【正文】 可得 ? ? ? ? ? ?1 2 10 1 1 0 0 , 1 1 0 1 0 , 4 5 0 0 1 ,T T T? ? ?? ? ? ? ? 為 5R 的一組基。 ? ?1 2 3 41 0 2 30 1 1 20 0 1 00 0 0 10t? ? ? ????? ??????， 1t??時(shí)，非基。 1） 1 1 1 1 0 10 1 1 0 1 20 0 1 1 0 2A? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 2 2 12 3 11 1 0A?????????? 2） 1 221y A x?????????????? 167。 習(xí)題課 一、單項(xiàng)選擇 D C C B C 二、填空題 不能 3 三、計(jì)算題 1 2 3 41 ( 5 )4? ? ? ? ?? ? ? ? ( ) ( )R A R A b? ，方程無(wú)解 解 1：令 1 2 3 4()Tx x x x x? ， Ax?? , 1 2 32? ? ??? 得 1 2 2 1 3 3 4 4( 2 3 ) ( ) ( 1 ) 0x x x x x? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 234,? ? ? 線性無(wú)關(guān) 得01320110xk? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 解 2： 234,? ? ? 線性無(wú)關(guān) 1 2 3 420? ? ? ?? ? ?， 0Ax??基礎(chǔ)解系中向量個(gè)數(shù)為 1nr??，且知 ? ?1 2 1 0 T? 為一非零解 即為 0Ax? 的基礎(chǔ)解系。 又 1 2 3 41111A? ? ? ? ???????? ? ? ? ??????? ， ? ?1111T? 為 Ax?? 的特解。 Ax ???通解為11121110xk? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 167。 自測(cè)題 一、單項(xiàng)選擇 B B D 二、習(xí)題課 1k? 時(shí)， 1 2 3( ) 2R ? ? ? ?， ? ?12,?? 為最大無(wú)關(guān)組 1k? 時(shí)， 1 2 3( ) 3R ? ? ? ?， ? ?1 2 3,? ? ? 為最大無(wú)關(guān)組 設(shè)一組數(shù) 12, nk k k 使得 1 1 2 2 0nnk k k? ? ?? ? ? ? 可得 1 1 2 1 2 1 2( ) ( ) 0nnk k k? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 12, n? ? ? 線性無(wú)關(guān) 12 0nk k k? ? ? ? ? 1 2 1 21 1 11 0 2 ( , )0 2 00 1 0X C C C C R? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 設(shè) 12, n? ? ? 線性相關(guān) ??不全為 0 的數(shù) 12, nk k k 使得 1 1 2 2 0nnk k k? ? ?? ? ? ? 又 ? 可被 12, n? ? ? 線性表示， 1 1 2 2 nnC C C? ? ? ?? ? ? ? ? 1 1 1 2 2 2( ) ( ) ( )n n nC k C k C k? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 與唯一矛盾。 1) 1 , 0 , ( ) 2 ( ) 3a b R A R A b? ? ? ? ? ? ,無(wú)解，不能表出。 2） 1 , , ( ) ( ) 4a b R R A R A b? ? ? ? ? ，唯一解，可被唯一表出。 1 2 3 421 01 1 1b a b ba a a? ? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ? 167。 －167。 向 量的內(nèi)積、方陣的特征值與特征向量 一、 填空題 2.(4,2, 2)? 4. 4ab?? 、 22a b ab?? 二、 單項(xiàng)選擇題 三、解答題 1. 23,??應(yīng)滿足 T1 0x? ? ，即1 2 31 ( ) 03 x x x? ? ? 它的基礎(chǔ)解系 12(1 , 0 , 1 ) , ( 0 , 1 , 1 )TT??? ? ? ? 把基礎(chǔ)解系正交化得12 1 1 1( 1 , 0 , 1 ) , ( 0 , 1 , 1 ) ( 1 , 0 , 1 ) ( , 0 , )2 2 2T T T T????? ? ? ? ? ? ? ? ? 再將 12,????單位化得， 12232 2 6 6 6( , 0 , ) , ( , , )2 2 6 3 6TT??????? ? ? ? ? ? ? 2. 21 2 2 1 2 23 1 1 ( 3 ) 1 1 1 ( 3 ) ( 3 ) 02 2 1 1 2 1AE?? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 得 233 , = 3A ? ? ?? ? ?1的 特 征 值 ⑴ 3? ?1當(dāng) 時(shí) ，解齊次方程組 ( 3 ) 0A E x?? 4 2 2 1 0 13 3 4 1 0 1 12 2 4 0 0 0AE??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?，得基礎(chǔ)解系1111p??????????? 1 1 1 03k p k ?? ? ?1() 為 所 對(duì) 應(yīng) 的 全 部 特 征 向 量 ⑵ 2 3????3當(dāng) ＝ 時(shí) 解齊次方程組 ( 3 ) 0A E x?? 2 2 2 1 0 13 3 2 1 0 1 22 2 2 0 0 0AE?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?，得基礎(chǔ)解系2121p???????????? 2 2 2 203k p k ??? ? ? ?3() 為 ＝ 所 對(duì) 應(yīng) 的 全 部 特 征 向 量 3. 23 2 4 3 2 4 3 2 42 2 2 2 ( 1 ) 2 2 ( 8 ) ( 1 ) 04 2 3 1 0 1 1 0 1AE? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 得 231 , 8A ? ? ?? ? ? ?1的 特 征 值 ⑴ 2 1??? ? ?1當(dāng) 時(shí) ，解齊次方程組 ( ) 0A E x?? 111424 22 1 2 0 0 04 2 4 0 0 0AE?????????? ??????????，得基礎(chǔ)解系 121121 , 001pp????? ????? ?????? ?????? ?????? 1 1 2 2 1 2 2,1k p k p k k ??? ? ? ?1+( 不 同 時(shí) 為 0) 為 所 對(duì) 應(yīng) 的 全 部 特 征 向 量 ⑵ 3 8? ?當(dāng) 時(shí) 解齊次方程組 ( 8 ) 0A E x?? 5 2 4 1 2 08 2 8 2 0 2 14 2 5 0 0 0AE??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?，得基礎(chǔ)解系3212p??????????? 3 3 3 308k p k ?? ? ?() 為 所 對(duì) 應(yīng) 的 全 部 特 征 向 量 ? 是 A 的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量，設(shè) 0x? 則 Ax x?? 由已知 2 3 2 =0A A E?? 得 2 2 20 ( 3 2 ) 3 2 ( 3 2 )A A E x A x A x E x x x??? ? ? ? ? ? ? ? ? 因?yàn)?0x? ，故 2 3 2 0x??? ? ? ,解得 12??? 或 ＝ 167。 －167。 方陣的特征值與特征向量、相似矩陣 一、填空題 ? 、 A? 、 2? 、 2 、 2? 二、選擇題 三、 1. 23 2 01 3 1 ( 1 ) ( 2 ) 05 7 1AE?? ? ? ????? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 得 232 , 1A ? ? ?? ? ?1的 特 征 值 2 2????1當(dāng) 時(shí) ，解齊次方程組 ( 2 ) 0A E x??，1 2 0 1 2 02 1 1 1 0 1 15 7 3 0 0 0AE??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ( 2 ) 2R A E?? ∴屬于 2 2????1 的線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù) 3 ( 2 ) 1R A E?? ＝ 不等于根的重?cái)?shù)為 2 ∴ A 不與對(duì)角矩陣相似 2. 21 3 33 5 3 ( 4) ( 2) 06 6 4AE?? ? ? ????? ? ? ? ? ? ? ? ??? 得 232 , 4A ? ? ?? ? ? ?1的 特 征 值 ⑴ 2 2??? ? ?1當(dāng) 時(shí) ，解方程組 ( 2 ) 0A E x?? 3 3 3 1 1 12 3 3 3 0 0 06 6 6 0 0 0AE??? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?，得基礎(chǔ)解系12111 , 001pp?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ⑵ 3 4? ?當(dāng) 時(shí) 解齊次方程組 ( 4 ) 0A E x?? 3 3 3 1 1 04 3 9 3 0 2 16 6 0 0 0 0AE? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?，得基礎(chǔ)解系3112p??????????? 即 A 有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量 1 2 3,p p p ，故 A 可對(duì)角化 令 11 2 31 1 1 2( , , ) 1 0 1 = 20 1 2 4P p p p P A P???? ? ? ??? ??? ? ?? ? ? ?即 四、 ,AB相似，則存在可逆矩陣 P ,使 1 =P APB 故 1 1 1 1 1= = = ( ) = =B E P A P E P A P P E P P A E P P A E P A E? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 167。 －167。 對(duì)稱矩陣的對(duì)角化、二次型 一、填空題 2. 3? 3 7 4.? ? 112213, 32 xxxx???????????? 二、選擇題 三、解答題 1 6?? 的特征向量 1 1 2 3( , , )Tx x x? ? 則 1 2 1 3( , ) ( , ) 0? ? ? ??? 即 131 2 3020xxx x x? ? ????? ? ??? 得 1 (1,1,1)T? ? 是矩陣 A 的屬于 1 6?? 的特征向量 又由 1 2 3 1 1 2 2 3 3( , , ) ( , , )A ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 即 1 1 1 6 3 31 0 2 6 0 61 1 1 6 3 3A??? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 16 3 3 1 1 1 4 1 16 0 6 1 0 2 1 4 16 3 3 1 1 1 1 1 4A???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 2. 24 0 00 3 1 ( 4) ( 2) 00 1 3AE?? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?? 得 234 , 2A ? ? ?? ? ?1的 特 征 值 ⑴ 2 4????1當(dāng) 時(shí) ，解方程組 ( 4 ) 0A E x?? 0 0 0 0 1 14 0 1 1 0 0 00 1 1 0 0 0AE?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?，得基礎(chǔ)解系1