【正文】 因?yàn)?，，二次型正定．四、求?使下列二次型為正定二次型（1）解：該二次型的矩陣為，要使得二次型正定，只有：，同時(shí)成立，所以二次型正定可得．（2）解：該二次型的矩陣為，要使得二次型正定，只有：，同時(shí)成立，所以二次型正定可得．線性代數(shù)試題（一）一、填空題（每題4分，5小題共20分）已知為階方陣，為的伴隨矩陣，若，則=．提示：，因此，得設(shè)、是三階方陣，是三階單位陣，且，則 4 ．提示：由得，則向量在基，下的坐標(biāo)為 （1，2，3） ．若向量組，的秩為2，則 3 ．階方陣，若滿足，則的特征值為 0或1 ．二、選擇題（每小題3分，共15分）設(shè)和都是階方陣，且，是階單位陣，則（ B ）．（A） （B）或者（C） （D）且維向量組線性無關(guān)的充分必要條件為（ C ）．(A)均不為零向量；(B)中任意兩個(gè)不成比例(C)中任意一個(gè)向量均不能由其余個(gè)向量線性表示(D)以上均不對設(shè)為矩陣，且,則齊次線性方程組（　C　）．(A)無解 (B)只有唯一解 (C)一定有無窮多解 (D)不能確定若是階方陣，則（　AD?。?A) 1或2是的特征值　 (B)若則(C) 若則 (D)若1不是的特征值，則設(shè)為階可逆矩陣，則（ B ）（A）若，則；（B）總可以經(jīng)過初等變換化為；（C）則；（D）以上都不對．三、（每小題7分，滿分14分）計(jì)算行列式 解： 將行列式增加一行、一列 第一行乘以1加到以下各行 第i+1列乘以加到第1列， ＝ 第1列乘以加到第三列 范德蒙行列式四、（本題滿分為10分）設(shè)，其中是的伴隨矩陣，求．解： 兩邊同時(shí)左乘得，即由，則，即五、（本題滿分為7分）若是方程組的基礎(chǔ)解系，證明也是該方程組的基礎(chǔ)解系．證明：由于，同理可以驗(yàn)證也是的解，由題設(shè)知的一個(gè)基礎(chǔ)解系中含3個(gè)解向量，下面只需證明是線性無關(guān)的．設(shè)整理得由于線性無關(guān)，故有又系數(shù)行列式，故從而線性無關(guān)，是方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系．六、（本題滿分為12分）設(shè)（1）確定；（2）求一個(gè)可逆矩陣，使.解：（1）由與相似得，即，解得（2）的特征值為1，2，5當(dāng)時(shí)，為，基礎(chǔ)解系為當(dāng)時(shí)，為，基礎(chǔ)解系為當(dāng)時(shí)，為，基礎(chǔ)解系為則，使．七、（本題滿分為12分）問為何值時(shí)，方程組 無解，有唯一解，有無窮多組解？并在有無窮多組解時(shí)求其通解．解： 當(dāng)時(shí)，方程組無解；當(dāng)時(shí)，方程組有唯一解；當(dāng)時(shí)，方程組有無窮多解．方程組變?yōu)椋?，設(shè)，得即八、（本題滿分為10分）設(shè)二次型 寫出二次型的矩陣表達(dá)式．有配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所做的實(shí)可逆線性變換．判斷是否正定，且說明理由．解：二次型的矩陣表達(dá)式為：做可逆線性變換，即則線性代數(shù)試題（二）一、選擇題（每小題3分，共15分）若，則的值為（ B ）(A) 12 (B) －12 (C) 18 (D) 0 提示：設(shè)都是n階矩陣，且 , 則下列一定成立的是（ B ）(A) 或 (B)都不可逆(C) 中至少有一個(gè)不可逆 (D) 向量組線性相關(guān)的充分必要條件是（ D ）(A) 中含有零向量；(B) 中有兩個(gè)向量的對應(yīng)分量成比例(C) 中每一個(gè)向量都可用其余個(gè)向量線性表示(D) 中至少有一個(gè)向量可由其余個(gè)向量線性表示4. 非齊次線性方程組AX=b中未知量個(gè)數(shù)為n，方程個(gè)數(shù)為m，系數(shù)矩陣A的秩為r，則（ B ）（A）r=m時(shí)，方程組AX= b有解。 （B）r=n時(shí)，方程組AX=b有唯一解。（C）m=n時(shí)方程組AX=b有唯一解。（D）rn時(shí)方程組AX= b有無窮多解.設(shè)階方陣與相似，則（ D ）(A) (B) 與有相同的特征向量 (C) 與都相似于同一對角陣 (D) 對任意常數(shù),與相似提示：由于與不一定能對角化，因此（C）錯(cuò)；對于（D），由于，則，因此與相似二、填空題（每空3分，共15分）設(shè)為四階矩陣，且，則 32 ．已知非齊次線性方程組，有特解：，且，則線性方程組的通解是．提示：說明的基礎(chǔ)解系中應(yīng)有兩個(gè)向量，為的兩個(gè)線性無關(guān)的解，因此可做為基礎(chǔ)解系，然后從三個(gè)向量中任選一個(gè)做為的特解即可，因此的通解為．（本題結(jié)果不唯一）若是階矩陣，且都是不可逆矩陣，則＝ 2 ．提示：由題意知有三個(gè)特征值，1，1，2，三個(gè)特征值相乘即可．若向量能由向量唯一線性表示，則應(yīng)該滿足．提示：本題就是求線性無關(guān)的條件．當(dāng)t取，二次型是負(fù)定的．三、判斷題（每小題2分，共10分）若齊次線性方程組有非零解，則的列向量組線性無關(guān)．（ 錯(cuò) ）若，則的特征值只能是．（ 對 ）設(shè)為階可逆矩陣，則總可以經(jīng)過初等行變換化為．（ 對 ）設(shè)均為階方陣，且與合同，則必等價(jià)于．（ ？ ）設(shè)為階方陣，若，則．（ 錯(cuò) ）四、計(jì)算題（每小題5分，共10分） 解： 將4行加到第一行，并從第一行提出公因子 將第1行乘以1加到4行 按第一行展開得 因此，即得：五、（本題10分）設(shè)向量組、求此向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組，將其余向量表示成它們的線性組合．解：向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組為，，六、解答與證明（每小題5分共10分）1．解方程：解：，2．設(shè) 證明：當(dāng)且僅當(dāng)．證明：必要性，已知，即，則，得．充分性，已知，則，因此．七、（本題10分）問為何值時(shí)，方程組 無解、有唯一解、有無窮多組解？并在有無窮多組解時(shí)求其通解．解：當(dāng)時(shí)，方程組無解；當(dāng)時(shí)，方程組有唯一解；當(dāng)時(shí)，方程組有無窮多解，此時(shí)方程組為，令，得，方程組通解為：八、（本題10分）設(shè) ，求一正交變換矩陣使得為對角陣，并寫出相應(yīng)的對角陣．解：解得特征值為，對于，得方程組，解得基礎(chǔ)解系為，單位化對于，得方程組，解得基礎(chǔ)解系為，單位化對于，得方程組，解得基礎(chǔ)解系為，單位化可得正交矩陣，使九、（本題10分）用配方法化二次型 為標(biāo)準(zhǔn)型．解： 做可逆線性變換，即使第 42 頁 共 42 頁