【正文】 )()( ??? PPfAf . 證明 (1) i)利用數學歸納法 .當 2?k 時 ??????????????????21212 0 00 0 ???? ?????????222100?? 命題成立 ,假設 k 時成立 ,則 1?k 時 26 ????????????????????? ?21211 0 00 0 ???? kkkk ???????????121100kk?? 故命題成立 . ii)左邊 mmaaaEaf ?????????? ?2210)( ???????????????????????????? mmmaaa 212110 00001001???? ? ???????? ????????? mmmmaaaaaaaa22222101212110 0 0 ?????? ?? ????????? )(0 0)( 21 ?? ff =右邊 (2) i) 利用數學歸納法 .當 2?k 時 12112 ??? ????? PPPPPPA 成立 假設 k 時成立 ,則 1?k 時 11111 ????? ??????? PPPPPPAAA kkkk 成立 ,故命題成立 , 即 1??? PPA kk ii) 證明 右邊 1)( ??? PPf 12210 )( ????????? PaaaEaP mm? 11221110 ???? ???????? PPaPPaPPaP EPa mm? mm AaAaAaEa ????? ?2210 )(Af? =左邊 19．設 n 階矩陣 A 的伴隨矩陣為 ?A ，證明： (1) 若 0?A ,則 0??A 。 (2) 1?? ? nAA . 證明 (1) 用反證法證明．假設 0??A 則有 EAA ???? 1)( 由此得 OAEAAAAA ??? ????? 11 )()( OA ?? ? 這與 0??A 矛盾 ，故當 0?A 時 有 0??A (2) 由于 ?? ? AAA 11, 則 EAAA ?? 取行列式得到 : nAAA ?? 若 0?A 則 1?? ? nAA 若 0?A 由 (1)知 0??A 此時命題也成立 故有 1?? ? nAA 27 20．取 ????????????? 10 01DCBA ,驗證 DC BADC BA ? 檢驗 : ?DC BA???10100101101001011010010100200002?? 410 0120 02 ?? 而 01111 ??DCBA 故 DCBADCBA ? 21．設??????????????22023443OOA ,求8A 及 4A 解 ??????????????22023443OOA ，令???????? ?? 34 431A ????????? 22 022A 則 ?????????21 AO OAA 故 8218 ?????????AOOAA ?????????8281AOOA 16828182818 10??? AAAAA ????????????????????????464444241422025005OOAOOAA 22．設 n 階矩陣 A 及 s 階矩陣 B 都可逆 ,求 1?????????OBAO ． 解 將 1?????????OBAO 分塊為 ????????4321 CC CC 其中 1C 為 ns? 矩陣 , 2C 為 ss? 矩陣 3C 為 nn? 矩陣 , 4C 為 sn? 矩陣 28 則 ??????????OB AOssnn ????????4321 CC CC ??E ????????sn EO OE 由此得到???????????????????????122111144133)()(BCEBCBOCOBCAOCOACACEACsn存在存在 故 ????????????????????OABOOBAO111 ． 第三章 矩陣的初等變換與線 性方程組 1．把下列矩陣化為行最簡形矩陣： (1) ????????????340313021201。 (2) ??????????????174034301320。 (3) ???????????????????????12433023221453334311。 (4) ????????????????????34732038234202173132. 解 (1) ????????????3403130212011312)3()2(~rrrr?????????????????020031001201 )2()1(32 ~????rr????????????010031001201 23~rr? ????????????300031001201 33~?r????????????100031001201 32 3~rr? ?????????? ?100001001201 3121 )2(~rrrr?????????????100001000001 (2) ??????????????174034301320 1312)2()3(2 ~rrrr??????????????????310031001320 29 21233~rrrr????????????0000310010020 21~?r ??????????000031005010 (3) ???????????????????????12433023221453334311 141312323~rrrrrr?????????????????????????1010500663008840034311 )5()3()4(432~??????rrr???????????????????22100221002210034311242321 3~rrrrrr????????????????????00000000002210032022 (4) ????????????????????34732038234202173132 242321232~rrrrrr??????????????????????1187701298804202111110 141312782~rrrrrr???????????????????4100041000202011111034221)1(~rrrrr??????????????????????0000041000111102020 32~rr?????????????????00000410003011020201 2．在秩是 r 的矩陣中 ,有沒有等于 0 的 1?r 階子式 ?有沒有等于 0 的 r 階 子式 ? 解 在秩是 r 的矩陣中 ,可能存在等于 0 的 1?r 階子式 ,也可能存在等 于 0 的 r 階子式 . 例如，?????????????????00000000010000100001? 3)( ??R 同時存在等于 0 的 3 階子式和 2 階子式 . 3．從矩陣 A 中劃去一行得到矩陣 B ,問 BA, 的秩的關系怎樣 ? 30 解 )(AR ? )(BR 設 rBR ?)( ，且 B 的某個 r 階子式 0?Dr .矩陣 B 是由矩陣 A 劃去一行得 到的 ， 所以在 A 中能找到與 Dr 相同的 r 階子式 Dr ，由于 0?? DD rr ， 故而 )()( BRAR ? . 4．求作一個秩是 4 的方陣 ,它的兩個行向量是 )0,0,1,0,1( , )0,0,0,1,1( ? 解 設 54321 , ????? 為五維向量 ,且 )0,0,1,0,1(1 ?? , )0,0,0,1,1(2 ??? ,則所求方陣可為,54321?????????????????????A秩為 4,不妨設 ????????)0,0,0,0,0(),0,0,0,0()0,0,0,0(55443???xx取 154 ?? xx 故滿足條件的一個方陣為?????????????????0000010000010000001100101 5．求下列矩陣的秩 ,并求一個最高階非零子式： (1) ?????????????443112112022。 (2) ?????????????????815073131213123； (3) ?????????????????02301085235703273812. 解 (1) ?????????????443112112022rr 21~??????????????443120221211 ???????????????? 564056401211~ 12133 rrrr 20220 56401211~ 23 秩為?????????????? rr 31 二階子式 411 13 ???． (2) ?????????????????81507