特征方程∣λEA∣=0及（λEA）ξ=0即可，抽象的由給定矩陣的特征值求其相關矩陣的特征值（的取值范圍），可用定義Aξ=λξ，同時還應注意特征值和特征向量的性質及其應用，二是有關相似矩陣和相似對角化的問題，一般矩陣相似對角化的條件。實對稱矩陣的相似對角化及正交變換相似于對角陣，反過來，可由A的特征值，特征向量來確不定期A的參數或確定A，如果A是實對稱陣，利用不同特征值對應的特征向量相互正交，有時還可以由已知λ1的特征向量確定出λ2（λ2≠λ1）對應的特征向量，，用矩陣的方法研究二次型的問題主要有兩個：一是化二次型為標準形，這主要是正交變換法（這和實對稱陣正交相似對角陣是一個問題的兩種提法），在沒有其他要求的情況下，用配方法得到標準形可能更方便些；二是二次型的正定性問題，對具體的數值二次型，一般可用順序主子式是否全部大于零來判別，而抽象的由給定矩陣的正定性，證明相關矩陣的正定性時，可利用標準形，規(guī)范形，特征值等到證明，這時應熟悉二次型正定有關的充分條件和必要條件。第五篇：線性代數學習總結線性代數學習總結應化11 王陽（2110904024）時間真快，一轉眼看似漫長的大一就這樣在不知不覺中接近尾聲?？v觀一年大學的學習和生活，特別是在線代的學習過程中，實在是感慨頗多。在此，我就從老師教學和自身學習方面，談談自己的一點體會。老師在教學中，也應該以一些具體的實例入手來教學，如果脫離了實際應用，只是講抽象的概念和式子，是很難明白的，并且有實例的對照，可以加深記憶理論知識。然后要注重易混淆概念的區(qū)別，必要時應該拿出來單獨講講，比如矩陣和行列式的區(qū)別，矩陣只是為了計算線性方程而列的一個數據單而已，并無實際意義。而行列式和矩陣有本質的區(qū)別，行列式是一個具體的數值，并且行列式的行數和列數必須是相等的。其實老師在教學過程中，應該學會輕松一點，我不希望看到老師在講臺上講得滿頭大汗，而學生坐在下面聽得云里霧里的場面，這就需要老師能夠精選一些內容講解，不需要都講，而其他相關的內容讓學生自己通過舉一反三就得到就可以了。老師可以自己選一些經典的例子來講，而不一定要講書上的例子。然后對于例子中的計算，老師就可以不用算了，多叫學生動動手，增加我們的積極性，并且這樣也更能發(fā)現問題。再就是線性代數的課時少，這是一個客觀存在的原因，所以更要精講。而不需全部包攬。當然，若果能通過改革，增加課時是最好不過了。這也算一點小小的建議吧。再者，在自身學習過程中，我想說明的是，大學里的學習是不能靠其他任何人的，只能靠自己，老師只是起到一個引導作用。所以教材是我們最重要的學習資源，如果沒有書本，就是天才也不可能學好?？傮w看來，我們使用的課本題型簡單易懂，非常適合初學者學習。但它也有許多的不足之處，就個人在看這本教材時，覺得它舉得實例太少了，并且例子不太全面，本來線性代數是一門比較抽象的學科，加上計算量大，學時少，所以要學好它，就只有靠自己在課余時間多加練習，慢慢領悟那些概念性的東西。然后對于教材內容的側重點，我覺得應該放在線性方程組這一塊，因為它是其他問題的引出點，不管是矩陣，行列式，還是矩陣的秩和向量空間，都是為線性方程組服務的。我們對向量組的線性相關性的討論，還有對矩陣的秩，向量組的秩的計算，都是為了了解線性方程組的解的情況。在線性方程組的求解過程中，我們運用了矩陣的行變換來求基礎解系，當然這就相當于求極大無關組。還有對線性相關和線性無關的討論，這也關系到線性方程組的解。所以在改革中，應該拿線性方程組為應用的實例，來一步一步的解剖概念和定理。當然一些好的、典型的解題方法，也應該用具體的例子來講解，這是一本教材必須具備的。當然在學習過程中，我們應該具備能夠整體把握老師所講重點的能力，注意各個章節(jié)的聯系。數學中的概念往往不是孤立的，理解概念間的聯系既能促進新概念的引入，也有助于接近已學過概念的本質及整個概念體系的建立。如矩陣的秩與向量組的秩的聯系：矩陣的秩等于它的行向量組的秩，也等于它的列向量組的秩；矩陣行(列)滿秩，與向量組的線性相關和線性無關也有一定的聯系。知識體系是一環(huán)扣一環(huán)，環(huán)環(huán)相連的。前面的知識是后面學習的基礎，如用初等變換求矩陣的秩熟練與否，直接影響求向量組的秩及極大無關組，進一步影響到求由向量組生成的向量空間的基與維數；又如求解線性方程組的通解熟練與否，會影響到后面特征向量的求解，以及利用正交變換將二次型化為標準型等。因此，學習線性代數，一定要堅持溫故而知新的學習方法，及時復習鞏固，為此，老師課前的知識回顧以及學生提前預習是十分必要的。對于后來學的，應該多翻翻書看看前面是怎么說的，往往前面學習的內容是為后面做鋪墊的，所以在學了后面的知識后，再看前面的知識，會對前面的知識有一個新的認識，會更好的加深對它的理解和記憶。這一點上老師您做的很好。然后對于書上花了很大的篇幅寫的matlab實驗，我覺得這是好事，但是在教學中老師是不會教我們的，因為課時有限，這是情理當中的，但是作為學生，我覺得應該好好地利用書上的資源，單靠做練習的筆頭功夫是難以解決實際問題的。總的來說，在線代的學習過程中，老師你總是能夠調節(jié)課堂的氣氛，讓大家在開心的笑聲中學習，并穿插著一些為人處事的道理，這都將讓我們在以后的生活和工作中受益匪淺。很高興能在你的班上學習這門課，我想我會永遠記住您那一個個寧人忍俊不禁的冷笑話。