【正文】 相似對(duì)角化的充要條件（1）A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量（2）A的k重特征值有k個(gè)線性無關(guān)的特征向量1相似對(duì)角化的充分條件：（1）A有n個(gè)不同的特征值（不同特征值的特征向量線性無關(guān)）（2）A為實(shí)對(duì)稱矩陣1重要結(jié)論：（1）若A可相似對(duì)角化，則r（A）為非零特征值的個(gè)數(shù)，nr（A）為零特征值的個(gè)數(shù)（2）若A不可相似對(duì)角化，r（A）不一定為非零特征值的個(gè)數(shù)（四）實(shí)對(duì)稱矩陣1性質(zhì)（1）特征值全為實(shí)數(shù)（2）不同特征值的特征向量正交（3）A可相似對(duì)角化，即存在可逆矩陣P使得P1AP=Λ（4）A可正交相似對(duì)角化，即存在正交矩陣Q，使得Q1AQ=QTAQ=Λ二次型（一）二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形二次型：（1）一般形式（2）矩陣形式（常用）標(biāo)準(zhǔn)形：如果二次型只含平方項(xiàng)，即f（x1，x2，…，xn）=d1x12+d2x22+…+dnxn2這樣的二次型稱為標(biāo)準(zhǔn)形（對(duì)角線）二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形的方法：（1）配方法：通過可逆線性變換x=Cy（C可逆），將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形。其中，可逆線性變換及標(biāo)準(zhǔn)形通過先配方再換元得到?！铮?）正交變換法：通過正交變換x=Qy，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形λ1y12+λ2y22+…+λnyn2其中，λ1，λ2，…，λn是A的n個(gè)特征值，Q為A的正交矩陣注:正交矩陣Q不唯一，γi與λi對(duì)應(yīng)即可。（二）慣性定理及規(guī)范形定義：正慣性指數(shù)：標(biāo)準(zhǔn)形中正平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)稱為正慣性指數(shù)，記為p；負(fù)慣性指數(shù)：標(biāo)準(zhǔn)形中負(fù)平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)稱為負(fù)慣性指數(shù)，記為q；規(guī)范形：f=z12+…zp2zp+12…zp+q2稱為二次型的規(guī)范形。慣性定理：二次型無論選取怎樣的可逆線性變換為標(biāo)準(zhǔn)形，其正負(fù)慣性指數(shù)不變。注：（1）由于正負(fù)慣性指數(shù)不變，所以規(guī)范形唯一。（2）p=正特征值的個(gè)數(shù)，q=負(fù)特征值的個(gè)數(shù)，p+q=非零特征值的個(gè)數(shù)=r（A）（三）合同矩陣定義：A、B均為n階實(shí)對(duì)稱矩陣，若存在可逆矩陣C，使得B=CTAC，稱A與B合同△總結(jié)：n階實(shí)對(duì)稱矩陣A、B的關(guān)系（1）A、B相似（B=P1AP）←→相同的特征值（2）A、B合同（B=CTAC）←→相同的正負(fù)慣性指數(shù)←→相同的正負(fù)特征值的個(gè)數(shù)（3）A、B等價(jià)（B=PAQ）←→r（A）=r（B）注：實(shí)對(duì)稱矩陣相似必合同，合同必等價(jià)（四）正定二次型與正定矩陣正定的定義二次型xTAx，如果任意x≠0，恒有xTAx＞0，則稱二次型正定，并稱實(shí)對(duì)稱矩陣A是正定矩陣。n元二次型xTAx正定充要條件：（1）A的正慣性指數(shù)為n（2）A與E合同，即存在可逆矩陣C，使得A=CTC或CTAC=E（3）A的特征值均大于0（4）A的順序主子式均大于0（k階順序主子式為前k行前k列的行列式）n元二次型xTAx正定必要條件：（1）aii＞0（2）|A|＞01總結(jié)：二次型xTAx正定判定（大題）（1）A為數(shù)字：順序主子式均大于0（2）A為抽象：①證A為實(shí)對(duì)稱矩陣：AT=A；②再由定義或特征值判定1重要結(jié)論：（1）若A是正定矩陣，則kA（k＞0），Ak，AT，A1，A*正定（2）若A、B均為正定矩陣，則A+B正定第三篇：線性代數(shù)概念總結(jié) 每一個(gè)mn 矩陣總可經(jīng)過有限次初等行變換化成行階梯陣與行簡(jiǎn)化階梯陣，且行階梯陣中的非零行數(shù)是唯一確定的，行簡(jiǎn)化階梯陣也是唯一確定的。 初等矩陣都是可逆的。且初等矩陣的逆矩陣仍是初等矩陣。 對(duì)矩陣Amn 做一次初等變換相當(dāng)于在矩陣Amn 的左側(cè)乘以相應(yīng)的m階初等矩陣；對(duì)矩陣Amn 做一次初等列變換想到與在矩陣Amn 右側(cè)乘以相應(yīng)的n階初等矩陣。 n階可逆矩陣的行簡(jiǎn)化階梯陣一定是單位矩陣。 方正A可逆的充分必要條件是A可以寫成有限個(gè)初等矩陣的乘積。第四篇：線性代數(shù)復(fù)習(xí)總結(jié)自考線性代數(shù)復(fù)習(xí)總結(jié)概念多、定理多、符號(hào)多、運(yùn)算規(guī)律多、內(nèi)容相互縱橫交錯(cuò)，知識(shí)前后緊密聯(lián)系是線性代數(shù)課程的特點(diǎn)，故考生應(yīng)充分理解概念，掌握定理的條件、結(jié)論、應(yīng)用，熟悉符號(hào)意義，掌握各種運(yùn)算規(guī)律、計(jì)算方法，并及時(shí)進(jìn)行總結(jié)，抓聯(lián)系，使學(xué)知識(shí)能融會(huì)貫通，舉一反三，根據(jù)考試大綱的要求，這里再具體指出如下：行列式的重點(diǎn)是計(jì)算，利用性質(zhì)熟練準(zhǔn)確的計(jì)算出行列式的值。矩陣中除可逆陣、伴隨陣、分塊陣、初等陣等重要概念外，主要也是運(yùn)算，其運(yùn)算分兩個(gè)層次，一是矩陣的符號(hào)運(yùn)算，二是具體矩陣的數(shù)值運(yùn)算。例如在解矩陣方程中，首先進(jìn)行矩陣的符號(hào)運(yùn)算，將矩陣方程化簡(jiǎn)，然后再代入數(shù)值，算出具體的結(jié)果，矩陣的求逆（包括簡(jiǎn)單的分塊陣）（或抽象的，或具體的，或用定義，或是用公式A1= 1 A*，或A用初等行變換），A和A*的關(guān)系，矩陣乘積的行列式，方陣的冪等也是?？嫉膬?nèi)容之一。關(guān)于向量，證明（或判別）向量組的線性相關(guān)（無關(guān)），線性表出等問題的關(guān)鍵在于深刻理解線性相關(guān)（無關(guān)）的概念及幾個(gè)相關(guān)定理的掌握，并要注意推證過程中邏輯的正確性及反證法的使用。向量組的極大無關(guān)組，等價(jià)向量組，向量組及矩陣的秩的概念，以及它們相互關(guān)系也是重點(diǎn)內(nèi)容之一。用初等行變換是求向量組的極大無關(guān)組及向量組和矩陣秩的有效方法。在Rn中，基、坐標(biāo)、基變換公式，坐標(biāo)變換公式，過渡矩陣，線性無關(guān)向量組的標(biāo)準(zhǔn)正交化公式，應(yīng)該概念清楚，計(jì)算熟練，當(dāng)然在計(jì)算中列出關(guān)系式后，應(yīng)先化簡(jiǎn)，后代入具體的數(shù)值進(jìn)行計(jì)算。行列式、矩陣、向量、方程組是線性代數(shù)的基本內(nèi)容，它們不是孤立隔裂的，而是相互滲透，緊密聯(lián)系的，例如∣A∣≠0〈===〉A(chǔ)是可逆陣〈===〉r（A）=n（滿秩陣）〈===〉A(chǔ)的列（行）向量組線性無關(guān)〈===〉A(chǔ)X=0唯一零解〈===〉A(chǔ)X=b對(duì)任何b均有（唯一）解〈===〉A(chǔ)=P1 P2…PN，其中PI（I=1，2，…，N）是初等陣〈===〉r（AB）=r（B）A初等行變換 I〈===〉A(chǔ)的列（行）向量組是Rn的一個(gè)基〈===〉A(chǔ)可以是某兩個(gè)基之間的過渡矩陣等等。這種相互之間的聯(lián)系綜合命題創(chuàng)造了條件，故對(duì)考生而言，應(yīng)該認(rèn)真總結(jié)，開拓思路，善于分析，富于聯(lián)想使得對(duì)綜合的，有較多彎道的試題也能順利地到達(dá)彼岸。關(guān)于特征值、特征向量。一是要會(huì)求特征值、特征向量，對(duì)具體給定的數(shù)值矩陣，一般用特征方程∣λEA∣=0及（λEA）ξ=0即可，抽象的由給定矩陣的特征值求其相關(guān)矩陣的特征值（的取值范圍），可用定義Aξ=λξ，同時(shí)還應(yīng)注意特征值和特征向量的性質(zhì)及其應(yīng)用，二是有關(guān)相似矩陣和相似對(duì)角化的問題，一般矩陣相似對(duì)角化的條件。實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化及正交變換相似于對(duì)角陣，反過來，可由A的特征值，特征向量來確不定期A的參數(shù)或確定A，如果A是實(shí)對(duì)稱陣，利用不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量相互正交，有時(shí)還可以由已知λ1的特征向量確定出λ2（λ2≠λ1）對(duì)應(yīng)的特征向量，，用矩陣的方法研究二次型的問題主要有兩個(gè)：一是化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，這主要是正交變換法（這和實(shí)對(duì)稱陣正交相似對(duì)角陣是一個(gè)問題的兩種提法），在沒有其他要求的情況下，用配方法得到標(biāo)準(zhǔn)形可能更方便些；二是二次型的正定性問題，對(duì)具體的數(shù)值二次型，一般可用順序主子式是否全部大于零來判別，而抽象的由給定矩陣的正定性，證明相關(guān)矩陣的正定性時(shí)，可利用標(biāo)準(zhǔn)形，規(guī)范形，特征值等到證明，這時(shí)應(yīng)熟悉二次型正定有關(guān)的充分條件和必要條件。第五篇：線性代數(shù)學(xué)習(xí)總結(jié)線性代數(shù)學(xué)習(xí)總結(jié)應(yīng)化11 王陽（2110904024）時(shí)間真快，一轉(zhuǎn)眼看似漫長(zhǎng)的大一就這樣在不知不覺中接近尾聲?？v觀一年大學(xué)的學(xué)習(xí)和生活，特別是在線代的學(xué)習(xí)過程中，實(shí)在是感慨頗多。在此，我就從老師教學(xué)和自身學(xué)習(xí)方面，談?wù)勛约旱囊稽c(diǎn)體會(huì)。老師在教學(xué)中，也應(yīng)該以一些具體的實(shí)例入手來教學(xué)，如果脫離了實(shí)際應(yīng)用，只是講抽象的概念和式子，是很難明白的，并且有實(shí)例的對(duì)照，可以加深記憶理論知識(shí)。然后要注重易混淆概念的區(qū)別，必要時(shí)應(yīng)該拿出來單獨(dú)講講，比如矩陣和行列式的區(qū)別，矩陣只是為了計(jì)算線性方程而列的一個(gè)數(shù)據(jù)單而已，并無實(shí)際意義。而行列式和矩陣有本質(zhì)的區(qū)別，行列式是一個(gè)具體的數(shù)值，并且行列式的行數(shù)和列數(shù)必須是相等的。其實(shí)老師在教學(xué)過程中，應(yīng)該學(xué)會(huì)輕松一點(diǎn)，我不希望看到老師在講臺(tái)上講得滿頭大汗，而學(xué)生坐在下面聽得云里霧里的場(chǎng)面，這就需要老師能夠精選一些內(nèi)容講解，不需要都講，而其他相關(guān)的內(nèi)容讓學(xué)生自己通過舉一反三就得到就可以了。老師可以自己選一些經(jīng)典的例子來講，而不一定要講書上的例子。然后對(duì)于例子中的計(jì)算，老師就可以不用算了，多叫學(xué)生動(dòng)動(dòng)手，增加我們的積極性，并且這樣也更能發(fā)現(xiàn)問題。再就是線性代數(shù)的課時(shí)少，這是一個(gè)客觀存在的原因，所以更要精講。而不需全部包攬。當(dāng)然，若果能通過改革，增加課時(shí)是最好不過了。這也算一點(diǎn)小小的建議吧。再者，在自身學(xué)習(xí)過程中，我想說明的是，大學(xué)里的學(xué)習(xí)是不能靠其他任何人的，只能靠自己，老師只是起到一個(gè)引導(dǎo)作用。所以教材是我們最重要的學(xué)習(xí)資源，如果沒有書本，就是天才也不可能學(xué)好。總體看來，我們使用的課本題型簡(jiǎn)單易懂，非常適合初學(xué)者學(xué)習(xí)。但它也有許多的不足之處，就個(gè)人在看這本教材時(shí)，覺得它舉得實(shí)例太少了，并且例子不太全面，本來線性代數(shù)是一門比較抽象的學(xué)科，加上計(jì)算量大，學(xué)時(shí)少，所以要學(xué)好它，就只有靠自己在課余時(shí)間多加練習(xí)，慢慢領(lǐng)悟那些概念性的東西。然后對(duì)于教材內(nèi)容的側(cè)重點(diǎn)，我覺得應(yīng)該放在線性方程組這一塊，因?yàn)樗瞧渌麊栴}的引出點(diǎn)，不管是矩陣，行列式，還是矩陣的秩和向量空間，都是為線性方程組服務(wù)的。我們對(duì)向量組的線性相關(guān)性的討論，還有對(duì)矩陣的秩，向量組的秩的計(jì)算，都是為了了解線性方程組的解的情況。在線性方程組的求解過程中，我們運(yùn)用了矩陣的行變換來求基礎(chǔ)解系，當(dāng)然這就相當(dāng)于求極大無關(guān)組。還有對(duì)線性相關(guān)和線性無關(guān)的討論，這也關(guān)系到線性方程組的解。所以在改革中，應(yīng)該拿線性方程組為應(yīng)用的實(shí)例，來一步一步的解剖概念和定理。當(dāng)然一些好的、典型的解題方法，也應(yīng)該用具體的例子來講解，這是一本教材必須具備的。當(dāng)然在學(xué)習(xí)過程中，我們應(yīng)該具備能夠整體把握老師所講重點(diǎn)的能力，注意各個(gè)章節(jié)的聯(lián)系。數(shù)學(xué)中的概念往往不是孤立的，理解概念間的聯(lián)系既能促進(jìn)新概念的引入，也有助于接近已學(xué)過概念的本質(zhì)及整個(gè)概念體系的建立。如矩陣的秩與向量組的秩的聯(lián)系：矩陣的秩等于它的行向量組的秩，也等于它的列向量組的秩；矩陣行(列)滿秩，與向量組的線性相關(guān)和線性無關(guān)也有一定的聯(lián)系。知識(shí)體系是一環(huán)扣一環(huán)，環(huán)環(huán)相連的。前面的知識(shí)是后面學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，如用初等變換求矩陣的秩熟練與否，直接影響求向量組的秩及極大無關(guān)組，進(jìn)一步影響到求由向量組生成的向量空間的基與維數(shù)；又如求解線性方程組的通解熟練與否，會(huì)影響到后面特征向量的求解，以及利用正交變換將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型等。因此，學(xué)習(xí)線性代數(shù)，一定要堅(jiān)持溫故而知新的學(xué)習(xí)方法，及時(shí)復(fù)習(xí)鞏固，為此，老師課前的知識(shí)回顧以及學(xué)生提前預(yù)習(xí)是十分必要的。對(duì)于后來學(xué)的，應(yīng)該多翻翻書看看前面是怎么說的，往往前面學(xué)習(xí)的內(nèi)容是為后面做鋪墊的，所以在學(xué)了后面的知識(shí)后，再看前面的知識(shí)，會(huì)對(duì)前面的知識(shí)有一個(gè)新的認(rèn)識(shí)，會(huì)更好的加深對(duì)它的理解和記憶。這一點(diǎn)上老師您做的很好。然后對(duì)于書上花了很大的篇幅寫的matlab實(shí)驗(yàn)，我覺得這是好事，但是在教學(xué)中老師是不會(huì)教我們的，因?yàn)檎n時(shí)有限，這是情理當(dāng)中的，但是作為學(xué)生，我覺得應(yīng)該好好地利用書上的資源，單靠做練習(xí)的筆頭功夫是難以解決實(shí)際問題的。總的來說，在線代的學(xué)習(xí)過程中，老師你總是能夠調(diào)節(jié)課堂的氣氛，讓大家在開心的笑聲中學(xué)習(xí)，并穿插著一些為人處事的道理，這都將讓我們?cè)谝院蟮纳詈凸ぷ髦惺芤娣藴\。很高興能在你的班上學(xué)習(xí)這門課，我想我會(huì)永遠(yuǎn)記住您那一個(gè)個(gè)寧人忍俊不禁的冷笑話。