【正文】 21 42522x2x3)+3x3=2x12+3(x2+x3)2+x3 333236。y1=x1236。x1=y1239。239。22239。239。令 237。y2=x2+x3即 237。x2=y2y333239。239。239。239。238。y3=x3238。x3=y3230。100246。231。247。2令P=231。01247。231。3247。231。001247。232。248。（1）f1=2x1+3(x2+22則二次型f1經(jīng)可逆線性變換x=Py化成標(biāo)準(zhǔn)形2f1=2y12+3y2+52y3 3236。2z1236。239。y1=2239。z1=2y1239。239。239。3239。239。z2若再令 237。z2=3y2即 237。y2=3239。239。15239。239。z=15y33y=z3239。239。33238。5239。238。230。2246。231。247。2231。247。231。247。3令Q=231。247。3231。247。231。15247。231。247。231。5247。232。248。原二次型f1經(jīng)可逆線性變換x=PQz化成規(guī)范形=z12+z2+z3（2）f2=(x1+2x1x22x1x4)+x2+x3+x42x2x3+2x3x4=(x1+x2x4)2+x32x2x3+2x3x4+2x2x4 2=(x1+x2x4)2+(x3x2+x4)2(x22x4)2+3x4 2222236。y1=x1+x2x4239。y=x2x239。224令237。即239。y3=x2+x3+x4239。238。y4=x4 122236。x1=y1y2y4239。x=y+2y239。224 237。239。x3=y2+y3+y4239。238。x4=y4230。11231。0101246。247。02令P=231。231。247。231。0111247。231。232。0001247。247。248。則二次型f2經(jīng)可逆線性變換x=Py化成標(biāo)準(zhǔn)形f2y22+3y22=y12+y34 236。236。239。z1=y1239。y1=z1239。若再令 239。237。z2=y2即 239。y2=z2239。z237。y 3=y3239。239。3=z3238。z4=3y4239。239。238。y4=33z4230。231。1246。231。1247。247。令Q=231。231。1247。 231。247。231。3247。232。3247。248。原二次型f=PQz化成規(guī)范形f22222經(jīng)可逆線性變換x2=z1z2+z3+230。20（1）設(shè)A=231。0246。231。032247。247。231。232。023247。248。230。230。20010246。231。246。200100247。(AME231。247。03)=231。03201231。247。190。190。190。190。0r+(233)180。r2c(2174。231。030010247。3+231。247。232。02300247。248。13)180。c2231。231。52247。232。003031247。248。230。231。100100246。1231。2247。247。190。190。190。190。190。12180。r112180。c1174。231。010010247。3180。r1231。247。 23180。c215231。35180。r15247。35180。c3231。231。21515247。232。0010155247。248。 123 230。231。10231。1令 P1=231。0231。2231。03232。246。0247。247。0247。,247。1247。248。T230。231。231。231。P2=231。231。231。231。232。120001321515246。0247。247。247。0247。 247。15247。247。5248。22T則原二次型f1經(jīng)過可逆線性變換x=P1y化成標(biāo)準(zhǔn)形f1=2y1+3y2+222可逆線性變換x=P2z化成規(guī)范形f1=z1.+z2+247。1110247。（2）設(shè)A=231。231。0111247。231。231。1011247。247。232。248。101100246。0230。1231。247。11100100231。247。(AME4)= 231。01110010247。231。231。10110001247。247。232。248。230。10011000246。230。10001231。247。231。0011110000111r2+(1)180。r1r4+r1231。247。231。190。190。190。190。174。190。190。190。174。c2+(1)180。c1231。01110010247。c4+c1231。01110231。231。231。11110001247。247。231。01101232。248。232。230。10001000246。230。10001231。247。231。0011110000011r3+r2r3+r4231。247。231。190。190。190。174。190。190。190。174。c3+c2231。01121110247。c3+c4231。00320231。231。231。01201001247。247。231。01201232。248。232。230。10001000246。230。10001231。247。231。0001110002010r3+(2)180。r2r2+r4231。247。231。190。190。190。190。174。190。190。190。174。c3+(2)180。c2231。00302111247。c2+c4231。00302231。231。231。01001001247。247。231。01001232。248。232。230。10001000246。231。247。020001011231。247。r4+()180。r22190。190。190。190。174。231。00302111247。 1c4+()180。c2231。247。2111231。247。10231。000247。232。222248。 124000246。247。100247。010247。247。001247。248。000246。247。100247。111247。247。001247。248。000246。247。101247。111247。247。001247。248。230。1231。231。0231。11180。r2180。c222190。190。190。190。190。174。231。11231。0180。r3180。c333231。2180。r42180。c4231。231。0231。232。***0123322003300010246。247。1247。230。1231。2247。231。0247。令 P1=231。2333247。231。333247。231。231。1247。232。22247。0247。22248。12222f=y+2y+=P化成標(biāo)準(zhǔn)形y212312經(jīng)可逆線性變換x=P2z化成規(guī)范形222 f2=z12+z2+z3z4230。1T231。000246。231。0247。231。101247。231。247。P2=231。23111247。231。311247。0247。231。22248。231。2231。232。0246。247。1247。2247。247。3247。 3247。247。2247。247。2248。00102T用正交變換法求解230。200246。231。247。（1）f1的矩陣為A=231。032247。，231。023247。232。248。l200由|lEA|=知A的特征值為1,2,=(l1)(l2)(l5)，l3230。100246。230。x1246。230。0246。230。x1246。230。0246。230。0246。231。247。231。247。231。247。231。247。231。247。231。247。對(duì)l1=1，解231。022247。231。x2247。=231。0247。，得231。x2247。=k231。1247。，取T1=231。1247。，單位化231。1247。231。022247。231。x247。231。0247。231。x247。231。1247。232。248。232。248。232。3248。232。248。232。3248。232。248。230。246。231。0247。231。247。230。000246。230。x1246。230。0246。230。x1246。230。1246。230。1246。2247。231。247。231。247。231。247。231。247。231。247。231。247。P==0x=k0P1=231。，對(duì)l2=2，解231。012247。231。x247。，得，取22231。0247。，231。2247。231。247。231。247。231。2247。231。0247。231。x247。231。0247。231。02247。231。0247。231。247。1247。231。232。248。232。3248。232。248。232。248。232。x3248。232。248。2247。231。231。247。232。2248。125 0246。230。x1246。230。0246。230。30231。247。231。247。231。247。對(duì)l3=5解231。022247。231。x2247。=231。0247。，得231。022247。231。x247。231。0247。232。248。232。3248。232。248。230。x1246。230。0246。230。0246。231。247。231。247。231。247。x=k1T= 取32231。1247。，單位化得231。247。231。247。231。1247。231。x247。231。1247。232。248。232。3248。232。248。230。231。231。P3=231。231。231。231。231。232。246。230。231。00247。247。231。2247。231。2，令 P=231。22247。247。231。2247。2231。247。231。2248。232。2100246。0247。247。2247。，則P為正交陣，經(jīng)正交變換X=PY，247。2247。2247。247。2248。222原二次型f化為f=XTAX=y1.+2y2+5y3230。1101246。231。247。1110247。（2）f2的矩陣為A=231。231。0111247。231。231。1011247。247。232。248。l11011l110由|lEA|==(l+1)(l3)(l1)201l11101l1知A的特征值為1,3,1,247。231。247。231。x247。231。247。231。247。231。247。x12100122247。231。247。=231。247。, 得231。247。=k231。247。，取T=231。1247。對(duì)l1=1，解231。1231。x3247。231。01231。247。231。1247。231。1247。21247。231。x3247。0231。231。247。231。247。231。247。231。231。231。1247。247。231。x247。247。231。1247。247。x10120232。248。232。4248。232。248。232。248。232。4248。232。248。230。1246。231。2247。231。247。230。21231。247。231。1231。2247。231。單位化得P1=231。對(duì)l2=3，解247。，231。01231。247。231。231。2247。232。1231。1247。231。247。232。2248。10210246。230。x1246。0230。247。231。247。231。10247。231。x2247。0231。=21247。231。x3247。0231。247。231。247。231。12248。232。x4248。0232。1246。247。247。, 得 247。247。248。230。x1246。230。1246。231。247。231。247。x2231。247。=k231。1247。.231。x3247。231。1247。231。231。231。1247。247。231。x247。247。232。248。232。4248。 126230。1246。231。2247。230。231。1246。231。取T1247。231。247。231。1247。2247。2=231。231。247。231。1247。單位化得 P2=231。231。231。1247。.247。232。1247。247。248。231。231。2247。1247。231。232。2247。248。對(duì)l3=l4=1，解230。231。0101246。230。x1246。230。x1246。231。1010247。231。247。230。231。0246。230。1246。230。x0247。231。x247。231。247。231。0246。247。20231。247。231。2247。=231。247。,得231。231。0101247。232。1010247。231。248。231。x3247。232。x247。231。231。0247。247。231。231。x247。247。=k1231。231。247。+k231。1247。 3231。1247。2231。0247。4248。232。0248。231。232。x247。4247。248。231。232。0247。247。248。231。231。232。1247。247。248。230。231。1246。230。取T3=231。0247。231。247。231。0246。,T4=231。1247。247。，231。1247。231。231。232。0247。247。248。231。0247。231。232。1247。247。248。230。231。2246。230。0246。231。2247。231。247。再令P231。0247。247。231。2247。3=231。,P=231。2247。231。2247。4231。0247。 231。247。231。247。231。2247。231。2232。0247。248。231。247。232。2247。248。230。231。11246。231。22220247。231。247。231。112247。令 P=231。2202247。231。247。231。112，則P為正交陣，經(jīng)正交變換X=PY，0247。231。222247。231。247。231。11232。2202247。2247。248。原二次型f化為f=XTAX=y22221+3y2+y3+．判斷下列二次型正定，負(fù)定還是不定.（1）f2221=2x26x24x3+2x1x2+2x1x3127 解：二次型f1的矩陣為1246。230。21231。247。A=231。160247。231。104247。232。248。A的各階順序全子式20,21162=110,111160=38（2）f2=x1+3x2+9x3+19x42x1x2+4x1x3+2x1x46x2x412x3x4解：二次型f2的矩陣為230。1121246。231。247。1303247。 A=231。231。2096247。231。231。13619247。247。232。248。A的各階順序主子式112111211130310,=20，130=60，=240（3）f3=x1+x2+14x3+7x4+6x1x3+4x1x44x2x3解：二次型f3的矩陣為230。103231。012231。A=231。3214231。231。200232。A的各階順序主子式2246。247。0247。 0247。247。7247。248。20=330,10310012=10，012=10，30．求一可逆線性變換X=CY，把二次型f1=2x1+5x2+4x32x1x24x1x3化成 128規(guī)范形fy22+y21=1+y23，同時(shí)也把二次型 f32=2x222x21+3x2+32x1x32x1x34x2x3 化成標(biāo)準(zhǔn)形f2222=k1y1+k2y2+：記f1=XTAX，其中230。A=231。212246。231。150247。232。204247。231。247。248。230。200230。231。212246。231。246。247。231。150247。231。247。091247。r230。A246。231。204247。3+r1231。r1r231。1231。2247。012247。232。E247。248。=231。231。100247。190。190。190。2+2174。231。247。 231。247。c3+c1c12+c1231。231。111247。2247。231。010247。231。232。001247。247。231。2247。248。231。010231。247。232。001247。248。230。231。200246。00246。231。9247。230。110247。231。00247。231。231。247。r1180。1231。02216247。2231。001247。247。025247。190。190。190。r2231。03+9r2231。9247。r2180。3231。247。3231。1247。c2174。3+66247。9c2231。231。1110247。190。190。190。r3180。4c1180。1174。231。22231。231。29247。21247。247。231。2247。c2180。23231。231。0247。c3231。013180。436247。231。231。9247。231。231。232。001247。247。03247。247。248。231。232。04247。248。230。231。125246。231。266247。231。247。取 P=231。231。021247。36247。，則PTAP=E 231。247。231。3247。231。00232。4247。247。248。記fT2=XBX，其中129 230。3246。01231。2247。231。247。B=231。032247。231。122247。231。247。232。248。230。231。100246。230。231。2247。12246。5247。230。231。31246。231。247。20266247。則 BT231。22247。231。247。231。032247。231。21247。1=PBP=231。0231。63247。231。247。 231。247。231。247。231。0122247。231。36247。231。513247。231。247。231。3247。231。232。664247。247。248。232。248。231。231。00247。232。4247。248。230。231。31246。11246。231。220230。2247。231。125246。266247。230。247。231。34422247。=231。247。231。231。252247。231。42231。021247。231。247。=231。247。132247。231。6247。231。247。231。36247。231。231。444247。 247。231。1231。11247。231。232。23247。247。231。00