【正文】 向量為C12(C1185。0)(3分）231。247。231。1247。232。248。230。1i231。l=i2時，AlE=0231。231。1232。230。1231。174。0231。231。1+i232。0i11i3246。230。1247。231。4174。0247。231。247。231。02248。232。1i+10010246。247。4247。247。i+3248。2i3246。247。2i+2247。0247。248。230。i+3246。231。247。所以l=i2時對應(yīng)的特征向量為C22i2(C2185。0)(3分）231。247。231。247。1232。248。顯然A不能相似對角化(2分）八題、證明題 [教師答題時間： 7 分鐘]（共13分）230。1231。1)證明：（b1，b，b）＝（a，a，a）22312231。3231。0232。230。1231。設(shè)K=2231。231。0232。0231246。247。0,顯然K185。0,∴K可逆（2分）247。3247。248。0231246。247。0（2分）247。3247。248。1 ∴（a1，a，a）=（b，b，2b）K2313故b1，b，b與a，a，2a等3價，而a，a，a2線性3無關(guān)2311∴b1，b，b線性無關(guān)（3分）232)證明：因?yàn)锳為正交陣，故A=177。1,而A0，∴A=1(2分）E＋A＝AA＋A=AA＋E=AA＋E=E＋A(2分）故A＋E＝0，所以E＋A不可逆(2分）TT第五篇：線性代數(shù)試題A答案20062007學(xué)年第二學(xué)期線性代數(shù)試題A卷參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)一．填空題（本題滿分12分，每小題3分）230。120231。0231。25231。111；3；A=00231。3231。1231。231。003232。0246。247。0247。2247。；2 247。3247。1247。247。3248。二、選擇題（本題滿分12分，每小題3分，．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi)）1．C；2．C；3．A；B 三．計(jì)算行列式（本題滿分6分）解1 10Dn=001110010L0011100011=100010100200L03LL1L00L0100L00n31LL011LLLLLLLLLLLL分Ln1=n3分解2 10Dn=001110010L00111000=Dn1+13分 1LL011LLLLLLLL11=n3分四．（本題滿分12分）解：⑴ 由等式A+B=AB，得A+BAB+E=E，即(AE)(BE)=E3分 因此矩陣AE可逆，而且(AE)=BE．2分1⑵ 由⑴知，AE=(BE)，即A=(BE)+E11A=(BE)+E或A=B(BE)12分 1230。231。01030100230。246。230。246。231。231。247。231。247。1=231。200247。+231。010247。=231。3231。001247。231。001247。231。231。0232。248。232。248。231。232。230。231。1231。1=231。231。3231。0231。232。1210246。0247。247。0247。 2分 247。2247。247。248。1200246。0247。100246。247。230。231。247。0247。+231。010247。3分 247。231。247。1247。232。001248。247。248。五．（本題滿分14分）解：110249。233。1233。11234。01234。0221174。234。A=234。234。01a32b234。0234。234。321a1235。235。01110249。12214分 0a10b+100a10所以，⑴ 當(dāng)a185。1時，rA=r(A)=4，此時線性方程組有唯一解．2分⑵ 當(dāng)a=1，b185。1時，r(A)=2，rA=3，此時線性方程組無解．2分⑶ 當(dāng)a=1，b=1時，rA=r(A)=2，此時線性方程組有無窮多組解．2分此時，原線性方程組化為()()()236。x1+x2+x3+x4=0 237。238。x2+2x3+2x4=1因此，原線性方程組的通解為236。x1=x3+x41239。x=2x2x+1239。234 237。x=x3239。3239。x4238。x4=或者寫為 233。x1249。233。1249。233。1249。233。1249。234。x234。2234。2234。12234。=k234。+k234。+234。4分 234。x31234。12234。0234。0234。234。234。234。235。0235。1235。0235。x3六．（本題滿分12分）3l解 AlE=101202l1=(2l)(3l)，2分03l所以得特征值l1=2,l2=l3=32分230。101246。231。247。對 l1=2，解方程組(A2E)x=0，由A2E=231。101247。，得特征向量231。001247。232。248。230。0246。231。247。x1=231。1247。231。0247。232。248。230。0246。231。247。所以對應(yīng) l1=2的全部特征向量為c1231。1247。,c1185。03分231。0247。232。248。230。0231。1對 l2=l3=3，解方程組(A3E)x=0，由A3E=231。231。0232。01246。1230。10247。r231。11247。190。190。174。0231。0100247。0231。248。232。00246。247。247。，247。248。230。1246。230。1246。231。247。231。247。得特征向量 x2=231。1247。,全部特征向量為c2231。1247。,c2185。03分231。0247。231。0247。232。248。232。248。A沒有三個線性無關(guān)的特征向量，七．（本題滿分12分）230。1l231。解：f的矩陣為A=231。l4231。12232。1246。247。2247。 ．…………2分 4247。248。因此，二次型f為正定二次型．219。矩陣A為正定矩陣．219。矩陣A的各階順序主子式全大于零．…………2分而矩陣A的各階順序主子式分別為D1=10，D2=1l=4l2，…………2分l41D3=A=ll12=4(l1)(l+2) ．…………2分 4412所以，二次型f為正定二次型．219。D2=4l20，且D3=4(l1)(l+2)0由 D2=4l20，得 2l2 ．由 D3=4(l1)(l+2)0，得 2l1 ．因此，得 2l1 ．即，二次型f為正定二次型．219。 2l1…………4分八．（本題滿分8分）已知三維向量空間的一組基為α1=(1，1，0)，α2=(1，0，1)，α3=(0，1，1)求向量β=(2，0，0)在上述基下的坐標(biāo)．解：設(shè)向量β在基(α1，α2，α3)下的坐標(biāo)為(x1，x2，x3)，則有x1α1+x2α2+x3α3=b，2分寫成線性方程組的形式，有230。1246。230。1246。230。0246。230。2246。231。247。231。247。231。247。231。247。x1231。1247。+x2231。0247。+x3231。1247。=231。0247。2分 231。0247。231。1247。231。1247。231。0247。232。248。232。248。232。248。232。248。即236。x1+x2=2239。237。x1+x3=0，239。x+x=03238。2得唯一解x1=1，x2=1，x3=1，3分，1，1)．1分 因此所求坐標(biāo)為(1九．（本題滿分12分）證法1：記A=(a1,a2,L,am),B=(a1,a2,L,am,b)，顯然r(A)163。r(B).1176。因?yàn)閍1,a2,L,am線性無關(guān)，知r(A)=m1分 2176。因?yàn)閍1,a2,L,am,b線性相關(guān)，知r(B)m+1 1分因此r(B)=m，1分Ax=(a1,a2,L,am)x=b有解且唯一。2分則b可由a1,a2,L,am表示，且表示法唯一。1分證法2：∵a1,a2,L,am,b線性相關(guān)，∴存在不全為零的數(shù)k1,k2,L,km,k，使得……………………………… 2分 k1a1+k2a2+L+ kmam+kb=0，若k=0，則k1a1+k2a2+L+ kmam=0，∵a1,a2,L,am線性無關(guān)，\k1=k2=L=km=0矛盾?！鄈≠0 \b=kk1ka1+2a2+L+mam=l1a1+l2a2+L+lmam …………2分 kkk若又有b=j1a1+j2a2+L+jmam\0=(l1j1)a1+(l2j2)a2+L+(lmjm)am \l1=j1，l2=j2，L，lm=jm即b可由a1,a2,L,am線性表示，且表示法唯一.…………2分